复数的公开课课件

一 数的发展史 被 数 出来的自然数 远古的人类 为了统计捕获的野兽和采集的野果 用划痕 石子 结绳记个数 历经漫长的岁月 创造了自然数1 2 3 4 5 自然数是现实世界最基本的数量 是全部数学的发源地 古代印度人最早使用了 0 被 分 出来的分数 随着生产 生活的需要 人们发现 仅仅能表示整数是远远不行的 分数的引入 解决了在整数集中不能整除的矛盾 如果分配猎获物时 2个人分1件东西 每个人应该得多少呢 于是分数就产生了 被 欠 出来的负数 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需要 人类引进了负数 负数概念最早产生于我国 东汉初期的 九章算术 中就有负数的说法 公元3世纪 刘徽在注解 九章算术 时 明确定义了正负数 两算得失相反 要令正负以名之 不仅如此 刘徽还给出了正负数的加减法运算法则 千年之后 负数概念才经由阿拉伯传人欧洲 负数的引入 解决了在数集中不够减的矛盾 被 推 出来的无理数 2500年古希腊的毕达哥拉斯学派认为 世间任何数都可以用整数或分数表示 并将此作为他们的一条信条 有一天 这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数 于是努力研究 终于证明出它不能用整数或分数表示 但这打破了毕达哥拉斯学派的信条 引起了数学史上的第一次危机 进而建立了无理数 扩大了数域 为数学的发展做出了贡献 由于希伯斯坚持真理 他被扔进大海 为此献出了年轻的生命 无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾 i的引入 对于一元二次方程没有实数根 引入一个新数 虚数单位i 引入一个新数 叫做虚数单位 并规定 1 它的平方等于 1 即 2 实数可以与它进行四则运算 进行四则运算时 原有的加 乘运算律仍然成立 二 复数 形如a bi a b R 的数叫做复数 其中i是虚数单位 全体复数所成的集合叫做复数集 C表示 1 复数的概念 NZQRC 2 复数的代数形式 通常用字母z表示 即 其中称为虚数单位 3 复数的分类及其关系 4 复数相等 如果两个复数的实部和虚部分别相等 那么我们就说这两个复数相等 即如果 那么 复数不一定能比较大小 5 共轭复数 Z a bi a b R 其共轭复数为 三 例题讲解 例1 判断下列各数 哪些是实数 哪些是虚数 若是虚数请指出实部与虚部 2 当 即时 复数z是虚数 3 当 即时 复数z是纯虚数 解 1 当 即时 复数z是实数 例2 实数m取什么值时 复数 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 练习 当m为何实数时 复数 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 例3 设x y R 并且2x 1 xi y 3i yi 求x y 1 虚数单位i的引入 2 复数有关概念 3 复数的分类 学习小结 在几何上 我们用什么来表示实数 想一想 实数的几何意义 类比实数的表示 可以用什么来表示复数 实数可以用数轴上的点来表示 实数 数轴上的点 形 数 一一对应 复数z a bi 有序实数对 a b 直角坐标系中的点Z a b x y o b a Z a b 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面 x轴 实轴 y轴 虚轴 数 形 复数平面 简称复平面 一一对应 z a bi 5 复数的几何意义 复数z a bi 一一对应 A 在复平面内 对应于实数的点都在实轴上 B 在复平面内 对应于纯虚数的点都在虚轴上 C 在复平面内 实轴上的点所对应的复数都是实数 D 在复平面内 虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数 例1 辨析 1 下列命题中的假命题是 D 2 a 0 是 复数a bi a b R 是纯虚数 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 不充分不必要条件 3 a 0 是 复数a bi a b R 所对应的点在虚轴上 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 不充分不必要条件 例2 已知复数z m2 m 6 m2 m 2 i在复平面内所对应的点位于第二象限 求实数m允许的取值范围 表示复数的点所在象限的问题 复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题 转化 几何问题 代数问题 一种重要的数学思想 数形结合思想 变式一 已知复数z m2 m 6 m2 m 2 i在复平面内所对应的点在直线x 2y 4 0上 求实数m的值 解 复数z m2 m 6 m2 m 2 i在复平面内所对应的点是 m2 m 6 m2 m 2 m2 m 6 2 m2 m 2 4 0 m 1或m 2 复数z a bi 一一对应 复数z a bi 直角坐标系中的点Z a b 一一对应 3 2 1复数代数形式的四则运算 一 温故而知新 4 复数的几何意义 1 复数的概念 2 复数的分类 3 复数相等 1 复数的加法法则 设z1 a bi z2 c di a b c d R 是任意两复数 那么它们的和 a bi c di a c b d i 1 复数的加法运算法则是一种规定 当b 0 d 0时与实数加法法则保持一致 2 两个复数的和仍然是一个复数 对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形 二 探究新知 说明 问 复数的加法满足交换律 结合律吗 设z1 a bi z2 c di a b c d R 设及分别与复数及复数对应 则 问 复数加法的几何意义吗 问 复数是否有减法 如何理解复数的减法 复数的减法规定是加法的逆运算 即把满足 c di x yi a bi的复数x yi叫做复数a bi减去复数c di的差 记作 a bi c di 根据复数相等的定义 我们可以得出复数的减法法则 且知两个复数的差是唯一确定的复数 说明 2 复数的减法法则 问 复数减法的几何意义 设及分别与复数及复数对应 则 3 复数的乘法法则 1 两个复数的积仍然是一个复数 说明 2 复数的乘法与多项式的乘法是类似的 只是在运算过程中把换成 1 然后实 虚部分别合并 易证复数的乘法满足交换律 结合律以及分配律 任何z1 z2 z3 C 有 例题 练习 1 i i2 i3 i2007 2