高考数学大纲卷解析几何试题特点分析及备考复习建议

高考数学大纲卷解析几何试题特点分析及备考复习建议摘 要解析几何是中学数学的重要知识板块，也是高考的重要内容。这一知识板块的题型，强调基础、着意创新，题型稳定、试题平和，特别注重本学科的目的和任务的考查，并在知识的交汇点设计，全面考查基本数学方法。这一内容的备考复习应注意解析几何内容的全面复习和突出重点，加强平面向量知识在解析几何中的渗透和整合，注重培养学生的数学应用意识，让学生进一步体验数学发现和探索历程，发展创新意识。关键词试题特点；分析；备考复习；建议中图分类号g624文献标识码a文章编号2095-3712（2013）14-0058-03作者简介周松林（1972），男，湖南衡阳人，本科，广西桂林市第一中学科研处主任，中学高级。解析几何是中学数学的主干知识之一，它在高考数学试题中所占的分数比例约是百分之二十。高考中的“三大题型”都可以有这一内容，考查要求包含了从“了解”到“灵活运用”的各个层次。纵观近几年高考数学大纲卷中的解析几何试题，基本上继承和发扬了“题型、内容、难度相对稳定，突出考查主干知识，注重通性通法的同时适度创新”的特点。命题日趋成熟，多数题目源于教材又高于教材，且综合运用方程、不等式、函数和平面向量等工具，宽角度、高视点、多层次地考查了解析几何数形结合的基本思想。一、试题特点分析（一）强调基础，着意创新例1 对于抛物线 y2=4x上任意一点q，点p（a，0）都满足|pq|a|，则a 取值范围是（ ）a.（-，0）b.（-，2c.0，2d.（0，2）本题小巧玲珑，以抛物线的基础内容为载体，以两点间距离公式为工具，以数形结合为首选方法，考查运动变化的思想。题中参数 a使得点p动了起来，p、q 两点既静又动，动静结合，突出了解析几何学科所包含的辩证法思想。（二）题型稳定，试题平和解析几何试题一般以3小题（或4小）1大题出现。小题一般是中档偏易题，重点考查本学科的重要基础知识和基本方法；大题一般具有较强的综合性，主要考查对本学科知识的应用能力。例2 已知椭圆x2 +y2=1的右准线 l与x轴相交点e，过椭圆右焦点f的直线与椭圆相交于a、b两点，点c在右准线 l上，且bcx轴，求证：直线ac过线段ef的中点。本题是课本习题的一道变式题，结论就是要求证明点a、c和线段ef的中点n 共线。证明多点共线的问题，学生需要有足够的知识和方法储备。此题叙述平和，设问中规中矩，让考生自信答题，有利于考生真实水平的发挥。解答本题时，要求对椭圆和直线的基础知识十分熟悉，能准确把握目标，能把条件转化为可操作的解题语言并具体化，注意对解题过程科学调控，对所得的式子进行合理变形和不断转化，即可成功获证。（三）考查特别注重本学科的目的和任务以解析几何知识为引线，突出解析几何的两个基本任务：根据条件求曲线的方程（如轨迹题）和由方程研究曲线的性质（近几年的解析几何高考大题全是这一类型的问题或二者同时考查）。高考中把解析几何这一学科的特点（采用坐标法的同时运用代数方法来研究几何）发挥得淋漓尽致，比较深入地考查考生的综合素质和继续数学学习的潜能。（四）在知识的交汇点设计试题，全面考查基本数学方法解析几何的基础是建立在形与数的根本联系上的，它对图形的基本看法是把图形看作是动点运动产生的轨迹，它的研究方法主要是以反映图形的方程中各元素的变化来说明图形的性质和变化情况的。因此，函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想、换元消元思想等成为解题活动的指南，在高考中，解析几何题处处渗透着这些启迪学生智慧和灵感的数学思想和方法。例3 已知常数 a0，在矩形abcd中，ab=4，bc=4a，o为ab的中点。点e、f、g分别在bc、cd、da上移动，且 ，p为ge与of的交点（如图）。问是否存在两个定点，使p到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。本题用纯平面几何语言来叙述条件，本题的情景确有令人耳目一新之感，而本题的设问避开“求p 点的轨迹”字样，也给考生寻找解题思路设置了障碍。