北京航空航天大学数值分析课程知识点总结.doc

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1.2 误差知识与算法知识1.2.2 绝对误差、相对误差与有效数字设是准确值的一个近似值，记，称为近似值的绝对误差，简称误差。如果的一个上界已知，记为，即，则称为近似值的绝对误差限或绝对误差界，简称误差限或误差界。记，称为近似值的相对误差。由于未知，实际上总把作为的相对误差，并且也记为，相对误差一般用百分比表示。的上界，即称为近似值的相对误差限或相对误差界。定义 设数是数的近似值。如果的绝对误差限时它的某一位的半个单位，并且从该位到它的第一位非零数字共有n位，则称用近似时具有n位有效数字。1.2.3 函数求值的误差估计设存在足够高阶的导数，是的近似值，则是的近似值。若且不很大，则有误差估计。 若，且比值不很大，则有误差估计。 对于n元函数，有误差估计；若一阶偏导全为零或很小，则要使用高阶项。1.2.4 算法及其计算复杂性（1） 要有数值稳定性，即能控制舍入误差的传播。（2） 两数相加要防止较小的数加不到较大的数中所引起的严重后果。（3） 要尽量避免两个相近的近似值相减，以免严重损失有效数字。（4） 除法运算中，要尽量避免除数的绝对值远远小于被除数的绝对值。1.3 向量范数与矩阵范数1.3.1 向量范数定义 定义在上的实值函数称为向量范数，如果对于中的任意向量和满足：（1） 正定性：，当且仅当时，；（2） 齐次性：对任一数，有；（3） 成立三角不等式：。定理1.1 对中的任一向量，记则，和都是向量范数。定理1.2 设和是上的任意两种向量范数，则存在与向量无关的常数m和M(0mM)，使下列关系式成立1.3.2 矩阵范数定义 定义在上的实值函数称为矩阵范数，如果对于中的任意矩阵和满足：（1） ，当且仅当时，；（2） 对任一数，有；（3） ；（4） 。定义 对于给定的向量范数和矩阵范数，如果对于任一个和任一个满足，则称所给的矩阵范数与向量范数是相容的。定理1.3 设在种给定了一种向量范数，对任一矩阵，令，则由此定义的是一种矩阵范数，并且它与所给定的向量范数相容。定理1.4 设，则其中表示矩阵的最大特征值（是正定或半正定矩阵，它的全部特征值非负）。 还有一种常见的矩阵范数，且与向量范数相容，但是不从属于任何向量范数。单位矩阵I的任何一种算子范数。定理1.5 设矩阵的某种范数，则为非奇异矩阵，并且当该范数为算子范数时，还有成立。2.1 Gauss消去法2.1.1 顺序Gauss消去法定理2.1 顺序Gauss消去法的前n-1个主元素均不为零的充分必要条件是方程组的系数矩阵A的前n-1个顺序主子式2.1.2 列主元素Gauss消去法定理2.2 设方程组的系数矩阵A非奇异，则用列主元素Gauss消去法求解方程组时，各个列主元素均不为零。2.2 直接三角分解法2.2.1 Doolittle分解法(单位下三角+上三角)与Crout分解法(下三角+单位上三角)定理2.3 矩阵有唯一的Doolittle分解的充分必要条件是A的前n-1个顺序主子式。推论 矩阵有唯一的Crout分解的充分必要条件是A的前n-1个顺序主子式。2.2.2 选主元的Doolittle分解法定理2.4 若矩阵非奇异，则存在置换矩阵Q，使QA可做Doolittle分解。2.2.3 三角分解法解带状线性方程组定理2.5(保带状结构的三角分解) 设是上半带宽为s、下半带宽为r的带状矩阵，且A的前n-1个顺序主子式均不为零，则A有唯一的Doolittle分解为节省空间，用C(m,n)存储A的带内元素，其中m=r+s+1，并且。2.2.5 拟三对角线性方程组的求解方法2.3 矩阵的条件数与病态线性方程组2.3.1 矩阵的条件数与线性方程组的性态定义 对非奇异矩阵A，称量为矩阵A的条件数，记作。矩阵A的条件数与所取的矩阵范数有关，常用的条件数是，性质1 对任何非奇异矩阵A，。