港澳台数学知识点总结

高中数学概念总结（一）代数1. 集合（1）集合特性：无序性，确定性，互异性（2）集合分类：有限集，无限集，空集（3）常见数集：自然数集N；整数集Z；有理数集Q；实数集R；复数集C（4）集合表示：列举法，描述法，图示法（5）子集，真子集，集合相等，交集，并集，全集，补集（6）元素与集合之间用和；集合和集合之间用，。（7）若集合中有个元素，则集合的子集有个，真子集有个。2. 不等式（1）一元二次不等式解法：二次项化为正 + 图像（2）分式不等式：移项 + 通分 + 化分式为整式不等式（注意等号）（3）绝对值不等式：（4）无理不等式：；（5）基本不等式： （3）一正二定三相等；积定和小，和定积大。（6）不等式证明：比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法3. 函数（1）函数定义：一箭不能多雕（2）定义域：分母，偶次根式，零次幂的底，真数（4）值域：一元二次函数：对称轴与区间位置；基本不等式：耐克函数；单调性；利用导数；三角代换；复数函数求值域；反函数法；法；数形结合。（5）性质：奇偶性：定义域关于原点对称 + ； 若是奇函数，且在x=0处有定义，则； 奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称； 构造：定义域关于原点对称，为奇函数，为偶函数。 单调性：局部性质 ；单调区间独立写； 复合函数：同增异减周期性：最小正周期 图像对称： （6）反函数：求原函数值域；用y表示x；符号互换，写出反函数解析式和定义域。 单调函数一定有反函数；有反函数的函数不一定是单调的 原函数和反函数关于y=x对称；（7）幂指对函数 ； 幂函数：-记第一象限图像，再根据函数奇偶性作出完整图像（8）指对方程、不等式：指数方程换元注意；对数方程注意真数。4. 数列数列的概念：1）已知数列的通项公式或递推公式，求数列中的某一项： 2）已知数列的前项和，利用公式，求。等差数列和等比数列：1、定义：若，则称数列为等差数列。若，则称数列为等比数列。2、等差中项和等比中项：若、成等差数列，则等差中项。若、成等比数列，则等比中项。3、通项公式：等差数列的通项公式为。等比数列的通项公式为。4、前项和公式：等差数列的前项和公式为。等比数列的前项和公式为。5、若，则当数列是等差数列时，有；当数列是等比数列时，有。6、等差数列中，成等差数列。等比数列中，成等比数列。数列极限：； 当时，。；无穷等比数列的各项和（，）；数学归纳法：（1）证明当n取第一个值时，结论正确； （2）假设当n=k（k）时结论成立，证明当时结论也成立。5. 复数复数的概念：复数，其中，。叫复数的实部，记为；叫复数的虚部，记为。若，则是实数；若，则是虚数；若，则是纯虚数。复数的共轭复数为，复数的模为。复数几何意义：复平面上两点间距离。复数的运算：复数的加、减法和乘法与多项式的加、减法和乘法相同。复数的除法：分子分母同时乘以分母的共轭复数。复数实系数一元二次方程，当时，有一对共轭虚根。，。复数的三角形式： ， 6、多项式除法（1）多项式除以多项式的商式为，余式为，则。（2）余数定理：多项式除以x-b的余数为。（3）因式定理：多项式有一个因式x-b7、平面向量向量的概念：相等的向量：大小相等，方向相同的向量。负向量：大小相等，方向相反的向量。平行（共线）向量：方向相同或相反的向量。向量的模：向量的大小。若，则。单位向量：模为1的向量。若，则与方向相同的单位向量为。零向量：模为0的向量。零向量有方向，方向是任意的。向量的运算：向量的加法和减法可以运用平行四边形法则求得。两个向量、的数量积为（其中为、的夹角）。两个非零向量平行的充要条件：存在一个非零实数，使。两个非零向量垂直的充要条件：。向量的坐标计算：已知，则。已知，则，数量积，若，则；若，则；定比分点公式：若，则中点坐标公式：重心坐标公式：投影：在上的投影为平面向量分解定理：非零向量不平行，存在，使得，有。 当时，A、B、C三点共线。8、排列组合二项式定理1）计数原理：加法原理（分类）；乘法原理（分步）2）排列数：；3）组合数：= ； +=4）二项式定理： 第r+1项：， 二次项系数，与系数区分 性质：对称性：； 二次项系数之和：二次项系数的增减性和最大值：n偶数，最大 ；n奇，最大奇数项和=偶数项和： 9、概率1）古典概型： 频率与概率区别； 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0； 若事件A和B互斥，则；若事件A和B不互斥，则；若A、对立，则。2）几何概型：3）统计：总体、样本、样本容量 ； 普查和抽样调查 频率分布条形图和直方图 ； 方差： 标准差： 4）独立事件的概率：n次独立重复试验：n次试验中事件A恰好发生k次的概率为5）数学期望（二）三角1、三角比一、扇形的弧长与面积公式：（是圆心角的弧度数）弧长，面积二、三角比的定义：若是角终边上一点，设，则，。