直线的倾斜角与斜率多媒体教学设计方案.doc

直线的倾斜角与斜率多媒体教学设计方案学校：福建省晋江养正中学 姓名：姚培基 日期：2005年9月8日 “直线的倾斜角和斜率”说课稿 我说的课是高中第二册（上）第七章直线和圆的方程第一大节直线的倾斜角和斜率的第一节课。一、 关于教学目标的确定1、 教材的地位及作用直线和圆的方程属于解析几何学的基础知识，直线的方程是研究两条直线位置关系的基础，同时也是讨论圆的方程及其它圆锥曲线方程的基础。为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念。而作为直线方程的一个简单应用，介绍了简单的线性规划问题。故本节课是学好这一章内容的关键。2、 教学目的的认识据此并结合学生的认知基础，我认为本节课的教学目标应使学生（1）了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念；（2）理解直线的倾斜角和斜率的定义；掌握斜率公式，并会求直线的倾斜角和斜率.（3）通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力。（4）帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体现数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。二、重点、难点分析1、本节的重点是直线的倾斜角和斜率概念，及斜率公式直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。2、本节的难点是对“直线的方程”和“方程的直线”的概念以及对斜率概念的理解学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切这两个问题却并不容易接受。 三、教法、学法指导1、本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式学生思维也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立。相应的教学过程也有三个阶段：在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念。 本节的难点是对斜率概念的理解与过两点的直线的斜率公式的建立.学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗？再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率？要解决这些问题，可引导学生联想工程问题中的“坡度”问题，以及三角函数的定义。在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意公式的适用范围。在学习直线方程的概念时要通过举例清晰地指出概念具两面性（满足纯粹性与完备性），最好能用充要条件叙述直线方程的概念，强化直线与相应方程的对应关系。为将来学习曲线方程做好准备。2、本节内容在教学中宜采用启发式，设计为启发、引导、探究、归纳总结的教学模式。学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、小结倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在讨论、交流、归纳中完成的在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展。教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，归纳总结。四、关于教学程序的设计（一）知识导入阶段多媒体展示ssbezier变形曲线（培养学生的兴趣，让学生了解坐标法对数学发展起了巨大作用，及坐标法在计算机技术中所具有的关键作用。）（二）知识探索阶段（创设问题情景，展现概念形成过程）1、直线的方程与方程的直线的定义【问题1】有了“一次函数的图象”，为什么还要讲“方程的直线”？一次函数的图象是一条直线，它能表示平面上的所有的直线？不能，因为一次函数的图象，与坐标平面上的直线的对应，是一种不完美的对应。坐标平面上，有些直线不能用一次函数表示。（如x=2）那么该怎样修补？ （方程的解坐标直线的点，直线方程）2、直线倾斜角定义【问题2】如何确定一条直线？两点确定一条直线还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？ 学生：思考、回忆，回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度。【问题3】在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的。学生：展开讨论学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导。通过讨论认为：应选择角来刻画直线的方向根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角从而得到直线倾斜角的概念。【板书】定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。特别地，当与x轴平行或重合时，规定倾斜角为0。 由此定义，角的范围如何？ 0180或0 （教师强调三点：（1） 轴的正方向，（2）最小正角，（3）分类思想）3、 直线斜率的定义【问题4】为什么要用倾斜角的正切定义斜率？而不用正弦、余弦或余切哪?可联想到工程问题中的“坡度”，及三角函数的定义。 【板书】定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。记作 ，即 。强调定义域与值域的对应关系，及函数的单调性。