二元一次不等式与简单的线性规划问题

二元一次不等式 组 与平面区域 二元一次不等式 组 的定义 1 二元一次不等式 2 二元一次不等式组 3 二元一次不等式 组 的解集 含有两个未知数 并且未知数的次数是1的不等式 由几个二元一次不等式组成的不等式组 满足二元一次不等式 组 的有序实数对 x y 构成的集合 注 二元一次不等式 组 的解集可以看成是直角坐标系内的点构成的集合 1 平面直角坐标系中 二元一次方程x y 6 0的解组成的点 x y 的集合表示什么图形 探讨 过 0 和 0 的一条直线 那么x y 6 0的解组成的集合呢 x y 6 0呢 在直线的左上方的平面区域内 在平面直角坐标系中 所有的点被直线分成三类 在直线的右下方的平面区域内 探讨 在平面内画一条直线 这条直线将平面分为几个部分 这几个部分可以用怎样的式子来表示 在直线上 直线x y 6叫做这两个区域的边界 对于平面上的点的坐标 3 3 0 0 2 3 7 0 1 6 讨论它们分别在直线的什么方位 x y 6的值分别为什么 7 0 2 3 1 6 1 二元一次不等式Ax By C 0 A B不全为0 在平面直角坐标系中表示直线Ax By C 0某一侧所有点组成的平面区域 2 由于对直线同一侧的所有点 x y 把它代入Ax By C 所得实数的符号都相同 所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 x0 y0 从Ax0 By0 C的正负可以判断出Ax By C 0表示哪一侧的区域 如何判断二元一次不等式的平面区域 小诀窍 如果C 0 可取 0 0 如果C 0 可取 1 0 或 0 1 判断方法 直线定界 特殊点定域 归纳提升 例1 画出不等式2x y 6 0表示的平面区域 3 6 2x y 6 0 2x y 6 0 例题分析 变式 画出不等式2x y 6 0表示的平面区域 注意 不等式表示的区域是否包含边界 若不包含边界 边界应画成虚线 若不便于画成虚线 如坐标轴 应通过文字加以说明 练习1 画下列不等式表示的区域 x 0 6 2x y 0 基础训练 左上方 注 若不等式不取 则边界应画成虚线 否则应画成实线 2 根据所给图形 把图中的平面区域用不等式表示出来 X y 1 0 考点 能根据平面区域写出二元一次不等式组 分析 不等式组表示的平面区域是各不等式所表示的平面点集的交集 因而的各个不等式所表示的平面区域的公共部分 解 不等式 表示直线 上及右下方的点的集合 表示直线 上及右上方的点的集合 x y 0 x y 5 0 上式加上一个条件x 3 平面区域会是什么图形 变式 考点 能根据二元一次不等式组画出平面区域 画出不等式组表示的平面区域 x y 0 x 3 x y 5 0 注 不等式组表示的平面区域是各不等式所表示平面区域的公共部分 思考运用 3 5 5 x y 5 0 x y 0 x 3 如果让你求围成的三角形的面积 你能求么 4 2 练习1 画出下列不等式组表示的平面区域 2 注 画图应非常准确 否则可能得不到正确结果 考点 能根据二元一次不等式组画出平面区域 练习2 求由三直线x y 0 x 2y 4 0及y 2 0所围成的平面区域所表示的不等式 考点 能根据平面区域写出二元一次不等式组 简单的线性规划 一 回顾 例3 设z 2x y 式中变量满足下列条件 求z的最大值与最小值 线性规划 例3 设z 2x y 式中变量满足下列条件 求z的最大值与最小值 目标函数 线性目标函数 线性约束条件 例题3 求Z 2x y的最小值 使x y满足约束条件 解 画出满足x y的条件所表示的区域 即阴影部分 如图 其表示斜率为 2的一组平行直线系 截距为z 从图上可知 当直线经过点B时 z有最小值 由Z 2x y变形得y 2x z 解 得 例4 求z 3x 5y的最大值 使x y满足约束条件 x y o A B C 解 作出平面区域 把z 3x 5y变形为得到斜率为 在y轴上的截距为 随z变化的一族平行直线 由图可以看出 当直线经过可行域上的点A时 截距最大 则z最大经过点B时 截距最小 则z最小 由题设求得A 1 5 2 5 B 2 1 则Zmax 17 Zmin 11 小结解线性规划问题的步骤 2 在线性目标函数所表示的一组平行线中 用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线 3 通过解方程组求出最优解 4 作出答案 1 画出线性约束条件所表示的可行域 画 移 求 答 练习1 求z 2x y的最大值和最小值 使x