2019_2020学年高中数学第4讲用数学归纳法证明不等式1数学归纳法学案新人教A版.docx

一数学归纳法学习目标：1.了解数学归纳法的原理及其使用范围(重点)2.会利用数学归纳法证明一些简单问题(重点、难点)教材整理数学归纳法的概念阅读教材P46P50，完成下列问题一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当nn0时命题成立；(2)假设当nk(kN，且kn0)时命题成立，证明_nk1时命题也成立在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立这种证明方法称为数学归纳法数学归纳法证明中，在验证了n1时命题正确，假定nk时命题正确，此时k的取值范围是()AkNBk1，kNCk1，kN Dk2，kNC数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.用数学归纳法证明等式【例1】用数学归纳法证明：1.精彩点拨要证等式的左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同因此，由“nk”到“nk1”时要注意项的合并自主解答当n1时，左边1右边，所以等式成立假设nk(k1，kN)时等式成立，即1，则当nk1时，左边1右边，所以，nk1时等式成立由知，等式对任意nN成立1用数学归纳法证明等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项2利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述nn0时命题的形式，二是要准确把握由nk到nk1时，命题结构的变化特点并且一定要记住：在证明nk1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节1用数学归纳法证明：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)证明(1)当n1时，左边12223，右边1(211)3，等式成立(2)假设当nk(k1)时，等式成立，就是12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)22(k1)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1时等式也成立，根据(1)和(2)可知，等式对任何nN都成立.用数学归纳法证明整除问题【例2】用数学归纳法证明：(3n1)7n1能被9整除(nN)精彩点拨先验证n1时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键是找清f(k1)与f(k)的关系并设法配凑自主解答(1)当n1时，原式(311)7127，能被9整除，命题成立(2)假设当nk(kN，k1)时，(3k1)7k1能被9整除，则当nk1时， 3(k1)17k1121(k1)77k1(3k1)(18k27)7k1(3k1)7k19(2k3)7k.(3k1)7k1和9(2k3)7k都能被9整除， (3k1)7k19(2k3)7k能被9整除，即3(k1)17k11能被9整除，即当nk1时命题成立由(1)(2)可知，对任何nN，命题都成立，即(3n1)7n1能被9整除(nN)1证明本题时关键是用归纳假设式子(3k1)7k1表示nk1时的式子2用数学归纳法证明整除问题关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证一般地，证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a(或一个代数式g(n) 整除，主要是找到f(k1)与f(k)的关系，设法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k1)f(k)f1(k)f2(k)2求证：n3(n1)3(n2)3能被9整除证明(1)当n1时，13(11)3(12)336,36能被9整除，命题成立(2)假设nk(k1，kN)时，命题成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除，当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3(k1)3(k2)3k33k233k3233k3(k1)3(k2)39(k23k3)，由归纳假设知，上式中两项都能被9整除，故nk1时，命题也成立由(1)和(2)可知，对nN命题成立证明几何命题【例3】平面内有n(n2，nN)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论精彩点拨(1)从特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论f(n)；(2)利用数学归纳法证明自主解答当n2时，f(2)1 ；当n3时，f(3)3；当n4时，f(4)6.因此猜想f(n)(n2，nN)下面利用数学归纳法证明：(1)当n2时，两条相交直线有一个交点，又f(2)2(21)1.n2时，命题成立(2)假设当nk(k2且kN)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)k(k1)，当nk1时，其中一条直线记为l，剩下的k条直线为l1，l2，lk.由归纳假设知，剩下的k条直线之间的交点个数为f(k).由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线l与l1，l2，l3，lk的交点共有k个，f(k1)f(k)kk，当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，命题对一切nN且n2时成立1从特殊入手，寻找一般性结论，并探索n变化时，交点个数间的关系2利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由nk到nk1时几何图形的变化规律并结合图形直观分析，要讲清原因3在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明解设分割成线段或射线的条数为f(n)，则f(2)4，f(3)9，f(4)16.猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)n2(n2)，下面利用数学归纳法证明(1)当n2时，显然成立(2)假设当nk(k2，且kN)时，结论成立，f(k)k2.则当nk1时，设有l1，l2，lk，lk1，共k1条直线满足题设条件不妨取出直线l1，余下的k条直线l2，l3，lk，lk1互相分割成f(k)k2条射线或线段直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k1条射线或线段k条直线l2，l3，lk1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条故f(k1)f(k)k1kk22k1(k1)2，当nk1时，结论正确由(1)(2)可知，上述结论对一切n2且nN均成立.数学归纳法的概念探究问题1数学归纳法中，n取的第一个值n0是否一定是1?提示n0不一定是1，指适合命题的第一个正整数，不是一定从1开始2如何理解数学归纳法的两个步骤之间的关系？提示第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的桥梁，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论，因为单靠步骤(1)无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判断同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就无意义了【例4】用数学归纳法证明：1aa2an1(a1，nN)，在验证n1成立时，左边计算的结果是()A1B1aC1aa2 D1aa2a3精彩点拨注意左端特征，共有n2项，首项为1，最后一项为an1.C实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an1，所以n1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1aa2.1验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.2递推是关键：正确分析由nk到nk1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障4当f(k)1，则f(k1)f(k)_.解析f(k1)1，f(k1)f(k).答案1用数学归纳法证明：123(2n1)(n1)(2n1)时，在验证n1成立时，左边所得的代数式为()A1B13C123 D1234C当n1时左边所得的代数式为123.2某个与正整数n有关的命题，如果当nk(kN且k1)时命题成立，则一定可推得当nk1时，该命题也成立现已知n5时，该命题不成立，那么应有()A当n4时，该命题成立B当n6时，该命题成立C当n4时，该命题不成立D当n6时，该命题不成立C若n4时命题成立，由递推关系知n5时命题成立，与题中条件矛盾，所以n4时，该命题不成立3用数学归纳法证明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)时，从“nk到nk1”左端需乘以的代数式为()A2k1 B2(2k1)C DB当nk时，等式为(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)当nk1时，左边(k1)1(k1)2(k1)k(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)比较nk和nk1时等式的左边，可知左端需乘以2(2k1)故选B.