




免费预览已结束,剩余10页可下载查看
下载本文档
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
导数的基本应用1. 导数与单调性1) 为增函数;但反之不成立。如时, 为增函数2) 为增函数;但反之不成立。如当函数在某个区间内恒有,则为常数,函数不具有单调性。3) 总结:在区间内,若总有,则为增函数;反之,若在区间内为增函数,则。一般地,如果f(x)在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少).2. 导数与极值1) 极值的定义:极值是在附近所有的点,都有,则是函数的极大值,极小值同理2) 极值的判别方法:当函数在点处连续时,如果在附近的左侧0,右侧0,那么是极大值;如果在附近的左侧0,那么是极小值。3) 求可导函数极值的步骤:首先:求导数;再求导数=0的根;最后:检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么在这个根处取极大值;如果左负右正,那么在这个根处取极小值。4) 是极值点的充分条件是点两侧导数异号,而不是=0若点是可导函数的极值点,则=0. 但反过来不一定成立. 例如:函数,使=0,但不是极值点.函数不可导的点也可能是函数的极值点。例如:函数,在点处不可导,但点是函数的极小值点.3. 导数与最值极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较在闭区间上连续,在()内可导,在上求最大值与最小值的步骤:先求在()内的极值;再将的各极值与、比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。课堂例题:导函数与原函数的图像问题:1. 设是函数的导函数,的图像如图所示,则的图像最有可能的是( ) 答案:C2. 如果函数的图像如图所示,那么导函数的图像可能是_.答案:利用导数研究函数的单调性(求单调区间):3. 已知函数,求其单调区间解析:(1)f(x)3x26x3.令3x26x30, 即x22x10.解得x11,x21.当x1或x1时,f(x)0;当1x1时,f(x)0.故f(x)x33x23x2在(,1)内是增函数,在(1,1)内是减函数,在(1,)内是增函数4. 函数的单调递增区间是解析: 已知单调性求参数的取值范围:5. 已知函数(1)若函数在总是单调函数,则的取值范围是 . (2)若函数在上总是单调函数,则的取值范围 . (3)若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是 . 答案: (1)6. 已知向量,若函数 在区间(1,1)上是增函数,求 t 的取值范围解:方法一:依定义f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txt.则f(x)3x22xt.若f(x)在(1,1)上是增函数,则在(1,1)上可设f(x)0.f(x)0t3x22x,在区间(1,1)上恒成立,考虑函数g(x)3x22x,由于g(x)的图象是对称轴为x,开口向上的抛物线,故要使t3x22x在区间(1,1)上恒成立tg(1),即t5.而当t5时,f(x)在(1,1)上满足f(x)0,即f(x)在(1,1)上增函数故t的取值范围是t5.方法二:由题知f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txt,f(x)3x22xt.若f(x)在(1,1)上是增函数,则在(1,1)上f(x)0.f(x)的图象是开口向下的抛物线,当且仅当f(1)t10且f(1)t50时,f(x)在(1,1)上满足f(x)0,即f(x)在(1,1)上是增函数故t的取值范围是t5.思路点拨:方法一:分离变量法。方法二:带参数的二次函数问题。利用导数研究函数的极值与最值:7. 已知函数在时有极值0,则m,n.解析:f(x)3x26mxn,由题意,f(1)36mn0,f(1)13mnm20,解得或.但m1,n3时,f(x)3x26x33(x1)20恒成立即x1不是f(x)的极值点,应舍去思路点拨:注意极值点的充要条件,防止多解的出现。8. 已知函数.