【原创】导数的应用：单调性,恒成立问题.doc

导数的基本应用1. 导数与单调性1) 为增函数；但反之不成立。如时， 为增函数2) 为增函数;但反之不成立。如当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。3) 总结：在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则。一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）.2. 导数与极值1) 极值的定义：极值是在附近所有的点，都有，则是函数的极大值，极小值同理2) 极值的判别方法：当函数在点处连续时，如果在附近的左侧0，右侧0，那么是极大值；如果在附近的左侧0，那么是极小值。3) 求可导函数极值的步骤：首先：求导数；再求导数=0的根；最后：检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取极大值；如果左负右正，那么在这个根处取极小值。4) 是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0若点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来不一定成立. 例如：函数，使=0，但不是极值点.函数不可导的点也可能是函数的极值点。例如：函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点.3. 导数与最值极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较在闭区间上连续，在（）内可导，在上求最大值与最小值的步骤：先求在（）内的极值；再将的各极值与、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。课堂例题：导函数与原函数的图像问题：1. 设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（ ） 答案：C2. 如果函数的图像如图所示，那么导函数的图像可能是_.答案：利用导数研究函数的单调性（求单调区间）：3. 已知函数，求其单调区间解析：(1)f(x)3x26x3.令3x26x30， 即x22x10.解得x11，x21.当x1或x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0.故f(x)x33x23x2在(，1)内是增函数，在(1，1)内是减函数，在(1，)内是增函数4. 函数的单调递增区间是解析： 已知单调性求参数的取值范围：5. 已知函数（1）若函数在总是单调函数，则的取值范围是 . （2）若函数在上总是单调函数，则的取值范围 . （3）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 答案： (1)6. 已知向量，若函数 在区间(1,1)上是增函数，求 t 的取值范围解：方法一：依定义f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txt.则f(x)3x22xt.若f(x)在(1,1)上是增函数，则在(1,1)上可设f(x)0.f(x)0t3x22x，在区间(1,1)上恒成立，考虑函数g(x)3x22x，由于g(x)的图象是对称轴为x，开口向上的抛物线，故要使t3x22x在区间(1,1)上恒成立tg(1)，即t5.而当t5时，f(x)在(1,1)上满足f(x)0，即f(x)在(1,1)上增函数故t的取值范围是t5.方法二：由题知f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txt，f(x)3x22xt.若f(x)在(1,1)上是增函数，则在(1,1)上f(x)0.f(x)的图象是开口向下的抛物线，当且仅当f(1)t10且f(1)t50时，f(x)在(1,1)上满足f(x)0，即f(x)在(1,1)上是增函数故t的取值范围是t5.思路点拨：方法一：分离变量法。方法二：带参数的二次函数问题。利用导数研究函数的极值与最值：7. 已知函数在时有极值0，则m，n.解析：f(x)3x26mxn，由题意，f(1)36mn0，f(1)13mnm20，解得或.但m1，n3时，f(x)3x26x33(x1)20恒成立即x1不是f(x)的极值点，应舍去思路点拨：注意极值点的充要条件，防止多解的出现。8. 已知函数.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值 导数与函数单调性的综合性应用：9. 设函数(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在区间(1,1)内单调递增，求 k 的取值范围解析：(1)由f(x)(1kx)ekx0，得x(k0)，因为1kx的图像已知，故数形结合分类若k0，则当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增若k0，函数f(x)单调递增；当x时，f(x)0，则当且仅当1，即0k1时，函数f(x)在(1,1)内单调递增若kk1时，函数f(x)在(1,1)内单调递增，综上可知，函数f(x)在(1,1)内单调递增时，k的取值范围是1,0)(0,1方法二：原函数f(x)在（-1,1）内单调递增，则在（-1,1）内恒成立。即在（-1,1）内恒成立。则当k0时，故0k1则当kk1思路点拨：本题考察的思想很好，由浅到深，属中档题。多多注意第三问的方法。10. 设函数(1)证明：的导数；(2)若对所有都有，求的取值范围解析：（1）的导数由于，故（当且仅当时，等号成立）（2）令，则，（）若，当时，故在上为增函数，所以，时，即（）若，,可以数形结合画出关于的一元二次函数，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数所以，时，即，与题设相矛盾综上，满足条件的的取值范围是思路点拨：本题考察的思想很好，由浅到深，属中档题。多多注意第三问的方法。构造函数来研究不等式：11. 已知函数是(0，)上的可导函数，若在 x0 时恒成立(1)求证：函数g(x)在(0，)上是增函数；(2)求证：当时，有 12. 