泰勒公式及其应用.doc

分类号 123456 编 号 123456 毕业论文题 目 关于泰勒公式的证明及其应用学 院 数学与统计学院 姓 名 123 专 业 数学与应用数学 学 号 123456 研究类型 基础研究 指导教师 123 提交日期 2012-5-24 原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名： 年 月 日 论文指导教师签名： 关于泰勒公式的证明及其应用*(*, 数学与统计学院, * * *)摘 要： 在数学分析中, 泰勒公式是一个非常重要的内容, 本文考虑了文献中给出的泰勒公式的另一种证明及其余项, 并且介绍了泰勒公式在微分中的相关的应用, 同时还探讨了泰勒展式以及解析函数的泰勒展式, 这对系统的学习泰勒公式起到了积极的作用.关键词： 泰勒公式; 余项; 泰勒展式; 微分The Prove of Taylor Formula and Its Application *(*, * * 123456) Abstract: Taylor formula is a very important part in Mathematical Analysis. This dissertation take into account the fifth literature and give another way to prove the problem about the Taylor formula and Remainder, and recommend the application of Taylor formula in differential. Introducing Taylor expansion and Analytic function of the Taylor expansion. These above can play an positive action in the study of Taylor formula.Keywords: Taylor Formula; Remainder; Taylor Expansion; differential目录1. 泰勒公式12. 泰勒定理及其证明23. 余项44. 泰勒公式在微分中的应用65. 泰勒展式与级数86. 解析函数的泰勒展式10参考文献12致 谢13数学与统计学院2012届毕业论文1. 泰勒公式定义1 泰勒多项式 对于一般的函数, 设它在点存在直至阶的导数, 由这些导数构造一个次多项式 =+ (1) 称为函数在点处的泰勒展开式, 中的各项系数称为泰勒系数. 易知与其泰勒多项式在点处有相同的函数值和相同的直至阶的导数值.即 =，.定理1 （泰勒公式）若函数在点存在直至阶的导数, 则有=+即=+. （2） 定理中(2)式称为函数在点处的泰勒公式, 称为泰勒公式的余项,形如的余项称为佩亚诺型余项. 所以(2)式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式.注1 若在点附近满足 . （3） 其中. (4)此时并不意味着必定就是的泰勒多项式.例1 ，其中 为狄利克雷函数, 不难知道在处除了之外不存在其它任何阶的导数. 因此无法构造一个高于一次的泰勒多项式.但因 , 即 .所以，若取时,（3）式对任何恒成立.注2 满足（3）式要求(即带有佩亚诺型余项)的次逼近多项式是惟一的.注3 常用的较多的泰勒公式（2）在时的特殊形式为=+.它也被称为带有佩亚诺型余项的麦克劳林(Maclaurin)公式.2. 泰勒定理及其证明定理2(Taylor) 设函数在闭区间上有连续的阶导数, 在区间内阶可导，则存在, 使得.对带Lagrange余项的Taylor公式, 可以运用类似Lagrange定理的证明技巧, 给出另一种证明方法.证明 设函数在闭区间上有连续的导数, 且在开区间内二次可导现在, 连接 与两点的二次曲线,满足, ; , 则不难解出,其中 ,现作辅助函数,则有, 在上对使用Rolle定理, 便知, 至少存在使得在对在上使用Rolle定理, 便知至少存在一点, 使得. 因为,所以 从而.类似地, 如果在上有连续的阶导数, 在开区间内内阶可导, 作连接与两点的阶多项式, 满足, , , .不难解出,式中,作辅助函数, 则在上有连续的阶导数, 又在内阶可导，且, .