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值 导数与函数单调性的综合性应用:9. 设函数(1)求函数 f(x)的单调区间;(2)若函数 f(x)在区间(1,1)内单调递增,求 k 的取值范围解析:(1)由f(x)(1kx)ekx0,得x(k0),因为1kx的图像已知,故数形结合分类若k0,则当x时,f(x)0,函数f(x)单调递增若k0,函数f(x)单调递增;当x时,f(x)0,则当且仅当1,即0k1时,函数f(x)在(1,1)内单调递增若kk1时,函数f(x)在(1,1)内单调递增,综上可知,函数f(x)在(1,1)内单调递增时,k的取值范围是1,0)(0,1方法二:原函数f(x)在(-1,1)内单调递增,则在(-1,1)内恒成立。即在(-1,1)内恒成立。则当k0时,故0k1则当kk1思路点拨:本题考察的思想很好,由浅到深,属中档题。多多注意第三问的方法。10. 设函数(1)证明:的导数;(2)若对所有都有,求的取值范围解析:(1)的导数由于,故(当且仅当时,等号成立)(2)令,则,()若,当时,故在上为增函数,所以,时,即()若,,可以数形结合画出关于的一元二次函数,方程的正根为,此时,若,则,故在该区间为减函数所以,时,即,与题设相矛盾综上,满足条件的的取值范围是思路点拨:本题考察的思想很好,由浅到深,属中档题。多多注意第三问的方法。构造函数来研究不等式:11. 已知函数是(0,)上的可导函数,若在 x0 时恒成立(1)求证:函数g(x)在(0,)上是增函数;(2)求证:当时,有 12. 已知函数.(1)求函数 f(x)的单调递减区间;(2)若,证明: 思路点拨:此题设计到复合函数的求导法则,故适合理科。课后强化训练:导函数与原函数的图像问题:1. 已知的定义域为 R,的导函数的图像如图则下列说法中错误的有_(填序号)f(x)在 x1 处取得极小值;f(x)在 x1 处取得极大值;f(x)是 R 上的增函数;f(x)是(,1)上的减函数,(1,)上的增函数答案:2. 设是函数的导函数,将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )答案:D利用导数研究函数的单调性:3. 函数的一个单调递增区间是( )(A) (B) (C) (D) 解析: 选(A)4. 设函数(1)若曲线 yf(x)在点(2,f(2)处与直线 y8 相切,求 a、b的值;(2)求函数 f(x)的单调区间与极值点解析:(1)f(x)3x23a,曲线yf(x)在点(2,f(2)处与直线y8相切,(2)f(x)3(x2a)(a0),当a0时,f(x)0,函数f(x)在(,)上单调递增,此时函数f(x)没有极值点当a0时,由f(x)0x,当x(,)时,f(x)0,函数f(x)单调递增,当x(,)时,f(x)0,函数f(x)单调递减,当x(,)时,f(x)0,函数f(x)单调递增,此时x是f(x)的极大值点,x是f(x)的极小值点5. 已知函数图像上的点P(1,2)处的切线方程为.(1)若函数 f(x)在 x2 时有极值,求 f(x)的表达式;(2)函数 f(x)在区间2,0上单调递增,求实数 b 的取值范围解析:(1)(2)因为函数f(x)在区间2,0上单调递增,所以导函数f(x)3x2bxb,在区间2,0上的值恒大于或等于零,则,得b4,所以实数b的取值范围为4,)利用导数研究函数的极值与最值:6. 设函数为奇函数,其图像在点(1,f(1)处的切线与直线x6y70垂直,导函数的最小值为12.(1)求 a、b、c 的值;(2)求函数 f(x)的单调递增区间,并求函数 f(x)在1,3上的最大值和最小值解:(1)f(x)为奇函数,f(x)f(x),即ax3bxcax3bxc,c0.f(x)3ax2b的最小值为12,b12,a0.又直线x6y70的斜率为,因此,f(1)3ab6.a2,b12,c0.(2)f(x)2x312x.f(x)6x2126(x)(x),列表如下:函数f(x)的单调增区间是(,)和(,),f(1)10,f()8 ,f(3)18,f(x)在1,3上的最大值是f(3)18,最小值是f()8 .7. 设函数在及时取得极值(1)求a、b的值;(2)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围解析:(1),因为函数在及取得极值,则有,即解得,(2) 由()可知,当时,;当时,;当时,所以,当时,取得极大值,又,则当时,的最大值为因为对于任意的,有恒成立,所以,解得或,因此的取值范围为导数与函数单调性的综合性应用:8. 