已知函数.(1)求函数 f(x)的单调递减区间；(2)若，证明： 思路点拨：此题设计到复合函数的求导法则，故适合理科。课后强化训练：导函数与原函数的图像问题：1. 已知的定义域为 R，的导函数的图像如图则下列说法中错误的有_(填序号)f(x)在 x1 处取得极小值；f(x)在 x1 处取得极大值；f(x)是 R 上的增函数；f(x)是(，1)上的减函数，(1，)上的增函数答案：2. 设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）答案：D利用导数研究函数的单调性：3. 函数的一个单调递增区间是（ ）(A) (B) (C) (D) 解析： 选(A)4. 设函数(1)若曲线 yf(x)在点(2，f(2)处与直线 y8 相切，求 a、b的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值点解析：(1)f(x)3x23a，曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，(2)f(x)3(x2a)(a0)，当a0时，f(x)0，函数f(x)在(，)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点当a0时，由f(x)0x，当x(，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，当x(，)时，f(x)0，函数f(x)单调递减，当x(，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，此时x是f(x)的极大值点，x是f(x)的极小值点5. 已知函数图像上的点P(1，2)处的切线方程为.(1)若函数 f(x)在 x2 时有极值，求 f(x)的表达式；(2)函数 f(x)在区间2,0上单调递增，求实数 b 的取值范围解析：(1)(2)因为函数f(x)在区间2,0上单调递增，所以导函数f(x)3x2bxb，在区间2,0上的值恒大于或等于零，则，得b4，所以实数b的取值范围为4，)利用导数研究函数的极值与最值：6. 设函数为奇函数，其图像在点(1，f(1)处的切线与直线x6y70垂直，导函数的最小值为12.(1)求 a、b、c 的值；(2)求函数 f(x)的单调递增区间，并求函数 f(x)在1,3上的最大值和最小值解：(1)f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即ax3bxcax3bxc，c0.f(x)3ax2b的最小值为12，b12，a0.又直线x6y70的斜率为，因此，f(1)3ab6.a2，b12，c0.(2)f(x)2x312x.f(x)6x2126(x)(x)，列表如下：函数f(x)的单调增区间是(，)和(，)，f(1)10，f()8 ，f(3)18，f(x)在1,3上的最大值是f(3)18，最小值是f()8 .7. 设函数在及时取得极值（1）求a、b的值；（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围解析：（1），因为函数在及取得极值，则有，即解得，（2） 由（）可知，当时，；当时，；当时，所以，当时，取得极大值，又，则当时，的最大值为因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为导数与函数单调性的综合性应用：8. 已知函数，其中（1）若是函数的极值点，求实数的值；（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围答案：（1），其定义域为， 是函数的极值点，即 ， 经检验当时，是函数的极值点， （2）对任意的都有成立等价于对任意的都有当1，时，函数在上是增函数 ，且，当且1，时，函数在1，上是增函数，.由，得，又，不合题意 当1时，若1，则，若，则函数在上是减函数，在上是增函数.由，又1， 当且1，时，函数在上是减函数.由，得，又，综上所述，的取值范围为 9. （2010全国卷2文数）已知函数（）设，求的单调区间；（）设在区间（2,3）中至少有一个极值点，求的取值范围.解析：（）当a=2时，当时在单调增加；当时在单调减少；当时在单调增加；综上所述，的单调递增区间是和，的单调递减区间是（）,当时，为增函数，故无极值点；当时，有两个根由题意知，式无解，式的解为，因此的取值范围是.思路点拨：在区间（2,3）中至少有一个极值点的根位于（2,3）之间10. （2010全国卷2理数）设函数（）证明：当时，；（）设当时，求a的取值范围【解析】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.11. （2010新课标文）设函数（）若，求的单调区间；（）若当0时0，求a的取值范围解析：（）时，。当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（-1，0）单调减少。（）。令，则。若，则当时，为减函数，而，从而当x0时0，即0.若，则当时，为减函数，而，从而当时0，即0. 综合得的取值范围为思路点拨：可以化简；分类讨论的标准，可以数形结合利用导数的图形来讨论。12. （2010新课标理）设函数。（1） 若，求的单调区间；（2） 若当时，求的取值范围解：（1）时，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（II）由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时，.由可得.从而当时，故当时，而，于是当时，.综合得的取值范围为.思路点拨：可以利用二次导函数来研究一次导函数的单调性。13. 【2011全国新课标文】已知函数，曲线在点处的切线方程为（I）求a，b的值；（II）证明：当x0，且时，解析：（）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。（）由（）知，所以考虑函数，则所以当时，故当时，当时，从而当思路点拨：（1）求导函数要求，必须比原函数简化，转化才有效。 （2）多多善于发现特殊点的应用：例如h(1)=014. 【2011全国新课标理】已知