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第二章 导数与微分导数：反映函数相对于自变量的变化快慢的程度，即变化率问题微分：当自变量有微小变化时，函数值改变了多少。本章主要内容是：微分学的基本概念及各种求导数计算方法。第一节 导数的概念一、实例：（变化率问题）1变速直线运动的瞬时速度 匀速运动时，速度 对非匀速运动， 设位移函数为在时间间隔内的平均速度为 当时，有，故在时刻的瞬时速度为 2平面曲线过一点的切线的斜率设是曲线上一定点，是曲线上的动点，切线的定义：当沿曲线趋向于时，割线的极限位置割线的斜率 当时有，（即得点处切线的斜率为 以上两例从物理和几何上讨论了变化率问题，虽然具体意义不同，但数学形式相同，即函数的增量与自变量增量之比的极限，它刻划了函数在一点的变化率。二、导数的概念：1定义：设函数在点的某个领域内有定义，如果下面极限： 存在，称极限为在点的导数，并称在可导，否则不可导。记为： 或 由导数的定义知：速度， 斜率另外有：电流非均匀细杆的密度（质量为） 总之：导数是概括了各种变化率得出的更一般，更抽象的概念，是函数相对于自变量的变化率，它反映了函数相对于自变量变化快慢的程度。例1 设存在，求解：令，则，当时有原式=例2 设，求：（1）（2）解：（1）原式=（2）原式=2左、右导数（因导数是用极限定义的，故有左、右极限）定义：左导数为 右导数为： 定理：在点可导的充要条件是左、右导数存在且相等，即（注：此定理常用于分段函数在分界点处讨论导数是否存在）定义3 若在区间内每点有导数，称为在 上的导函数。显然 即在的导数等于导函数在的函数值。3导数的几何意义：曲线在点处切线的斜率为故切线方程为 法线方程为 （其中）例3 求曲线在点（2，8）的切线方程解：斜率，当时，切线方程为即三、可导与连续的关系： 若在可导，则在连续。证：设由极限与无穷小的关系：，其中，即 在连续反之不成立：即在连续，不一定在该点可导例如：在连续，但不存在又如：在连续 不存在四、几个常用的导数公式（1） （2）（3）， （4）（5） （6）（7） （8）证（2）：对任意 将换为得 证（3）： 证（5）：
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