4、 直线过两点斜率公式的推导【问题5】如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义 tan求出直线的斜率；如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，求直线P1P2的斜率。思路分析：首先由学生提出思路，教师启发、引导，运用正切定义，解决问题。(1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标）(2)角是“标准位置”吗？（不是）(3)如何把角放在“标准位置”？（平移向量，使P1与原点重合，得到新向量）(4)P的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1）(5)直线的斜率是多少？； x1= x2？(6)如果P1 和P2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）还有没有其它推导方法？评价：注意公式中x1x2，即直线P1 P2不垂直x轴因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角。（三）知识应用阶段 例1是道斜率与倾斜角概念的辨析题，而例2已知直线的倾斜角求斜率，设计两道变式题，培养学生的发散思维能力，讨论因倾斜角的变化，对斜率的影响，加深同学对斜率与倾斜角对应关系的理解。例3是斜率公式的应用突出本堂课的重点。例1：关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的： （1）任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 （ ）； （2）直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； （ ） （3）平行于x轴的直线的倾斜角是； （ ） （4）两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等.（ ） （5）直线斜率的范围是(，). （ ） 辨析：上述说法中，（5）正确，其余均错误，原因是：（1）与x轴垂直的直线倾斜角为，但斜率不存在；（2）.举反例说明，12030，（3）平行x轴的直线的倾斜角为；（4）.如果两直线的倾斜角都是，斜率不存在 也就谈不上相等。 说明：当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0；直线倾斜角的取值范围是；倾斜角是90的直线没有斜率.。坐标平面内，每一条直线都有唯一的倾斜角，但不是每一条直线都有斜率。 例2： 如图，直线的倾斜角30，直线，求、的斜率。 分析：对于直线的斜率，可通过计算直接获得，而直线的斜率则需要先求出倾斜角，而根据平面几何知识， ，然后再求即可。解：的斜率tantan30，的倾斜角9030120，的斜率tan120tan（18060） tan60。评述：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定。【变式1】直线的倾斜角150，直线，求的斜率。【变式2】已知直线的倾斜角，直线，求的斜率及倾斜角。 解：（1）当m=2 时，直线垂直于x轴，因此直线的斜率不存在； 倾斜角；（2）当m2时，直线当当（四）小结本节须掌握三个概念：直线方程、倾斜角和斜率；两个关系：直线的方程与方程的直线、斜率与倾斜角；两个问题：求倾斜角问题，求斜率问题。（五）知识延伸拓展阶段三道思考题，在于拓宽学生的视野，斜率是联结数与形的纽带，借助斜率可以解许多类型的问题。 思考1： 证1：； 证2：； 证3：； 证4：设法1在同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这就是利用斜率可证三点共线的原因。 思考2：已知两点M(2，3)、N(3，2)，直线L过点P(1，1)且与线段MN相交，求直线L的斜率k的取值范围？直线L的倾斜角a的取值范围？ 解：直线PM的斜率=-4；直线PN的斜率=；则直线L的取值范围k或k4 。评注：是连续变化的，但对应的斜率未必是连续变化的。思考3：已知评注：可利用斜率求函数的值域。附一：“直线的倾斜角和斜率”教案一、 教学目标：1、了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念；2、理解直线的倾斜角和斜率的定义；掌握斜率公式，并会求直线的倾斜角和斜率.3、通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力4、帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神二、重点、难点本节的重点是直线的倾斜角与斜率的概念和斜率公式本节的难点是对“直线的方程”和“方程的直线”的概念以及对斜率概念的理解三、教学方法：启发引导法，讨论法四、教具：多媒体课件五、教学过程：（一）知识导入阶段多面体展示ssbezier曲线图形（培养学生的兴趣，让学生了解坐标法对数学发展起了巨大作用，坐标法在计算机技术中所具有的关键作用。）（二）知识探索阶段（创设问题情景，展现概念形成过程）1、直线的方程定义【问题1】有了“一次函数的图象”，为什么还要讲“方程的直线”？一次函数的图象是一条直线，它能表示平面上的所有的直线？不能，因为一次函数的图象，与坐标平面上的直线的对应，是一种不完美的对应。坐标平面上的某些直线不是某一次函数的图象。（如x=2）那么该怎样修补？ （方程的解坐标直线的点，直线方程）【问题2】如何确定一条直线？两点确定一条直线还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？ 学生：思考、回忆，回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度【问题3】在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？