2018年全国各地高考数学(理科试卷及答案)

2018年高考数学理科试卷（江苏卷）数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合，那么 2若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为 3已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的的值为 5函数的定义域为 6某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 7已知函数的图象关于直线对称，则的值是 8在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 9函数满足，且在区间上， 则的值为 10如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 11若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 12在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，以为直径的圆与直线交于另一点若，则点的横坐标为 13在中，角所对的边分别为，的平分线交于点，且，则的最小值为 14已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）在平行六面体中，求证：（1）；（2）16（本小题满分14分）已知为锐角，（1）求的值；（2）求的值17（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上设OC与MN所成的角为（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大18（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；直线l与椭圆C交于两点若的面积为，求直线l的方程19（本小题满分16分）记分别为函数的导函数若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由20（本小题满分16分）设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）数学(附加题)21【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲(本小题满分10分)如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C若，求 BC 的长B选修42：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵（1）求的逆矩阵；（2）若点P在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P的坐标C选修44：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长D选修45：不等式选讲(本小题满分10分)若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤学科#网22（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值23(本小题满分10分)设，对1，2，n的一个排列，如果当s0），则年总产值为4k800（4sincos+cos）+3k1600（cossincos）=8000k（sincos+cos），0，）设f（）= sincos+cos，0，），则令，得=，当（0，）时，所以f（）为增函数；当（，）时，所以f（）为减函数，因此，当=时，f（）取到最大值答：当=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大18本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力满分16分解：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为因为圆O的直径为，所以其方程为（2）设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即由，消去y，得（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以因为，所以因此，点P的坐标为因为三角形OAB的面积为，所以，从而设，由（*）得，所以因为，所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为综上，直线l的方程为19本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力满分16分解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f（x）=1，g（x）=2x+2由f（x）=g（x）且f（x）= g（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点（2）函数，则设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f（x0）与g（x0），得，即，（*）得，即，则当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点因此，a的值为（3）对任意a0，设因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在（0，1），使得，令，则b0函数，则由f（x）与g（x）且f（x）与g（x），得，即（*）此时，满足方程组（*），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”因此，对任意a0，存在b0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+）内存在“S点”20本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分16分解：（1）由条件知：因为对n=1，2，3，4均成立，即对n=1，2，3，4均成立，即11，1d3，32d5，73d9，得因此，d的取值范围为（2）由条件知：若存在d，使得（n=2，3，m+1）成立，即，即当时，d满足因为，则，从而，对均成立因此，取d=0时，对均成立下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）当时，当时，有，从而因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为设，当x0时，所以单调递减，从而f（0）=1当时，因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为因此，d的取值范围为数学(附加题)参考答案21【选做题】A选修41：几何证明选讲本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力满分10分证明：连结OC因为PC与圆O相切，所以OCPC又因为PC=，OC=2，所以OP=4又因为OB=2，从而B为RtOCP斜边的中点，所以BC=2B选修42：矩阵与变换本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力满分10分解：（1）因为，所以A可逆，从而（2）设P(x，y)，则，所以，因此，点P的坐标为(3，1)C选修44：坐标系与参数方程本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分10分解：因为曲线C的极坐标方程为，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆因为直线l的极坐标方程为，则直线l过A（4，0），倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点设另一个交点为B，则OAB=连结OB，因为OA为直径，从而OBA=，所以因此，直线l被曲线C截得的弦长为D选修45：不等式选讲本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力满分10分证明：由柯西不等式，得因为，所以，当且仅当时，不等式取等号，此时，所以的最小值为422【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力满分10分学科%网解：如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OBOC，OO1OC，OO1OB，以为基底，建立空间直角坐标系Oxyz因为AB=AA1=2，所以（1）因为P为A1B1的中点，所以，从而，故因