性质2 设A是非奇异矩阵，是常数，则有。性质3 设A是非奇异的是对称矩阵，则有，其中和分别是矩阵A的模为最大和模为最小的特征值。性质4 设A是正交矩阵，则有。2.3.2 关于病态线性方程组的求解问题（1） 采用高精度的算术运算。（2） 平衡方法（行平衡，取每行绝对值最大数的倒数组成对角阵，乘在原方程左右两边）。（3） 残差校正。2.4 迭代法2.4.1 迭代法的一般形式及其收敛性定义 设矩阵G的特征值是，称为矩阵G的谱半径。定理2.9 对任意的向量d，迭代法收敛的充分必要条件是。定理2.9 如果矩阵G的某种范数|G|1，则（1） 方程组的解存在且唯一；（2） 对于迭代公式，有，且下列两式成立2.4.2 Jacobi迭代法定理2.10 Jacobi迭代法收敛的充分必要条件是。定理2.11 如果，则Jacobi迭代法收敛。引理2.1 若矩阵是主对角线按行(或按列)严格占优阵，则A是非奇异矩阵。定理2.12 如果方程组的系数矩阵式主对角线按行(或按列)严格占优阵，则用Jacobi迭代法求解必收敛。2.4.3 Gauss-Seidel迭代法定理2.13 GS迭代法收敛的充分必要条件是。定理2.14 如果，则Jacobi迭代法收敛。定理2.15 如果方程组的系数矩阵式主对角线按行(或按列)严格占优阵，则用GS法求解必收敛。定理2.16 如果方程组的系数矩阵A是正定矩阵，则用GS法求解必收敛。2.4.4 逐次超松弛迭代法实际使用的形式它的分量形式是定理2.17 SOR方法收敛的充分必要条件是。定理2.18 如果，则SOR方法收敛。定理2.19 SOR方法收敛的必要条件是。定理2.20 如果方程组的系数矩阵A是主对角线按行(或按列)严格占优阵，则用的SOR方法求解必收敛。定理2.21 如果方程组的系数矩阵A是正定矩阵，则用的SOR方法求解必收敛。*实系数二次方程的两个根之模均小于1的充要条件是：*A为正定矩阵A的各阶顺序主子式全大于零。3.1 幂法和反幂法3.1.1 幂法（用于计算矩阵的按模为最大的特征值和相应的特征向量）第一种幂法迭代格式：第二种幂法迭代格式：作为的近似值，作为A的属于的特征向量。3.1.2 反幂法第一种反幂法迭代格式：作为的近似值，作为A的属于的特征向量。还可以用带原点平移的反幂法求矩阵A的某个特征值。3.3 QR方法3.3.1 矩阵的QR分解设是单位向量，令，则是对称正交矩阵，称为Householder矩阵。引理3.1 设有非零向量和单位向量，必存在Householder矩阵，使得，其中是实数，并且。(可取)定理3.2 任何实矩阵A总可以分解为一个正交矩阵Q与一个上三角矩阵R的乘积。设不全为零，令(取)对第j列，不全为零，令，并继续计算。最终得到是一个上三角矩阵。则，且。3.3.2 矩阵的拟上三角化设不全为零，令(取)对第j列，不全为零，令，并继续计算。最终得到为拟上三角矩阵，令，则。3.3.3 带双步位移的QR方法基本QR方法的迭代公式是4.1 非线性方程的迭代解法4.1.2 简单迭代法及其收敛性定理4.1 设函数,在(a,b)内可导,且满足两个条件:(1) 当时, ；(2) 当时, , 其中为一常数。则有如下结论:(1) 方程在区间上有唯一的根；(2) 对任取，简单迭代法产生的序列且收敛于；(3) 成立误差估计式定理4.2 设，在包含的某个开区间内连续。如果，则存在，当时，由简单迭代法产生的序列且收敛于。4.1.3 简单迭代法的收敛速度定理4.3 设函数，且满足如下条件：（1） 当时, ；（2） 当时, ，, 其中为一常数。则对任取对任取，简单迭代法产生的序列收敛于方程在内的唯一的根，并且当时是线性收敛的。定理4.4 设，在包含的某个开区间内连续()。如果则存在，当但时，由简单迭代法产生的序列以m阶收敛速度收敛于。4.1.4 Steffensen迭代法定理4.5（局部） 设，在包含的某个开区间内具有连续的二阶导数，并且，则存在，当但时，由Steffensen迭代法产生的序列至少以二阶收敛速度收敛于。