构造等腰三角形解题的常见途径.doc

构造等腰三角形解题的常见途径等腰三角形是研究几何图形的基础，因此在许多几何问题中，常常需要构造等腰三角形才能使问题获解，那么如何构造等腰三角形呢？一般说来有以下几种途径：一、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形如图1中，若AD平分BAC，ADEC，则ACE是等腰三角形；如图1中，AD平分BAC，DEAC，则ADE是等腰三角形；如图1中，AD平分BAC，CEAB，则ACE是等腰三角形；如图1中，AD平分BAC，EFAD，则AGE是等腰三角形图1ADCBEECBDABACDEABFCDEG例1如图2，ABC中，ABAC，在AC上取点P，过点P作EFBC，交BA的延长线于点E，垂足为点F求证：AEAP图4FCDEBAM图2FBACDPE简析要证AEAP，可寻找一条角平分线与EF平行，于是想到ABAC，则可以作AD平分BAC，所以ADBC，而EFBC，所以ADEF，所以可得到AEP是等腰三角形，故AEAPCABEDO图3例2如图3，在ABC中，BAC、BCA的平分线相交于点O，过点O作DEAC，分别交AB、BC于点D、E试猜想线段AD、CE、DE的数量关系，并说明你的猜想理由简析猜想：AD+CEDE理由如下：由于OA、OC分别是BAC、BCA的平分线，DEAC，所以ADO和CEO均是等腰三角形，则DODA，ECEO，故AD+CEDE例3如图4，ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上，且DECD，EFAC求证：EFAB简析由于这里要证明的是EFAB，而AD平分BAC，所以必须通过辅助线构造出平行线，这样就可以得到等腰三角形了，于是DECD的提示下，相当于倍长中线，即延长AD至M，使DMAD，连结EM，则可证得MDEADC，所以MEAC，又EFAC，MCAD，所以MEFM，即CADEFM，又因为AD平分BAC，所以BADEFDCAD，所以EFAB二、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形如图5中，若AD平分BAC，ADDC，则AEC是等腰三角形E图5ABCD图6BFDECA例4如图6，已知等腰RABC中，ABAC，BAC90，BF平分ABC，CDBD交BF的延长线于D求证：BF2CD简析由BF平分ABC，CDBD，并在图5的揭示之下，延长线BA、CD交于点E，于是BCE是等腰三角形，并有EDCD，余下来的问题只需证明BFCE，而事实上，由BAC90，CDBD，AFBDFC，得ABFDCF，而ABAC，所以ABFACE，则BFCE，故BF2CD三、利用转化倍角，构造等腰三角形图7BCDABCDABCDA当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形如图7中，若ABC2C，如果作BD平分ABC，则DBC是等腰三角形；如图7中，若ABC2C，如果延长线CB到D，使BDBA，连结AD，则ADC是等腰三角形；如图7中，若B2ACB，如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作ACDACB，交BA的延长线于点D，则DBC是等腰三角形E图8CBAD例5如图8，在ABC中，ACB2B，BC2AC求证：A90简析由于条件中有两个倍半关系，而结论与角有关，因此首先考虑对ACB2B进行技术处理，即作CD平分ACB交AB于D，过D作DEBC于E，则由ACB2B知BBCD，即DBC是等腰三角形，而DEBC，所以BC2CE，又BC2AC，所以ACEC，所以易证得ACDECD，所以ADEC90说明本题也可以利用图7的、来构造等腰三角形求解一、模拟画图例1 已知在如图1的ABC中，AB=AC，A=36，仿照图1，请你再用两种不同的方法，将ABC分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形（图2、图3供画图用，作图工具不限，不要求写出作法，不要求证明，但要标出所分得每个等腰三角形的内角度数）解：如图4、图5、图6、图7二、手脑并用例2在平面内，分别用3根、5根、6根火柴，首尾依次相接可以搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示：问: （1）4根火柴能搭成三角形吗?（2）8根、12根火柴分别能搭成几种不同形状的三角形？并画出图形解：（1）4根火柴不能搭成三角形因为1+1=2不满足三边关系（2）8根火柴能搭成等腰三角形，如图8；而12根能搭成等边三角形，如图9，或等腰三角形，如图10，或直角三角形，如图11三、动手剪裁例3在劳技课上老师请同学们在一张边长为16cm的正方形纸板上，剪下一个腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形至少有一条边在正方形的边上），请你帮助同学们画出剪裁的等腰三角形解：分三种情况：如图12，AE=AF=10cm，沿EF剪裁；如图13，AE=AF=10cm，沿EF和AF剪裁；如图14，AE=EF=10cm，沿AF和EF剪裁例：指出下列问题中的自变量与函数.1.