复变函数留数课件

第五章留数 5 1孤立奇点 1 定义 2 分类 3 性质 4 零点与极点的关系 5 函数在无穷远点的状态 1 定义 例如 z 0为孤立奇点 z 0及z 1 n n 1 2 都是它的奇点 z 1为孤立奇点 这说明奇点未必是孤立的 2 分类 以下将f z 在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数 根据展开式的不同情况 将孤立点进行分类 考察 特点 没有负幂次项 特点 只有有限多个负幂次项 特点 有无穷多个负幂次项 定义设z0是f z 的一个孤立奇点 在z0的去心邻域内 若f z 的洛朗级数 没有负幂次项 称z z0为可去奇点 只有有限多个负幂次项 称z z0为m阶极点 有无穷多个负幂次项 称z z0为本性奇点 3 性质 若z0为f z 的可去奇点 若z0为f z 的m m 1 阶极点 例如 z 1为f z 的一个三阶极点 z i为f z 的一阶极点 若z0为f z 的本性奇点 4 零点与极点的关系 定义不恒等于0的解析函数f z 如果能表示成 例如 定理 事实上 必要性得证 充分性略 例如 定理 证明 若z0为f z 的m阶极点 例 解显然 z i是 1 z2 的一阶零点 综合 5 函数在无穷远点的状态 定义 规定 1 留数的定义2 留数定理3 留数的计算规则4 在无穷远点的留数 5 2留数 Residue 1 留数的定义 定义设z0为f z 的孤立奇点 f z 在z0邻域内的洛朗级数中负幂次项 z z0 1的系数c 1称为f z 在z0的留数 记作Res f z z0 或Resf z0 由留数定义 Res f z z0 c 1 1 2 留数定理 定理 证明 由复合闭路定理得 用2 i除上式两边得 得证 求沿闭曲线c的积分 归之为求在c中各孤立奇点的留数 一般求Res f z z0 是采用将f z 在z0邻域内展开成洛朗级数求系数c 1的方法 但如果能先知道奇点的类型 对求留数更为有利 以下就三类孤立奇点进行讨论 3 留数的计算规则 规则I 规则II 事实上 由条件 当m 1时 式 5 即为式 4 规则III 事实上 例1 解 例2 解 例3 解 例4 解 故由留数定理得 1 要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数 不要死套规则 如 是f z 的三阶极点 该方法较规则II更简单 2 由规则II的推导过程知 在使用规则II时 可将m取得比实际级数高 这可使计算更简单 如 3 在无穷远点的留数 定义 由此得 定理如果f z 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点 包括无穷远点 那么f z 在所有孤立奇点的留数和等于零 5 3留数在定积分计算上的应用 在数学分析中 以及许多实际问题中 往往要求计算出一些定积分或反常积分的值 而这些积分中的被积函数的原函数 不能用初等函数表示出来 例如 或者有时可以求出原函数 但计算也往往非常复杂 例如 2 利用留数计算积分 没有一些通用的方法 我们主要通过例子进行讨论 利用留数计算积分的特点 1 利用留数定理 我们把计算一些积分的问题 转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数 从而大大化简了计算 解 令 因此 显然 因此被积函数在 z 1内只有一个极点z1 而它在这点的留数是 于是求得 结论1 计算形如 的积分 其中R x y 是有理分式 并且在圆C z 1上 分母不等于零时可得 例2 计算积分 解 首先 这是一个广义积分 它显然是收敛的 我们应用留数定理来计算它 考虑函数 这个函数有两个二阶极点 在上半平面上的一个是z i 作以O为心 r为半径的圆盘 其中表示Cr上的圆弧部分 沿它的积分是按幅角增加的方向取的 现在估计积分 我们有 因此 令 就得到 结论2 应用同样得方法 我们可以计算一般形如 的积分 其中R x 是有理分式 分母在实轴上不为零 并且分母的次数比分子的次数至少高2次 例3 计算积分 解 取r 0 则有 函数在 时有一阶极点z i外 在其他每一点都解析 取积分区域如图 而只要取r 1 于是我们有 于是我们有 其中表示Cr上的圆弧部分 沿它的积分是按幅角增加的方向取的 结论3 应用同样得方法 我们可以计算一般形如 的积分 其中R x 是有理分式 分母在实轴上不为零 并且分母的次数比分子的次数至少高1次 其中R x y 是有理分式 并且在圆C z 1上 分母不等于零 结论1 其中R x 是有理分式 分母在实轴上不为零 并且分母的次数比分子的次数至少高2次 结论2 其中R x 是有理分式 分母在实轴上不为零 并且分母的次数比分子的次数至少高1次 结论3 练习 计算下列积分 例4 计算积分 函数只是在z 0有一个一阶极点 解 取 使 于是我们有 的积分分别是按幅角减小与增加的方向取的 现在求当趋近于0时 的极限 其中h z 是在z 0的解析函数 因此 由于 h z 在z 0的解析 在z 0的一个邻域内 h z 有上界 当时 于是当充分小时 从而 令 应用结论3的推导过程 可以得到所求积分收敛 并且 本章作业 1 3 5 9 8 3 5 6 7 9 1 2 5