4.1.5 Newton法定理4.6（局部） 设是方程的根，在包含的某个开区间内连续且，则存在，当时，由Newton法产生的序列收敛于；若且，则序列是平方收敛的。定理4.7（大范围） 设函数在区间a,b上存在二阶连续导数，且满足条件：（1） ；（2） 在区间a,b上不变号；（3） 当时，；（4） ，。则由Newton法产生的序列单调收敛于方程在a,b内唯一的根，并且至少是平方收敛的。4.1.7 割线法定理4.8 设，在地某邻域内连续且，则存在，当时，由割线法产生的序列收敛于，且收敛速度的阶至少为1.618。4.1.8 单点割线法定理4.9 设函数在区间a,b上存在二阶连续导数，且满足条件：（1） ；（2） 在区间a,b上不变号；（3） 当时，；（4） 且，。则有单点割线法产生的序列单调收敛于方程在a,b内唯一的根，并且收敛速度是一阶的。4.2 非线性方程组的迭代解法4.2.2 简单迭代法定理4.13（压缩映像原理） 设在闭区域上满足两个条件：（1）把映入它自身，；（2） 在上是压缩映射，即存在常数，使对任意的，有则有下列结论：（1） 对任取的，由迭代公式产生的序列，且收敛于方程组在内的唯一解；（2） 成立误差估计式定理4.14（局部） 设，是方程组的解，在处可微。若的谱半径，则存在开球，使对任意的，由迭代法产生的序列且收敛于。4.2.3 Newton法定理4.15 设是方程组的解，在包含的某个开区域内连续可微，且非奇异，则存在闭球，使对任意的的，由Newton法产生的序列且超线性收敛于；若更有在域内二次连续可微，则序列至少是平方收敛的。5.1 代数插值5.1.1 一元函数插值（Lagrange、Newton）定理5.1 设是互异的实数，对于给定的实数，实值函数在区间上具有n+1阶导数，则插值公式的余项为其中且依赖于，。*定理5.2 设是互异的实数，对于给定的实数，实值函数在区间上具有m+n+2阶导数，则是满足条件的Hermite插值多项式，则用近似代替的余项为其中且依赖于。5.3 样条插值5.3.1 样条函数定义 步长为1、内节点等距的k次B样条性质1 。性质2 当时，；当时，。定义 步长为h、内节点等距的k次B样条性质1 对称轴为。性质2 空间常用的两组基底及表示5.3.3 B样条为基底的三次样条插值函数第一种边界条件：解线性方程组其中第二种边界条件：解线性方程组其中第三种边界条件：解线性方程组其中则5.3.4 三弯矩法求三次样条插值函数其中由定义得到n-1个三弯矩方程：其中 第一种边界条件：其中 第二种边界条件：形式与第一种边界条件相同，其中第三种边界条件：其中 5.5 正交多项式5.5.1 正交多项式概念与性质幂函数系在任何区间上线性无关，可采用Gram-Schmidt正交化方法由幂函数系产生在指定区间a,b上带权函数的正交多项式系，其中是最高次项系数为1的k次多项式。方法如下：5.5.2 几种常见的正交多项式1、 Legendre多项式性质1 是区间-1,1上的正交多项式系性质2 的最高次项系数为性质3 n为奇数时为奇函数，n为偶数时为偶函数。性质4 满足递推关系：当时，有2、 Chebyshev多项式性质1 是x的n次多项式，并且当时，的最高次项系数为性质2 是区间-1,1上带权的正交多项式系性质3 满足递推关系性质4 当时，在开区间(-1,1)内有n个互异实零点，它们是性质5 当n为奇数时是奇函数，当n为偶数时为偶函数。3、 Laguerre多项式性质1 是x的n次多项式，并且最高次项系数为性质2 是在区间0,)上带权的正交多项式系性质3 满足递推关系4、 Hermite多项式性质1 是x的n次多项式，并且它的最高次项系数为性质2 是在区间(-,+)上带权的正交多项式系性质3 满足递推关系5.6 函数的最佳平方逼近5.6.1 最佳平方逼近的概念与解法定理5.7 设，是子空间中对于的最佳平方逼近元素的充分必要条件是或对任一个，总有*除Legendre、Chebyshev(最经济展开)，还可以用，它是区间上的正交函数系。