“票房收入问题”中y=10x，对于x的每一个值，y都有 的值与之对应，所以 是自变量，y是x的函数.2.“行程问题”中s=60t，对于t的每一个值，s都有_ 的值与之对应，所以 是自变量， 是 的函数.y/米B x/分钟1500100050010 20 30 40 50y/米1500100050010 20 30 40 50x/分钟A O例：小刚今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分钟到离家500米的地方吃早餐,吃早餐用了20分钟;再用10分钟赶到离家1 000米的学校参加考试.下列图象中,能反映这一过程的是（ ） 1500100050010 20 30 40 50D y/米C O10 20 30 40 5015001000500x/分钟Oy/米函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）3、将直线y3x向下平移5个单位，得到直线 ；将直线y-x-5向上平移5个单位，得到直线 .4、若直线y=-x+a和直线y=x+b的交点坐标为(m,8),则a+b=_.5、已知函数y3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（ ）3m+1 3m m 3m1、直线y=kx+b经过一、二、四象限，则K 0, b 0此时，直线y=bxk的图象只能是( ) 、已知直线y=kx+b平行于直线y=-2x，且与y轴交于点（，），则k=_,b=_.此时，直线y=kx+b可以由直线y=-2x经过怎样平移得到？.若一次函数y=x+b的图象过点A（1，-1），则b=_。 1.已知y+1与x-2成正比例,当x=3时,y=-3,(1)求y与x的函数关系式;(2)画出这个函数图象;(3)求图象与坐标轴围成的三角形面积;(4)当-1x4时,求y的取值范围;1.已知一次函数y=(m-4)x+3-m,当m为何值时,(1)Y随x值增大而减小;(2)直线过原点;(3)直线与直线y=-2x平行;(4)直线不经过第一象限;(5)直线与x轴交于点(2,0)(6)直线与y轴交于点(0,-1)(7)直线与直线y=2x-4交于点(a,2)2已知正比例函数y=kx（k0）的函数值随的增大而增大，则一次函数y=kx+k的图象大致是（ ）1 某农户种植一种经济作物，总用水量y（米3）与种植时间x（天）之间的函数关系式如图（1）第20天的总用水量为多少米？（2）求y与x之间的函数关系式 （3）种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3？O(天)y（米3）400010003020x2“512”汶川地震发生后，某天广安先后有两批自愿者救援队分别乘客车和出租车沿相同路线从广安赶往重灾区平武救援，下图表示其行驶过程中路程随时间的变化图象（1）根据图象，请分别写出客车和出租车行驶过程中路程与时间之间的函数关系式（不写出自变量的取值范围）；（2）写出客车和出租车行驶的速度分别是多少？（3）试求出出租车出发后多长时间赶上客车？ 1 2 3 4 5 x（小时）y(千米)20015010050O 出租车客车2如图，已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交于P点, 则x+bax+3不等式的解集为 Oxy1Py=x+by=ax+3 一次函数（1） 函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 *判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。（2） 一次函数1、一次函数的定义一般地，形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当时，一次函数，又叫做正比例函数。一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式当，时，仍是一次函数当，时，它不是一次函数正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) k不为零 x指数为1 b取零当k0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k0时，图像经过一、三象限；k0，y随x的增大而增大；k0时，向上平移；当b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y随x的增大而增大；k0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b0b0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k0时，向上平移；当b0时，直线经过一、三象限；k0，y随x的增大而增大；（从左向右