若学生熟悉椭圆的定义，基础知识扎实，掌握求轨迹的方法（如定义法、交轨法、动点转移法等）并有深刻理解，可顺利解答本题。本题融平面几何、坐标法思想（解析几何的核心思想）、曲线与方程等知识于一体，比较深入地考查了中学数学中所蕴涵的主要数学思想和方法。二、备考复习建议（一）注意解析几何内容的全面复习和突出重点现在的高考虽不提倡片面追求覆盖率，但从动态的角度来分析，以三大曲线为背景的考题呈周期性出现，所以教师在引导学生复习时要有前瞻性。在近四年中，椭圆考了两次大题和两次小题，双曲线考了两次大题和两次小题（小题有时在极坐标和参数方程中融入圆锥曲线作背景），而抛物线全是以小题形式出现。如果联系抛物线和二次函数的关系，利用向量平移知识把一般的二次函数转化成标准的抛物线方程，以导数的几何意义为工具，以抛物线中的某些特殊的三角形为载体（如求面积的最值等），完全可以设计出十分新颖的综合性考题。可以预见，这样的命题格局将在以后的高考中继续保持。值得指出的是，以直线内容为背景的解析几何试题大题近年少见，但并不意味以后不会出现。（二）加强平面向量知识在解析几何中的渗透和整合由于具有几何形式和代数形式的“双重身份”，向量成为中学数学知识的一个交汇点，也成为联系多项内容的媒介。平面向量作为一种有向线段，其本身就是直线上的一段，其向量的坐标可用其起点、终点的坐标表示，因此向量与平面解析几何，特别是与直线部分保持着自然的联系。平面向量的考查要求，其一是主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能。要求考生掌握平面向量的和、差、数乘和内积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算，此是向量知识和平面几何知识相互表达的依据。其二是考查向量的坐标表示，向量的线性运算，此是联系解析几何的桥梁。其三是和其他数学内容结合在一起，如可以和曲线、数列等基础知识结合，考查逻辑推理和运算能力等综合运用数学知识解决问题的能力，应用数形结合的思想方法，将几何知识和代数知识有机地结合在一起，能为多角度地展开解题思路提供广阔的空间。题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满完成解答，则需要严密的逻辑推理和准确的计算。这为向量知识在解析几何综合性问题的渗透提供了合理性和可能性。（三）注重培养学生的数学应用意识数学作为一门应用科学已成为数学的本质之一。在复习中及时加强解析几何知识在生产生活领域中的应用，可提高学生应用数学知识的意识与能力。例5 农民有田2亩，根据他的经验：若种水稻，则每亩每期产量为400公斤；若种花生，则每亩产量为100公斤。但水稻成本较高，每亩每期240元，而花生只要80元，且花生每公斤可卖5元，稻米每公斤只卖3元。现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物应各种多少亩，才能得到最大利润？这是一道以线性规划知识为考查目标的应用题，农村中学的学生对问题的背景非常熟悉，研究这样的问题，他们很有兴趣。（四）让学生进一步体验数学发现和探索历程，发展创新意识在解析几何中，探索确定直线位置的几何要素；探索直线方程的几种形式；探索两点间距离公式，通过实验，探索满足一定条件的点的轨迹（如椭圆的形成和变化）等。通过探索要求学生主动参与特定的数学活动，借助观察、实验、推理等活动发现对象的特征或与其他对象的区别与联系（如三大曲线的定义、性质等）。从而使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，有助于学生体验数学探索历程，培养用运动变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力，发展创新意识。纵观近几年的解析几何大题，年年推陈出新，考思想、考方法、考能力、考应用，因此提倡在平时的解题教学中，学生在掌握基本方法的同时，一定要领会其中蕴含的数学思想。