对函数在上使用Rolle定理, 便知至少存在一点, 使得, 再对函数在上使用Rolle定理, 便知至少存在一点, 使得, 这样继续下去, 直到第次使用Rolle定理, 便知至少存在一点, 使得.注意到,所以.从而 ,定理得证.注4 从上面的讨论过程中我们可以发现, 一般情况下, 下面的结论是成立的: 若函数与在上有连续的阶导数, 在内次可导, 且满足, , , . 则至少存在一点, 使得, 则当时, 取为一次函数, 便得到Lagrange定理, 在一般情况下, 若取为前面提到的次多项式, 便得到带有Lagrange余项的泰勒公式.3. 余项下面介绍包括Lagrange余项和Cauchy余项作为特殊形式的更普遍的表达式.定理3 若在闭区间上连续, 在开区间内存在, 则对任意, 有,其中, 式,.证明 令 ,其中, , 显然有, . 同时又由定理的条件可知, 在上连续, 在内可导, 利用Rolle定理可知, 至少存在一点, 使得.而.所以.于是, 由0可见,记, ，则, 即,所以.注5 若在定理中令, 则可以得到Lagrange余项, 式中, ,又若定理中令, , ,进而可以得到Cauchy余项, .4. 泰勒公式在微分中的应用1 计算极限 例2 求极限 . 解 本题可以利用洛必达法则, 但是较为繁琐, 在这里用泰勒公式求解, 考虑到极限式的分母为, 我们可以用麦克劳林表示极限的分子（取）. , ,.于是便有 . 例3（1）计算的值，使其误差不超过10; （2） 证明为无理数. 解（1）当时有，.故 ,当时, 便有, 从而略去.而求的的近似值为 .（2）由可见,.倘若（其中为正整数）, 则当时, 为正整数, 从而 . (5) (5)式左边为整数.因为 .所以, 当时右边为非整数, 矛盾. 从而假设不成立, 只能是无理数.例4 用泰勒公式证明极值的第三充分条件.我们知道, 若为在定义域内部的极值点和可导点, 则. 进一步, 若, 则为极大值点; 若, 则为极小值点. 利用泰勒公式, 我们可以得到如下的一般结论.定理4(极值的第三充分条件) 设在处阶可导, 且，, 则（1）为偶数时, 若, 则为极大值点; 若, 则为极小值点;（2）为奇数时, 不是极值点.证明 根据已知的条件, 在处有泰勒展开式 .5. 泰勒展式与级数 定理5 给定一个实数列, 必定存在一个函数, 使得他的泰勒级数是,即.证明 对定义函数列为在其余部分, 做任何光滑的连接, 使得在每个部分是单调的, 并且任意阶导数, 然后设, 当时,记,因对每一个, 恒有,故对不等式积分次就得到 ,其中规定. 由Weierstras判别法知, 级数在每个有界区间一致收敛.令. 则可逐项求导.,有.其中当时, 当时, , 因而.推论1 因为函数的泰勒级数恒为零, 故对上述函数和任意的实数,函数具有相同的泰勒级数, 换言之, 存在无穷多个函数, 使得它的泰勒级数为任意给定的幂级数.例题5 初等函数的幂级数展开式，.6. 解析函数的泰勒展式定理6（泰勒定理）设在区域内解析, , 只要圆含于, 则在内能展成泰勒级数 . (6) 其中系数 . (7)且展式是惟一的.定义2 (6)称为在点的泰勒展式, (7)称为泰勒系数, 而称为泰勒级数.若在内解析, 则其泰勒系数满足柯西不等式.一些初等函数的泰勒展式函数在平面上解析, 它在处的泰勒系数为, .于是有 ,我们利用的上述展式求得,注意到两个级数的奇次项互相抵消, 便有 ,同理可得 .参考文献1 华东师范大学数学系. 数学分析(上册)M. 第三版. 北京: 高等教育出版社, 2009: 134-140.2 华东师范大学数学系. 数学分析(下册)M. 第三版. 北京: 高等教育出版社, 2009: 52-53.3 梅加强. 数学分析M. 第一版. 北京: 高等教育出版社, 2007: 167-178.4 何逸民. 关于泰勒公式的余项J. 河北师范大学学报, 1986(11): 1-2.5 周祖逵. 泰勒公式的另一种证明J. 数学通报, 1985(1): 2-4.6 Meyserson,M.D. Every power series is a Taylor series,Amer.Math. Monthly, 1981(88): 51-52.7 汪林, 戴正德, 杨富春, 郑喜印. 数学分析问题研究与评注M. 北京:科学出版社,1989:112-147.8 钟玉泉. 复变函数论M. 第三版. 北京: 高等教育出版社, 2005: 78-89. 致 谢本文是在*老师精心指导和大力支持下完成的. 李明图老师以其严谨求实的治学态度、高度的敬业精神、兢兢业业、孜