已知函数,其中(1)若是函数的极值点,求实数的值;(2)若对任意的(为自然对数的底数)都有成立,求实数的取值范围答案:(1),其定义域为, 是函数的极值点,即 , 经检验当时,是函数的极值点, (2)对任意的都有成立等价于对任意的都有当1,时,函数在上是增函数 ,且,当且1,时,函数在1,上是增函数,.由,得,又,不合题意 当1时,若1,则,若,则函数在上是减函数,在上是增函数.由,又1, 当且1,时,函数在上是减函数.由,得,又,综上所述,的取值范围为 9. (2010全国卷2文数)已知函数()设,求的单调区间;()设在区间(2,3)中至少有一个极值点,求的取值范围.解析:()当a=2时,当时在单调增加;当时在单调减少;当时在单调增加;综上所述,的单调递增区间是和,的单调递减区间是(),当时,为增函数,故无极值点;当时,有两个根由题意知,式无解,式的解为,因此的取值范围是.思路点拨:在区间(2,3)中至少有一个极值点的根位于(2,3)之间10. (2010全国卷2理数)设函数()证明:当时,;()设当时,求a的取值范围【解析】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式,考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.【点评】导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题,主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利用导数证明不等式等,常伴随对参数的讨论,这也是难点之所在.11. (2010新课标文)设函数()若,求的单调区间;()若当0时0,求a的取值范围解析:()时,。当时;当时,;当时,。故在,单调增加,在(-1,0)单调减少。()。令,则。若,则当时,为减函数,而,从而当x0时0,即0.若,则当时,为减函数,而,从而当时0,即0. 综合得的取值范围为思路点拨:可以化简;分类讨论的标准,可以数形结合利用导数的图形来讨论。12. (2010新课标理)设函数。(1) 若,求的单调区间;(2) 若当时,求的取值范围解:(1)时,.当时,;当时,.故在单调减少,在单调增加(II)由(I)知,当且仅当时等号成立.故,从而当,即时,而,于是当时,.由可得.从而当时,故当时,而,于是当时,.综合得的取值范围为.思路点拨:可以利用二次导函数来研究一次导函数的单调性。13. 【2011全国新课标文】已知函数,曲线在点处的切线方程为(I)求a,b的值;(II)证明:当x0,且时,解析:()由于直线的斜率为,且过点,故即解得,。()由()知,所以考虑函数,则所以当时,故当时,当时,从而当思路点拨:(1)求导函数要求,必须比原函数简化,转化才有效。 (2)多多善于发现特殊点的应用:例如h(1)=014. 【2011全国新课标理】已知
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2025-2026学年上海市闵行区文来中学九年级(上)月考化学试卷(10月份)(含答案)
- 【期末试卷】2021-2022学年陕西省咸阳市西北农林科技大学附中高二上学期期末语文试题(原卷版)
- 代理装修设计合同范本
- 全款买房定金合同范本
- 公司管理咨询合同范本
- 仪器检测维修合同范本
- 企业代储物资协议合同
- 美发特许经营拓展店创新创业项目商业计划书
- 农科院委托协议合同书
- 社区垃圾分类宣传车创新创业项目商业计划书
- 死因监测及肿瘤随课件
- 强对流天气安全培训课件
- 小学英语微型课题申报书
- 北京故宫研学旅行方案设计
- 智慧树知道网课《农业经济学(华南农业大学)》课后章节测试答案
- 燃气设备安装调试方案
- 黄土高原音乐教学课件
- 专题06 二次函数的图象与性质(安徽专用)5年(2021-2025)中考1年模拟《数学》真题分类汇编
- 术后鼻出血处理课件
- 环保行业2025年财务表现对比研究方案
- 搭建连廊工程方案(3篇)
评论
0/150
提交评论