y满足约束条件 解 作出平面区域 x y A B C o 把z y 2x变形为y 2x z 得到斜率为 2 在y轴上的截距为z 随z变化的一族平行直线 由题设求得C点坐标为 2 1 B点坐标为 1 1 则Zmax 2x y 3Zmin y 2x 3 由图可以看出 当直线y 2x z经过可行域上的点C时 截距z最大 则z值最大 经过点B时 截距最小 则z值最小 解 画出满足x y的条件所表示的区域 即五边形OABCD 如图 z x 2y 其表示斜率为的一组平行直线系 纵截距为b z 2 从图上可知 当直线经过c时 b有最大值 即z有最大值 目标函数线性目标函数 最优解 可行域可行解 线性规划的实际应用 例5 一个化肥厂生产甲 乙两种混合肥料 生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 硝酸盐18t 生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 硝酸盐15t 现库存磷酸盐10t 硝酸盐66t 在此基础上生产这两种混合肥料 列出满足生产条件的数学关系式 并画出相应的平面区域 并计算生产甲 乙两种肥料各多少车皮 能够产生最大的利润 分析 设x y分别为计划生产甲 乙两种混合肥料的车皮数 于是满足以下条件 x y o 解 设生产甲种肥料x车皮 乙种肥料y车皮 能够产生利润Z万元 目标函数为Z x 0 5y 约束条件为 画出可行域 x y o M 把Z x 0 5y变形为y 2x 2z 它表示斜率为 2 在y轴上的截距为2z的一组直线系 x y o 由图可以看出 当直线经过可行域上的点M时 截距2z最大 即z最大 故生产甲种 乙种肥料各2车皮 能够产生最大利润 最大利润为3万元 M 容易求得M点的坐标为 2 2 则Zmax 3 例题分析 例6要将两种大小不同规格的钢板截成A B C三种规格 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 解 设需截第一种钢板x张 第一种钢板y张 则 2x y 15 x 2y 18 x 3y 27 x 0 y 0 作出可行域 如图 目标函数为z x y 今需要A B C三种规格的成品分别为15 18 27块 问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品 且使所用钢板张数最少 X张 y张 例题分析 2x y 15 x 3y 27 x 2y 18 x y 0 作出一组平行直线z x y 目标函数z x y 当直线经过点A时z x y 11 4 x y 12 在可行域内 直线x y 12经过的整点是B 3 9 和C 4 8 它们是最优解 调整优值法 2 4 6 18 12 8 27 2 4 6 8 10 15 但它不是最优整数解 作直线x y 12 答 略 例题分析 2x y 15 x 3y 27 x 2y 18 x y 0 经过可行域内的整点B 3 9 和C 4 8 时 t x y 12是最优解 答 略 作出一组平行直线t x y 目标函数t x y 打网格线法 在可行域内打出网格线 当直线经过点A时t x y 11 4 但它不是最优整数解 将直线x y 11 4继续向上平移 1 2 1 2 18 27 15 9 7 8 练习1 某厂拟生产甲 乙两种适销产品 每件销售收入分别为3000元 2000元 甲 乙产品都需要在A B两种设备上加工 在每台A B上加工1件甲所需工时分别为1h 2h A B两种设备每月有效使用台数分别为400h和500h 如何安排生产可使收入最大 解 设每月生产甲产品x件 生产乙产品y件 每月收入为z 目标函数为Z 3x 2y 满足的条件是 可行域如图 Z 3x 2y变形为它表示斜率为的直线系 Z与这条直线的截距有关 X Y O 400 200 250 500 当直线经过点M时 截距最大 Z最大 M 解方程组 可得M 200 100 Z的最大值Z 3x 2y 800 故生产甲产品200件 乙产品100件 收入最大 为80万元 2 某公司承担了每天至少搬运280t水泥的任务 已知该公司有6辆A型卡车和4辆B型卡车 又知A型卡车每天每辆的运输量为30t 成本费为0 9千元 B型卡车每天每辆的运输量为40t 成本费为1千元 怎样安排才能使成本费最少 假如你是公司的经理 为了使公司支出的费用最少 请你设计出公司每天的派车方案 解 设每天派出A型卡车x辆 B型卡车y辆 公司每天所花成本费z千元 目标函数为Z 0 9x y 其中x y满足以下