高考数学一轮总复习三角函数、三角形、平面向量专题08正弦定理与余弦定理文（含解析）.docx

专题08正弦定理与余弦定理一、本专题要特别小心：1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）2. 边角互化的选取3. 正余弦定理的选取4.三角形中的中线问题 5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题二【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力三【方法总结】1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即ABabsin Asin B.3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角.(4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定.四【题型方法】（一）正弦定理辨析三角形例1已知数列的前项和（1）若三角形的三边长分别为，求此三角形的面积；（2）探究数列中是否存在相邻的三项,同时满足以下两个条件：此三项可作为三角形三边的长；此三项构成的三角形最大角是最小角的2倍若存在，找出这样的三项；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）见解析【解析】解：数列的前n项和当时，当时，又时，所以，不妨设三边长为，所以所以假设数列存在相邻的三项满足条件，因为，设三角形三边长分别是n，三个角分别是，由正弦定理：，所以由余弦定理：，即化简得：，所以：或舍去当时，三角形的三边长分别是4，5，6，可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍所以数列中存在相邻的三项4，5，6，满足条件.练习1以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是 A在 中，B在 中，若，则 C在 中，若 ，则 ；D在 中，【答案】B【解析】在 中，;在 中，若，则 或，即或；在 中，若 ，则 ；在 中，,选B.练习2在中，内角所对的边分别是，若，则的值为（）A B C1 D【答案】D【解析】根据正弦定理可得 故选D.（二）正弦定理解三角形例2在中，内角所对的边分别为，已知且，则的最小值为_【答案】【解析】，由正弦定理可得，即，当时，.当时，则的最小值为故答案为：.练习1的内角，所对的边分别为，若，则( )ABC或D或【答案】C【解析】因为，由正弦定理，可得，所以或；且都满足.故选C练习2在中，角，所对的边分别为，若，则角的大小为（ ）ABCD【答案】B【解析】由，两边平方可得： ，即： 又，由正弦定理得：解得： 本题正确选项：练习3.在ABC中，已知ab，。则内角C=_，式子的取值范围是_。【答案】 【解析】由，得，化简得，由正弦定理得，即，由于，故.所以，且，故，由于，且,故，所以.（三）利用正弦定理判断三角形解的个数例3. 在中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A B C D 【答案】BC【解析】选项:因为，所以，三角形的三个角是确定的值，故只有一解；选项:由正弦定理可知,即，所有角有两解；选项:由正弦定理可知,即，所以角有两解；选项:由正弦定理可知,即,所以角仅有一解，综上所述，故选BC。练习1在中，则此三角形有（ ）A无解B两解C两解D不确定【答案】B【解析】由题意，知，所以，所以，由正弦定理，得，即，当时，为锐角；当时，为钝角，则此三角形有两解故选：B练习2在中，已知，如果有两组解，则的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】由已知可得，则，解得.故选A.练习3在中，角所对的边分别为，已知，为使此三角形有两个，则满足的条件是（）ABCD或【答案】C【解析】C到AB的距离d=bsinA=3，当3a2时，符合条件的三角形有两个，故选C（四）三角形的外接圆问题例4.在中，内角的对边分别为，已知的面积为，则外接圆半径的大小是（）ABC1D2【答案】B【解析】ABC中，面积为S=sinAsinBsinC，即absinC=sinAsinBsinC，ab=sinAsinB；=；由正弦定理得=，=；设=t，则t0，t=，解得t=1；设ABC外接圆半径为R，则2R=1，解得R=故选：B练习1在中，内角的对边分别为，若，则的外接圆面积为ABCD【答案】D【解析】因为，由正弦定理可得：化简，在三角形ABC中，可得 所以外接圆面积 故选D练习2. 曲线的一条切线l与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为A B C D【答案】C【解析】设直线l与曲线的切点坐标为（），函数的导数为则直线l方程为，即，可求直线l与yx的交点为A（），与y轴的交点为，在OAB中，当且仅当22时取等号由正弦定理可得OAB得外接圆半径为，则OAB外接圆面积，故选：C练习3如图，已知函数的图象与坐标轴交于点，直线交的图象于另一点，是的重心.则的外接圆的半径为A2 B C D8【答案】B【解析】是的重心，点的坐标为，函数的最小正周期为，由题意得，又，令得，点的坐标为，故，又点是的中点，点的坐标为，设的外接圆的半径为，则，故选B（五）余弦定理应用例5. 中，角的对边分别为，且，则面积的最大值为（）AB2CD【答案】A【解析】，由正弦定理得，即；由余弦定理得，结合，得；又，由余弦定理可得，当且仅当等号成立，即面积的最大值为故选：A练习1. 在ABC中，则A的取值范围是( )ABCD【答案】C【解析】依题意，故，故选C.练习2在锐角中，角，的对边分别为，已知不等式恒成立，则当实数取得最大值时，的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】当且仅当即时（此时）取得最小值4，因为，所以，代入化简得，令，在区间上单调递减，所以，即，.故选B.（六）正余弦定理综合例6. 已知的三个内角所对的边分别为，且（1）求；（2）若，求面积的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理可得： 由余弦定理可得： （2）由余弦定理可得：，即： （当且仅当时取等号），即面积的最大值为：练习1. 已知的内角的对边分别为，若.（1）若，求；（2）若且，求的面积.【答案】（1）；（2）2.【解析】，由正弦定理可得，（1）由余弦定理，可得；（2），由勾股定理可得，.练习2.在中，内角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】(1)3.(2) .【解析】（1）因为，所以，即，因为，所以，。（2）因为，所以，即。由余弦定理可得，因为，所以，解得，因为，所以.故的面积为。练习3.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（1）求A；（2）若，求sinC【答案】（1）；（2）.【解析】（1）即： 由正弦定理可得： （2），由正弦定理得： 又，整理可得： 解得：或因为所以，故.（2）法二：，由正弦定理得： 又，整理可得：，即 由，所以.（七）三角形形状例7. 在中，若，则的形状是( )A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定【答案】C【解析】由正弦定理可知： ，可知为钝角三角形本题正确选项：练习1若的三个内角满足,则（ ）A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】设，可知为的最大角，可知为钝角三角形本题正确选项：（八）三角形面积问题例8. 若的面积为，且为钝角，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意得又，,化简得,，故本题选A.练习1在中,角所对的边分别为,若,且 ，则的面积为_.【答案】【解析】因为，由余弦定理可得，化简得，即，因为，所以，又因为，代入，得解得（舍去），所以.练习2. 在中，角的对边分别为，若，且的面积，则的最小值为_【答