第三章-势流理论.ppt

第三章 有旋 涡 流与无旋流 有势流 3 1有旋流动 涡量 机翼尾涡 龙卷风等直观上的旋涡现象是大尺度流体团的强烈有旋流动 在有旋流动中 只有当流体团积聚较强涡量并绕某一公共轴线旋转时 才形成旋涡 有旋流动中 强烈旋涡运动主宰流动 从涡动力学出发研究旋涡运动 比用N S方程来研究更加方便 涡面与涡管 涡线 1涡量场 涡通量 速度环量 Stokes定理 沿涡管每一横截面的包围曲线的速度环量相等 1 2 2涡旋的运动学特性 涡旋场内无源无汇 对一个确定的涡管 它的任意截面上的涡通量是一个常数 该常数称为涡管强度J1 J2 涡线和涡管都不能在流体内部中断 所以有 3涡量连续性方程 对理想流体得到亥尔姆霍兹方程 4不可压粘性流体质量力有势时涡量输运方程 习题已知速度场求 1 涡量及涡线方程 2 在平面上通过单位面积的涡通量 3 2无旋流动的势函数 1无旋流动的势函数 在无旋流动中 存在函数 函数称为速度势函数 存在着速度势函数的流动 称为有势流动 简称势流 无旋流动必然是有势流动 速度在某一方向的分量等于势函数在该方向上的偏导数 2势函数的性质 势函数是调和函数 不可压缩流体的连续性方程为 3基本解叠加法 势流叠加原理 线性方程 叠加原理 基本流动2 基本流动1 新的复杂流动 1 基本解 均匀直线流 点源汇流场中某一点处有流体注入流场 体积流量Q 称点源强度 设坐标原点在点源处 径向流速 偶极子 等强度的源汇无限靠近 若存在 M为偶极强度 这样的源汇点叫偶极点 2 圆球绕流 设坐标原点在球心 求速度势 边条件 物面不可穿透 无穷远来流 用基本解叠加求速度势时 据流动特征选择适当的基本解 均匀来流 偶极子 无穷远来流条件满足 再由物面条件求得偶极子强度 速度场 球面速度 前后驻点 球面压强 球面压力系数 0 1 0 0 90 180 1 25 理想无旋绕流 球面压强分布关于X轴和Y轴都是对称的 合力为零 与实际绕流相比 迎风面符合较好 大约从顶部开始 实际压强分布偏离理想情况 尤其在圆球后部 实际压强远低于理论压强 其原因在于流体粘性导致的尾部分离 产生压差阻力 形状阻力 在流动不发生分离或在分离点之前 理想无旋绕流是实际流动的良好近似 3 3不可压流体的平面势流 1流函数 在不可压缩流体平面流动中 连续性方程简化为 存在流函数 一切不可压缩流体的平面流动 无论是有旋流动或是无旋流动都存在流函数 流函数的性质 1 等流函数线即是流线 流线 2 两流线间的流函数差值 等于两流线间的单宽流量 3 平面势流的流函数是调和函数 2无旋流动 1 势函数为调和函数 2 平面运动沿任意曲线AB的环量等于两端点A及B的速度势之差 3流函数与势函数的关系 1 平面无旋运动的势函数和流函数共轭 2 流函数的等值线与速度势函数的等值线正交 柯西 黎曼条件 4平面无旋运动的流网 流网是不可压缩流体平面无旋流动中 流线簇与等势线簇构成的正交网格 其存在条件是不可压缩平面势流 网中每一网格的边长之比等于速度势与流函数的增值之比 如取则网格成正方形 流网的性质 组成流网的流线与等势线互相垂直 即等流函数线与等势线互相垂直 流网内任一点A 的增值方向与方向一致 的增值方向为方向向正y轴旋转90 后所得的方向 3 4平面势流的复势问题 1复势 为复自变量 复势是解析函数 势函数 流函数均为调和函数 且满足柯西 黎曼条件 故为一对共轭调和函数 其组成的复变函数是解析函数 复势的意义在于把两个二元实函数变换成复变量的一元复函数 2解析复函数的性质 1 解析函数的方向导数和求导方向无关 2 解析函数的和是解析函数 3 解析函数的导数是解析函数 即可以无限求导 4 解析函数的积分是解析函数 5 在不包含原点的有限域中 解析函数的一般展开式为 罗朗级数 6 留数公式 L为包含z0的封闭周线 3复速度 复势的导数等于复速度的共轭 4绕流问题的复势提法 任一解析函数 其实 虚部均满足LAPLACE方程 必对应一个平面势流 具体绕流问题 考虑边界条件即可确定唯一复势 物面不可穿透 无穷远处 给定环量 3 5平面势流的基本解 1均匀直线运动 流场内速度的大小和方向均为常值的流动 实例 均匀直线流绕过顺流放置的无限薄平板 