学生：展开讨论学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导【板书】定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角 特别地，当与x轴平行或重合时，规定倾斜角为0 由此定义，角的范围如何？ 0180或0（教师强调三点：，（1） 轴的正方向，（2）最小正角，（3）分类思想）2、 直线斜率的定义【问题4】为什么要用倾斜角的正切定义斜率？而不用正弦、余弦或余切哪?可联想到工程问题中的“坡度”，三角函数的定义。 【板书】定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率记作 ，即 。3、 直线过两点斜率公式的推导【问题5】如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义 tan求出直线的斜率；如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，求直线P1P2的斜率思路分析：首先由学生提出思路，教师启发、引导，运用正切定义，解决问题(1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标）(2)角是“标准位置”吗？（不是）(3)如何把角放在“标准位置”？（平移向量，使P1与原点重合，得到新向量）(4)P的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1）(5)直线的斜率是多少？； x1= x2？(6)如果P1 和P2的顺序不同，结果还一样吗？（一样），还有没有其它推导方法？评价：注意公式中x1x2，即直线P1 P2不垂直x轴因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角（三）知识应用阶段 例1：关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的： （1）任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 （ ）； （2）直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； （ ） （3）平行于x轴的直线的倾斜角是； （ ） （4）两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等.（ ） （5）直线斜率的范围是(，). （ ） 辨析：上述说法中，（5）正确，其余均错误，原因是：（1）与x轴垂直的直线倾斜角为，但斜率不存在；（2）.举反例说明，12030，（3）平行x轴的直线的倾斜角为；（4）.如果两直线的倾斜角都是，斜率不存在 也就谈不上相等。 说明：当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0；直线倾斜角的取值范围是；倾斜角是90的直线没有斜率. 坐标平面内，每一条直线都有唯一的倾斜角，但不是每一条直线都有斜率。 例2： 如图，直线的倾斜角30，直线，求、的斜率. 分析：对于直线的斜率，可通过计算直接获得，而直线的斜率则需要先求出倾斜角，而根据平面几何知识， ，然后再求即可.解：的斜率tantan30，的倾斜角9030120，的斜率tan120tan（18060） tan60.评述：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定.【变式1】直线的倾斜角150，直线，求的斜率。【变式2】已知直线的倾斜角，直线，求的斜率及倾斜角。 解：（1）当m=2 时，直线垂直于x轴，因此直线的斜率不存在； 倾斜角；（2）当m2时，直线当当（四）知识延伸拓展阶段思考1： 思考2：已知两点M(2，3)、N(3，2)，直线L过点P(1，1)且与线段MN相交，求直线L的斜率k的取值范围？直线L的倾斜角a的取值范围？ 思考3：已知（五）小结本节须掌握三个概念：直线方程、倾斜角和斜率；两个关系：直线的方程与方程的直线、斜率与倾斜角；两个问题：求倾斜角问题，求斜率问题。附二：直线的倾斜角与斜率多媒体教学学生问卷调查调查班级：高二（13）班 共50人1、这节课给你的总体感觉如何？ （ ）A.效果很好（ 80% ） B.还可以（20% ）C.不好（ ） D.不知道（ ）2、你觉得老师对整个课堂的把握能力如何？ （ ）A.很自如（ 80% ） B.一般（20% ） C.不好 （ ） D.不知道（ ）3、老师设置的问题情景，是否有助于你养成积极探索的习惯（ ）A、很有帮助（ 80% ） B、有些帮助（ 20% ） C、基本上没有什么帮助4、课件的动画效果是否能让你更有效理解直线的倾斜角与斜率的关系（ ）A、很有效果 （ 100% ） B、基本上能理解 C、不能，需进一步改进5、你觉得这样的课是否有必要用多媒体教学（ ）A、课堂容量大，CAI辅助教学可大大缩短授课时间，因此很有必要（ 60% ）B、效果一般或没什么效果，没必要C、无所谓，可用也可不用（ 40% ）6、你觉得老师的教学方式与课件配合是否紧密（ ）A、很紧密 （ 100% ） B、一般 C、不紧密7、你对本课的学习内容理解和掌握程度有 （ ）A、80100% （ 60% ） B、6080%（ 40% ）C、60%（ ）D、不知道该怎么说（ ）附三：直线的倾斜角与斜率多媒体教学教师评语1评议者：教学目的明确，重点突出，突破难点，善于启发学生的思维，采用启发式教学，利用多媒体课件辅助教学，教学容量大，课堂教学结构合理，教学效果好，教师教学基本功扎实。2评议者：对大纲，教材熟悉，备课充分，教学设计好，时间紧凑，创设问题情景，展现概念的形成过程。但时间紧，推导公式过快，学生思考时间不够。3评议者：采用多媒体辅助教学，直观、形象展现解析几何中数形结合，本节课有两大亮点：一是例题1是道概念辨析题，紧紧围绕教学盲点设计；二是例2编制了两道变式题变钝角，变