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为（2）因为Q为BC的中点，所以，因此，设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量，则即不妨取，设直线CC1与平面AQC1所成角为，则，所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为23【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力满分10分解：（1）记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有，所以对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置因此，（2）对一般的n（n4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12n，所以逆序数为1的排列只能是将排列12n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以为计算，当1，2，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置因此，当n5时，因此，n5时，绝密启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。学科:网第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合A=x|x|2，B=2，0，1，2，则AB=（A）0，1（B）1，0，1（C）2，0，1，2（D）1，0，1，2（2）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）（B）（C）（D）（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（A） （B）（C） （D）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A）1（B）2 （C）3（D）4（6）设a，b均为单位向量，则“”是“ab”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）在平面直角坐标系中，记d为点P（cos，sin）到直线的距离，当，m变化时，d的最大值为（A）1（B）2（C）3（D）4（8）设集合则（A）对任意实数a，（B）对任意实数a，（2，1）（C）当且仅当af（0）对任意的x（0，2都成立，则f（x）在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是_（14）已知椭圆，双曲线若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。学科网（15）（本小题13分）在ABC中，a=7，b=8，cosB=（）求A；（）求AC边上的高（16）（本小题14分）如图，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，的中点，AB=BC=，AC=2（）求证：AC平面BEF；（）求二面角B-CD-C1的余弦值；（）证明：直线FG与平面BCD相交（17）（本小题12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）写出方差，的大小关系（18）（本小题13分）设函数=（）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；（）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围（19）（本小题14分）已知抛物线C：=2px经过点（1，2）过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N（）求直线l的斜率的取值范围；（）设O为原点，求证：为定值（20）（本小题14分）设n为正整数，集合A=对于集合A中的任意元素和，记M（）=（）当n=3时，若，求M（）和M（）的值；（）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数求集合B中元素个数的最大值；（）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（）=0写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由学科&网绝密启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1A2D3B4D5C6C7C8D二、填空题9101112313y=sinx（答案不唯一）14三、解答题（15）（共13分）解：（）在ABC中，cosB=，B（，），sinB=由正弦定理得=，sinA=B（，），A（0，），A=（）在ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=如图所示，在ABC中，sinC=，h=，AC边上的高为（16）（共14分）解：（）在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC，四边形A1ACC1为矩形又E，F分别为AC，A1C1的中点，ACEFAB=BCACBE，AC平面BEF（）由（I）知ACEF，ACBE，EFCC1又CC1平面ABC，EF平面ABCBE平面ABC，EFBE如图建立空间直角坐称系E-xyz由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1），设平面BCD的法向量为，令a=2，则b=-1，c=-4，平面BCD的法向量，又平面CDC1的法向量为，由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为（）平面BCD的法向量为，G（0，2，1），F（0，0，2），与不垂直，GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，GF与平面BCD相交（17）（共12分）解：（）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是2000.25=50故所求概率为（）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”故所求概率为P（）=P（）+P（）=P（A）（1P（B）+（1P（A）P（B）由题意知：P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2故所求概率估计为0.250.8+0.750.2=0.35（）=（18）（共13分）解：（）因为=，所以f （x）=2ax（4a+1）ex+ax2（4a+1）x+4a+3ex（xR）=ax2（2a+1）x+2exf (1)=(1a)e由题设知f (1)=0，即(1a)e=0，解得a=1此时f (1)=3e0所以a的值为1（）由（）得f （x）=ax2（2a+1）x+2ex=（ax1）(x2)ex若a，则当x(，2)时，f (x)0所以f (x)0在x=2处取得极小值若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10所以2不是f (x)的极小值点综上可知，a的取值范围是（，+）（19）（共14分）解：（）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k0）由得依题意，解得k0或0kb0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ，求k的值.(20)(本小题满分14分)已知函数，其中a1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.