三、特殊角的三角函数值：0sin010cos100tg01不存在0不存在ctg不存在10不存在0四、同角三角比的关系：倒数关系：，商数关系：，平方关系：，。五、诱导公式：纵变横不变，符号看象限（）六、两角和差公式： 辅助角公式： （其中， ） 七、二倍角公式： 的三个公式中，常用后两个，第一个只有在想用平方差公式时才使用。这三个变形后的公式被称为降幂公式。将二次变为一次的同时，角变为原来的两倍。七、半角公式：八、万能公式：九、和差化积、积化和差公式：十、在中，用、表示三个角、所对的边。有下列公式：三角形面积公式：正弦定理：（为外接圆半径）余弦定理：2、三角函数的图像和性质三角函数的性质（表格中）表达式定义域值域最值当时，；当时，当时，；当时，无最值周期性最小正周期为最小正周期为最小正周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数单调区间递增递减无单调递减区间对称轴无对称轴对称中心图像函数（或）最小正周期为，函数的最小正周期为。（三）平面解析几何1、直线1) 直线斜率与倾斜角之间的关系为。2) 若直线经过、（），则直线的斜率。3) 直线方程的几种形式：点方向式：过点，一个方向向量的直线方程点法向式：过点，一个法向量的直线方程点斜式：经过点的直线可以设为斜截式：已知斜率为的直线可设为（是轴上的截距）截距式：（、分别是、轴上的截距）一般式：4) 已知直线，当，时，两直线平行。当，时，两直线重合。当时，两直线垂直。5) 与直线平行的直线可设为。与直线垂直的直线可设为。6) 直线到直线的角（到角）的范围，公式；直线与直线的夹角的范围，公式。7) 点到直线的距离为。两平行直线和间的距离为。2、圆1) 圆的标准方程是：，其中半径为，圆心为。2) 圆的一般方程是：（）其中，半径是，圆心坐标是。3) 点P与圆O的位置关系：，点在圆外 ； ，点在圆上 ； ，点在圆内。4) 直线与圆的位置关系：设为圆心到直线的距离，相切：； 相交：； 相离：。5) 圆与圆的位置关系：，相离；，外切；，相交；，内切；，内含。6) 圆的弦长公式： 抓直角三角形直线与圆交于、两点，则弦长，其中为圆心到直线的距离。3、圆锥曲线椭圆的第一定义：（在椭圆上，、是椭圆的焦点）椭圆的第二定义：动点到一定点和到一定直线的距离比为定值（）标准方程图形顶点、对称轴长轴长，短轴长焦点、焦距（），离心率准线双曲线的第一定义：（在双曲线上，、是双曲线的焦点）双曲线的第二定义：动点到一定点和到一定直线的距离比为定值（）标准方程图形顶点、对称轴实轴长，虚轴长焦点、焦距（），离心率准线渐近线与双曲线共渐近线的双曲线系方程是。抛物线抛物线第二定义动点到一定点和到一定直线的距离比为1标准方程图像焦点准线范围对称性关于x轴对称关于y轴对称顶点原点直线与圆锥曲线位置关系：（1）与双曲线相交于一点，有相切和与渐近线平行两种情况；与抛物线相交于一点，有相切和与对称轴平行两种情况-二次项系数是否为零的分类讨论。（2）与半个圆锥曲线相交问题-数形结合。弦长公式：点差法(弦中点)：将代入曲线方程作差，得到两根和差关系。对称问题：1）垂直；2）中点；3）（四）空间立体几何2、几何体的侧面积和表面积：3、几何体的体积：一、有关平行的证明1、线线公理4 l1l2 l1 l1l3 l1l2 l1l2 l1l2l2l3 =l2 线线线线 线面线线 面面线线 同垂直于一个平面线线2、线面 a a ab 线线线面 面面线面3、面面 a b 线面面面 同垂直于一直线面面二、有关垂直的证明1、线线 三垂线定理 射影斜线 平面内直线 逆定理 斜线射影 （线面线线） （线线线线）2、线面 ab (线线线面)3、面面 （线面面面） 三、有关角、距离的计算1、异面直线所成角定义 范围：（ 求法：作平行线，将异面相交；向量法：（C92）棱长为1的正方体，M、N分别为中点，求AM、CN成角的余弦；（C95）直三棱柱中，,D1、F1分别为中点，BC=CA=CC1，求BD1 与AF1所成角的余弦。 2、线、面所成角定义 范围： 求法：作垂线，找射影；向量法：（C95）圆柱的轴截面为正方形，E为底面圆周上一点，AFDE于F； ()证AFDB ()如圆柱与三棱锥DABE体积比为，求直线DE与平面ABCD所成角；（C98）斜三棱柱侧面A1ACC1底面ABC，BC=2，AC=， AA1A1C，AA1=A1C ()求AA1与底ABC所成角大小； ()求侧面A1ABB1与底ABC成二面角大小。 3、二面角定义 范围： 求法：作垂线，找射影；向量法：，二面角为4、点P到面的距离定义 求法：作垂线；向量法：（A为平面内任意一点）补充：1、极坐标系与直角坐标系互化公式2、空间直线和平面的