江苏2018版高考数学复习圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线教师用书文苏教版.docx

9.8 圆锥曲线的综合问题 第1课时 直线与圆锥曲线1直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2bxc0(或ay2byc0)(1)若a0，可考虑一元二次方程的判别式，有0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线相切；0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点思维升华(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解(2016全国乙卷)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由解(1)由已知得M(0，t)，P，又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为yx，代入y22px整理，得px22t2x0，解得x10，x2，因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点，理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)代入y22px，得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点题型二弦长问题例2(2016全国甲卷)已知A是椭圆E：1的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当AMAN时，求AMN的面积；(2)当2AMAN时，证明：k0，由AMAN及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.又A(2,0)，因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1，得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN2.(2)证明设直线AM的方程为yk(x2)(k0)，代入1，得(34k2)x216k2x16k2120，由x1(2)，得x1，故AM|x12|.由题设，直线AN的方程为y(x2)，故同理可得AN.由2AMAN，得，即4k36k23k80，设f(t)4t36t23t8，则k是f(t)的零点，f(t)12t212t33(2t1)20，所以f(t)在(0，)上单调递增，又f()15260，因此f(t)在(0，)上有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以kb0)的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且PF1F2的周长是42.(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的左，右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E(点D与点A，B不重合)，若C点满足，连结AC交DE于点P，求证：PDPE.(1)解由e，知，所以ca，因为PF1F2的周长是42，所以2a2c42，所以a2，c，所以b2a2c21，所以椭圆C1的方程为y21.(2)证明由(1)得A(2,0)，B(2,0)，设D(x0，y0)，所以E(x0,0)，因为，所以可设C(2，y1)，所以(x02，y0)，(2，y1)，由可得(x02)y12y0，即y1.所以直线AC的方程为，整理得y(x2)又点P在DE上，将xx0代入直线AC的方程可得y，即点P的坐标为(x0，)，所以P为DE的中点，所以PDPE.题型三中点弦问题命题点1利用中点弦确定直线或曲线方程例3(1)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为_(2)已知(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是_答案(1)1(2)x2y80解析(1)因为直线AB过点F(3,0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，a3.所以E的方程为1.(2)设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，且1，两式相减得.又x1x28，y1y24，所以，故直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.命题点2由中点弦解决对称问题例4(2015浙江)已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220，将AB中点M代入直线方程ymx，解得b.由得m或m.(2)令t，则AB，且O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)ABd ，当且仅当t2时，等号成立故AOB面积的最大值为.思维升华处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用已知双曲线x21上存在两点M，N关于直线yxm对称，且MN的中点在抛物线y218x上，则实数m的值为_答案0或8解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则由得(x2x1)(x2x1)(y2y1)(y2y1)，显然x1x2.3，即kMN3，M，N关于直线yxm对称，kMN1，y03x0.又y0x0m，P，代入抛物线方程得m218，解得m0或8，经检验都符合1(2016南京模拟)已知椭圆1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若PF14，则PF2_，F1PF2的大小为_答案2120解析由题意得PF1PF22a6，所以PF22.又F1F22c2，在PF1F2中，由余弦定理可得cosF1PF2，即F1PF2120.2直线4kx4yk0与抛物线y2x交于A，B两点，若AB4，则弦AB的中点到直线x0的距离等于_答案解析易知直线4kx4yk0过抛物线y2x的焦点(，0)，AB为焦点弦设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点N(，)，ABx1x2p4.AB中点到直线x0的距离为.3(2016宿迁模拟)已知抛物线y22px(p0)与直线axy40相交于A，B两点，其中A点的坐标是(1,2)如果抛物线的焦点为F，那么FAFB_.答案7解析把点A的坐标(1,2)分别代入抛物线y22px与直线方程axy40，得p2，a2，由消去y，得x25x40，则xAxB5.由抛物线定义得FAFBxAxBp7.4(2017无锡月考)直线yx3与双曲线1的交点个数是_答案1解析因为直线yx3与双曲线的渐近线yx平行，所以它与双曲线只有1个交点5设双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为_答案解析双曲线1的一条渐近线为yx，由方程组消去y，得x2x10有唯一解，所以()240，2，e .6(2016无锡模拟)已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则实数a的取值范围为_答案1，)解析因为ya与yx2交于A，B两点，所以a0，所以交点为(，a)设C(x0，x)，所以(x0，xa)，(x0，xa)，所以xa(xa)20，所以xa(舍去)，或1xa，所以xa10，所以a1.7过双曲线x21的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若使得AB的直线l恰有三条，则_.答案4解析使得AB的直线l恰有三条根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直此时A，B的横坐标为，代入双曲线方程，可得y2，故AB4.双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，综上可知，AB4时，有三条直线满足题意4.8已知抛物线y24x的弦AB的中点的横坐标为2，则AB的最大值为_答案6解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，那么AFBFx1x22，又AFBFABAB6，当AB过焦点F时取得最大值6.9过椭圆1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是_答案3x4y130解析设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A，B两点均在椭圆上，故1，1，两式相减得0.又P是A，B的中点，x1x26，y1y22，kAB.直线AB的方程为y1(x3)即3x4y130.10已知F是抛物线C：y24x的焦点，直线l：yk(x1)与抛物线C交于A，B两点，记直线FA，FB的斜率分别为k1，k2，则k1k2_.答案0解析由y24x，得抛物线焦点F(1,0)，联立得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21.k1k20.11.如图，定直线l的方程为x4，定点F的坐标为(1,0)，P(x，y)为平面上一动点，作PQl于Q，若PQ2PF.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)过定点F作直线交曲线E于A、B两点，若曲线E的中心为O，且32，求三角形OAB的面积解(1)由|x4|2，化简得轨迹E的方程为1.(2)设直线AB的方程为kyx1，与椭圆方程联立消去x得(3k24)y26ky90.设A(x1，y1)，B(x2，y2)32，O(0,0)，F(1,0)，y12y2.y1，y2，k2.AB|y1y2|，又点O到直线AB的距离d，SOAB.12(2015课标全国)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值(1)解由题意得，1，解得a28，b24.所以C的方程为1.(2)证明设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值13. (2015江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC2AB，求直线AB的方程解(1)由题意，得