特例 若 则 若 则 极坐标表示 复势 2点源及点汇 1 点源 设某平面有一产生流体的源泉O 流体自源泉O点流出后沿一平面均匀的向四方作扩散流动 这种扩散运动叫着点源运动 单位时间流出的流体体积Q称为源强 实例 泉眼向各方的流动 离心式水泵叶轮内的流体运动 极坐标表示为 复势 2 点汇 当产生流体的源泉O改为吸收流体的汇聚点O 四周流体均匀的向汇聚点集中 这种运动叫着点汇运动 点汇运动与点源运动仅符号相反 实例 地下水向井中的流动 极坐标表示为 3点涡 流场中各流体质点均绕某点O以辐向流速 c为常数 作圆周运动 因而流线为同心圆簇 而等势线则为自圆心O发出的射线簇 这种流动称为点涡 环流 实例 自然界中龙卷风 离心式水泵 离心式除尘器等 极坐标表示为 复势 4角域流动 复势为幂函数 A为实数 n是正实数 极坐标系中 1 n 1 w Az 均匀流 2 n 1 2 当 时 为两条零流线 即该流动为绕 角流动 3 1 2 n 1 时 为两条零流线 即该流动是绕外角流动 4 n 1 时 为两条零流线 即该流动是绕内角流动 例n 2时 为直角绕流 3 6平面势流叠加举例 1源环流动 点源流动与点涡流动叠加 实例 容器底部小孔旋转出流 旋风除尘器 旋风燃烧室 离心式水泵叶轮内流体 复势 流线是一簇对数螺形线 等势线是与流线正交的螺形线 流线方程为 等势线方程为 2偶极流 偶极流是把源点及汇点间距无穷小的等强度点源和点汇叠加起来形成的流动 设点源 Q 与点汇 Q 间的距离为2a 则任意点M的速度势为 若存在 M为偶极强度 这样的源汇点叫偶极点 流线方程为 偶极流的流线是一族圆心在y轴上的圆族 并在坐标原点与x轴相切 等势线是一族圆心在x轴上的圆周族 并在坐标原点与y轴相切 复势 3均匀直线流中的偶极流 无环量圆柱绕流 偶极点在坐标原点的偶极流与沿x轴的均匀直线流 叠加而成 实例 河水流过桥墩 风吹过烟囱 复势 流线方程为 其中 零流线方程为 解零流线方程得 零流线是由x轴和圆心在坐标原点 半径为的圆组成 速度场 物面速度 前后驻点 物面压强 物面压力系数 0 1 0 0 90 180 3 0 理想无旋绕流 物面压强分布关于X轴和Y轴都是对称的 合力为零 与实际绕流相比 迎风面符合较好 大约从顶部开始 实际压强分布偏离理想情况 尤其在圆柱后部 实际压强远低于理论压强 其原因在于流体粘性导致的尾部分离 产生压差阻力 形状阻力 在流动不发生分离或在分离点之前 理想无旋绕流是实际流动的良好近似 4均匀直线流 偶极流 点涡 有环量圆柱绕流 r r0是一条流线 圆 由伯努利方程可以确定圆面压力分布 积分只有升力 而没有阻力 习题1已知不可压平面势流的流函数 求复势 习题2无环量圆柱绕流的复势 证明物面压强分布 若图示水压差计读数 求空气来流速度 h 3 7求解平面无旋绕流问题的保角变换法 基本思想 利用复变函数的解析变换寻求满足边界条件的复势 1解析变换是保角变换 任意两条曲线的夹角在解析变换下保持不变 x y k1 k2 k1 k2 解析复变函数 2基本方法 利用圆柱绕流的复势为基本流动 通过解析变换 构造各种平面无旋绕流的复势 给定物面线方程 寻求解析变换 满足无穷远点对应 无穷远处导数为常数的条件 使得 即将给定的物面线型变换成半径为 的圆 然后将 代入圆柱绕流基本解 即可得到绕给定物形流动之复势 3常用解析变换 1 线性变换 平面 平面 线性变换将 平面上圆柱绕流变换成 平面上一个新的圆柱绕流 圆心在 半径 来流速度 来流方向与 轴夹角 2 幂函数 为实数 平面上的均匀流 平面上的绕角流 3 儒可夫斯基变换 逆变换 平面 平面 该变换的几何性质 是奇点 对应 平面上的无穷远点 无穷远点对应 无穷远处线段长度缩小1 2 但方向不变 圆 变换到z平面上 往返线段 圆 变换到z平面上 即 即为一椭圆 焦距 长轴 短轴 射线 变换到z平面 即 双曲线 平面上圆周线与射线正交 平面上椭圆线与双曲线正交 即保角变换 习题 已知椭圆柱 来流平行于椭圆的长轴 速度 已知环量 求该绕流的复势 3 8解有界域中平面无旋绕流问题的镜像法 1基本思想 当物体在贴近地面运动 或绕流物体下面有一固壁 则无旋绕流不仅要满足物