5.6.3 样条函数在最佳平方逼近中的应用可以选用空间的k次B样条函数组，但是由于这一函数组不是正交函数系，所以使用过程稍有不同，但仍然遵循定理5.7。5.6.4 曲线拟合与曲面拟合（最小二乘）1、 曲线拟合定理5.11 设函数组在点集上线性无关，则实现最小二乘法求拟合曲线的充分必要条件是。拟合函数为，拟合精度用误差平方和描述，即。2、 曲面拟合设在三维直角坐标系Oxyu中给定(m+1)*(n+1)个点乘积型基函数拟合函数为，拟合精度为。6.2 插值型求积公式其中其中定理6.1 n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。推论 对于n+1个节点的插值型求积公式的求积系数，必满足定理6.2 n+1个节点的求积公式如果具有n次或者大于n次的代数精度，则它是插值型求积公式。6.3 Newton-Cotes求积公式如果节点等距，且，则相应的插值型求积公式称为Newton-Cotes求积公式，相应的求积系数称为Newton-Cotes求积系数。令定理6.3 当n为偶数时，n+1个节点的Newton-Cotes求积公式的代数精度至少是n+1。1、 梯形公式(n=1)2、 Simpson公式(n=2)3、 Simpson3/8公式(n=3)4、 Cotes公式(n=4)6.4 Newton-Cotes求积公式的收敛性与数值稳定性 如果对于任何n，则Newton-Cotes求积公式具有数值稳定性。6.5 复化求积法6.5.1 复化梯形公式与复化Simpson公式1、复化梯形公式只要函数在区间a,b上可积，则当时，复化梯形公式右端（称为复化梯形值）收敛于积分。，具有数值稳定性。2、复化Simpson公式 只要函数在区间a,b上可积，则当时，复化Simpson公式右端（称为复化Simpson值）收敛于积分。，具有数值稳定性。6.5.2 区间逐次分半法用表示积分区间a,b被分为等分后所形成的复化梯形值，有如下递推公式给定的绝对误差限，当满足时停止计算，并认为已满足精度要求。6.6 Romberg积分法利用Richardson外推算法，得到如下的求积方法(只产生四个序列)迭代结束的准则是，并认为就是所求积分的近似值。6.7 Gauss型求积公式（带权函数求积公式）6.7.1 一般理论定义 如果n个节点的求积公式的代数精度为2n-1次，则称它为Gauss型求积公式。定理6.5 设是区间a,b上带权的正交多项式系，则上述求积公式是Gauss型求积公式的充分必要条件是它的求积节点是n次正交多项式的n个零点。定理6.6 设在区间a,b上有2n阶连续导数，则Gauss型求积公式的截断误差为定理6.7 设上述求积公式是Gauss型求积公式，则它的求积系数满足（1）（2）6.7.2 几种Gauss型求积公式1、 Gauss-Legendre求积公式10220.577 350 269 2130.774 596 669 200.555 555 555 60.888 888 888 940.861 136 311 60.339 981 043 60.347 854 845 10.652 145 154 92、 Gauss-Laguerre求积公式11120.585 786 437 63.414 213 562 40.853 553 390 60.146 446 609 430.415 774 556 82.294 280 360 36.289 945 082 90.711 093 009 90.278 517 733 60.010 389 256 540.322 547 689 61.745 761 101 24.563 620 296 99.395 070 912 30.603 154 104 30.357 418 692 40.038 887 908 