17. 数列中存在性问题的研究(1).doc

专题：数列中存在性问题的研究（1）一、问题提出问题：1，3不可能是一个等差数列中的三项二、思考探究探究一：探究1.1 设等差数列的前项和为且（1）求数列的通项公式及前项和公式；（2）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由【解】（1）（2），要使得成等差数列，则即： 即：，只能取2，3，5 当时，；当时，；当时，【注】“存在”则等价于方程有解，本例利用整除性质解决 探究1.2 设公差不为零的等差数列的各项均为整数，Sn为其前n项和，且满足（1）求数列的通项公式；（2）试求所有的正整数m，使得为数列中的项【解】（1）因为是等差数列，且，而，于是2分 设的公差为d，则由得， 化简得，即，解得或， 但若，由知不满足“数列的各项均为整数”，故5分 于是7分（2）因为， 10分所以要使为数列中的项，必须是3的倍数，于是在中取值，但由于是3的倍数，所以或由得；由得 13分当时，；当时，所以所求m的值为3和416分另解：因为 ，所以要使为数列中的项，必须是3的倍数，于是只能取1或（后略）探究1.3 已知数列an中，a2=1，前n项和为Sn，且（1）求a1； （2）证明数列an为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由【解】（1）令n=1，则a1=S1=0 （2）由，即， 得 ，得 于是， +，得，即又a1=0，a2=1，a2a1=1，所以，数列an是以0为首项，1为公差的等差数列所以，an=n1 （3）解法1：假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是， 时，0，故数列( )为递减数列，时，0，故数列()为递减数列，即时，又当时，故无正整数q使得成立解法2：同上有，且数列( )为递减数列，当时，成立；当时，因此，由得，此时【注】在利用“范围”控制正整数的值时，常用求值域的方法：单调性本例蕴含分类讨论思想 探究二：探究2.1 等差数列的前项和为（1）求数列的通项与前项和；（2）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列【解】（1）由已知得，故（2）由（1）得假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则即，与矛盾所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列【注】在反证法中利用有理数性质产生矛盾探究2.2 已知数列满足：，数列满足：（1）求数列，的通项公式；（2）证明：数列中的任意三项不可能成等差数列【解】（1）由题意可知， 令，则又，则数列是首项为，公比为的等比数列，即，故，又，故，（2）假设数列存在三项按某种顺序成等差数列，由于数列是首项为，公比为的等比数列，于是有，则只有可能有 成立 ，即 即：由于，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾因此数列中任意三项不可能成等差数列【注】此题为上例的补充，方法上有区别，在不便利用范围寻找矛盾时，如何考虑式子的变形呢？首先考虑将分数整数化，然后利用奇偶性寻找矛盾探究2.3 已知各项均为正数的等比数列的公比为，且.（1）在数列中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；【解】由知，数列是递减数列，假设存在成等差数列，不妨设，则，即 即，而，故矛盾因此在数列中不存在三项成等差数列【注】常用反证法说明不定方程正整数解不存在三、真题链接（2009年江苏高考题）设是公差不为零的等差数列，为其前项和，且（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项 【解】（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,所以的通项公式为，前n项和(2) =，若其是中的项，则， 令，则=, 即： 所以为8的约数 因为是奇数，所以可取的值为，当，即时，；当，即时，（舍去）所以满足条件的正整数【注】不仅可以利用整除性质解决，也可利用奇偶性分析四、反思提升数列中的一类存在性问题不定方程的正整数解问题存在有（正整数）解不存在无（正整数）解（1）整除性（2）奇偶性（3）范围（1）范围（2）奇偶性（3）有理数性质五、反馈检测1. 已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，数列an2的前n项和为Tn，满足a1 =1，（1）求p的值及数列an的通项公式；（2） 问是否存在正整数n，m，k（n m k），使得an，am，ak成等差数列？若存在，指出n，m，k的关系，若不存在，请说明理由 若an，2xan+1，2yan+2成等差数列，求正整数x，y的值2. 已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，数列满足，为数列的前n项和（1）求、和；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由1.解：（1）（法一）在中，令，得 即 解得，又时，满足，（法二）是等差数列， 由，得 ， 又，则 (求法同法一)（2）当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立 ，等号在时取得 此时 需满足 当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立 是随的增大而增大， 时取得最小值 此时 需满足 综合、可得的取值范围是（3）， 若成等比数列，则， 即 由，可得，即， 又，且，所以，此时因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列 另解：因为，故，即， ，（以下同上） 3设数列是公差不为零的等差数列（1）当时，若自然数，满足，使得是等比数列，求；（2）当时，若存在自然数，满足，使得是等比数列，求证：整数必为12的正约数；（3）若中含有1和，试探究：数列中是否存在不同的三项构成等比数列解：（1），当时，又，所以 5分（2），所以，所以， 又且，所以整数必为12的正约数 11分（3）存在正整数使得，所以假设数列中存在不同三项构成等比数列，为方便起见，设则由，整理得由于均为有理数，则 所以,于是，与假设矛盾，所以不存在不同的三项构成等比数列4. 在等差数列中，其前项和为，等比数列的各项均为正数，其前项和为，且（1）求数列和数列的通项；（2）问是否存在正整数，使得成立？如果存在，请求出的关系式；如果不存在，请说明理由解：设等差数列的公差为，则 2分解得 4分所以 6分（2）因为， 7分所以有（*）若，则，（*）不成立，所以，9分若为奇数，当时，不成立， 10分当时，设，则 12分若为偶数，设，则，因为，所以14分综上所述，只