参考答案：一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分40分（1）B（2）C（3）B（4）A（5）D（6）A（7）C（8）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分30分（9）4i（10） （11） （12） （13） （14） 三、解答题（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力满分13分（）解：在ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得又因为，可得B=（）解：在ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=由，可得因为ac，故因此， 所以， （16）本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力满分13分 （）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（）（i）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3P（X=k）=（k=0，1，2，3）所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望（ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=BC，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=所以，事件A发生的概率为（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识考查用空间向量解决立体几何问题的方法考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力满分13分依题意，可以建立以D为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，1），N（1，0，2）（）证明：依题意=（0，2，0），=（2，0，2）设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量，则 即 不妨令z=1，可得n0=（1，0，1）又=（1，1），可得，又因为直线MN平面CDE，所以MN平面CDE（）解：依题意，可得=（1，0，0），=（0，1，2）设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则 即 不妨令z=1，可得n=（0，1，1）设m=（x，y，z）为平面BCF的法向量，则 即 不妨令z=1，可得m=（0，2，1）因此有cos=，于是sin=所以，二面角EBCF的正弦值为（）解：设线段DP的长为h（h0，2），则点P的坐标为（0，0，h），可得易知，=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故，由题意，可得=sin60=，解得h=0，2所以线段的长为.（18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.（I）解：设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而 故 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（II）（i）由（I），有，故.（ii）证明：因为，所以，.（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识考查用代数方法研究圆锥曲线的性质考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力满分14分（）解：设椭圆的焦距为2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b由已知可得，由，可得ab=6，从而a=3，b=2所以，椭圆的方程为（）解：设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）由已知有y1y20，故又因为，而OAB=，故由，可得5y1=9y2由方程组消去x，可得易知直线AB的方程为x+y2=0，由方程组消去x，可得由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或所以，k的值为 （20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.（I）解：由已知，有.令，解得x=0.由a1，可知当x变化时，的变化情况如下表：x00+极小值所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.（II）证明：由，可得曲线在点处的切线斜率为.由，可得曲线在点处的切线斜率为.因为这两条切线平行，故有，即.两边取以a为底的对数，得，所以.（III）证明：曲线在点处的切线l1：.曲线在点处的切线l2：.要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，使得l1和l2重合. 即只需证明当时，方程组有解，由得，代入，得. 因此，只需证明当时，关于x1的方程有实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，又，故存在唯一的x0，且x00，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减. 在处取得极大值.因为，故，所以.下面证明存在实数t，使得.由（I）可得，当时，有，所以存在实数t，使得因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.#2018年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷时间120分钟，满分150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1.行列式的值为_.2.双曲线的渐近线方程为_.3.在的二项展开式中，项的系数为_.（结果用数值表示）4.设常数，函数。若的反函数的图像经过点，则_.5.已知复数满足（是虚数单位），则_.6.记等差数列的前项和为，若，则_.7.已知。若幂函数为奇函数，且在上递减，则_.8.在平面直角坐标系中，已知点，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为_.9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个。从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_.（结果用最简分数表示）10.设等比数列的通项公式为（），前项和为。若，则_.11.已知常数，函数的图像经过点、。若，则_.12.已知实数、满足：，则的最大值为_.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A） （B） （C） （D）14.已知，则“”是“”的（ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件15.九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。设是正六棱柱的一条侧棱，如图。若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）（A） （B） （C） （D）16.设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数。若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）（A） （B） （C） （D）三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2. （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积； （2）设，、是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角的大小。18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设常数，函数。 （1）若为偶函数，求的值； （2）若，求方程在区间上的解。19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时。某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤。分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟）而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟。试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义。20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线:（，），与轴交于点，与交于点。、分别是曲线与线段上的动点。 （1）用表示点到点的距离； （2）设，线段的中点在直线上，求的面积； （3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由。21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”。 （1）设是首项为1，公比为的等比数列，。判断数列是否与接近，并说明理由； （2）设数列的前四项为：，是一个与接近的数列，记集合，求中元素的个数； （3）已知是公差为的等差数列。若存在数列满足：与接近，且在，中至少有100个为正数，求的取值范围。绝密启用前201