50.000 539 294 73、 Gauss-Hermite求积公式101.772 453 850 020.707 106 781 20.886 226 925 531.224 744 871 400.295 408 975 21.181 635 900 641.650 680 123 90.524 647 623 30.081 312 835 50.804 914 090 0 4、 Gauss-Chebyshev求积公式6.8 二重积分的数值求积法6.8.1 矩形域上的二重积分1、 复化梯形公式2、 复化Simpson公式7.1 常微分方程初值问题的数值解法一般概念步长h，取节点，且，则初值问题的数值解法的一般形式是7.2 显示单步法7.2.1 显示单步法的一般形式定理7.2.1 设增量函数在区域内对变量y满足Lipschitz条件，即存在常数K，使对D内任何两点和，不等式成立，那么，若单步法的局部截断误差与同阶，即，则单步法的整体截断误差与同阶，即。(且称单步法为p阶方法)7.2.2 Runge-Kutta方法(显式单步法)N级R-K方法的局部截断误差为，其中中的都换成。一级一阶R-K（Euler方法）二级R-K最高阶数是二阶，需满足条件改进Euler法1/21/21中点公式011/2Heun(休恩)方法1/43/42/3四级R-K经典R-K方法（四阶）Gill(基尔)方法（四阶）7.2.3 相容性、收敛性和绝对稳定性相容性条件：。定理7.2 设增量函数在区域上连续，且对变量h满足Lipschitz条件，则单步法与微分方程相容的充分必要条件是单步法至少是一阶的方法。定理7.3 设增量函数在区域上连续，并对变量y和h满足Lipschitz条件。如果单步法与微分方程相容，则单步法是收敛的。绝对稳定区域、绝对稳定区间：将带入方法中，求得，则绝对稳定区域为，当为实数时，可以求得稳定区间。对于一般微分方程，对其右端函数进行线性化处理后可知。绝对稳定区域绝对稳定区间一级一阶R-K(Euler法)二级二阶R-K三级三阶R-K四级四阶R-K7.3 线性多步法7.3.1 线性多步法的一般形式若，则线性多步法是显式方法；若，则线性多步法是隐式方法。其中若，此时k步法是p阶方法。此外，计算开始值的单步法应至少与该线性k步法同阶。7.3.2 预报校正公式Euler法与梯形法构成的预报-校正格式（实际是改进的Euler法）：7.3.3 相容性和收敛性相容性条件：根条件：的零点的模不大于1，并且模为1的零点都是单零点。定理7.4 设线性k步法满足相容性条件和根条件，则当计算开始值的单步法收敛时，k步法也是收敛的；此外，若k步法是p阶的，并且开始所用的单步法是不低于p阶的，则k步法的整体截断误差为7.3.4 绝对稳定性线性k步法的特征方程： 绝对稳定区域： 7.5 常微分方程组与刚性问题7.5.1 常微分方程初值问题的数值解法记，则一阶常微分方程组初值问题可表示为向量形式。 设此初值问题的方程组是一般微分方程组，并设关于的Jacobi矩阵在区间内有个线性无关的特征向量。然后求出Jacobi矩阵的所有特征值，所选的要使位于所用方法的绝对稳定区域。（可能为复数的情况要加以讨论） 薅螆羁艿蒁螅肄蒄螀螄膆芇蚆袃芈蒂薂袂羈芅蒈袁膀蒁蒄袁芃莄螂袀羂蕿蚈衿肅莂薄袈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃蚅羅肁莈薁羅芄膁薇羄羃蒇蒃羃肅芀螁羂膈蒅蚇羁芀芈薃肀羀蒃葿聿肂芆螈聿膄蒂蚄肈莇芄蚀肇肆薀薆蚃腿莃蒂蚃芁薈螁蚂羁莁蚇蚁肃薆薃螀膅荿蒈蝿芈膂袇螈肇莈螃螇膀芀虿螇节蒆薅螆羁艿蒁螅肄蒄螀螄膆芇蚆袃芈蒂薂袂羈芅蒈袁膀蒁蒄袁芃莄螂袀羂蕿蚈衿肅莂薄袈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃蚅羅肁莈薁羅芄膁薇羄羃蒇蒃羃肅芀螁羂膈蒅蚇羁芀芈薃肀羀蒃葿聿肂芆螈聿膄蒂蚄肈莇芄蚀肇肆薀薆蚃腿莃蒂