1.6理想气体微观描述的初级理论

1.6 理想气体微观描述的初级理论 目的：在基本物质微观基础上，从分子角度研究宏观压强与哪个微观量有关，即压强的微观本质。1.6.1理想气体微观模型 从微观上讨论理想气体，先应知道其微观结构。由实验验证。在宏观上，满足理想气体状态方程的气体就是理想气体。 可是在微观上，该气体又是什么样？,一、实验证实对理想气体可作如下三条基本假定。（一）分子线度比分子间距小得多，可忽略不计。估计几个数量级： （1） Loschmidt 常量标准状况下1m3理想气体中的分子数，以n0表示。标准状况下1mol气体占有22.41。,(Microscopic Model of Ideal Gas),这是奥地利物理学家Loschmidt首先于1865年据阿伏伽德罗常量NA算得。而地球上全部大气约有1044个分子（可从习题2.6.3中估计出）。,人每次呼吸量,所以每次吸进的分子数,一个分子与人体一次呼吸量的关系恰如一次呼吸量中的分子总数与整个地球大气分子总数之间的关系。,（2）在标准状态下，气体分子间平均距离:,(3)氮分子半径,气体在标准状态下，分子间平均间距,氮分子的半径,所以，在标准状态下，分子间距约是分子半径的10倍左右。可以不考虑气体分子的大小，有实验根据。,一摩尔水的体积：1.810-5m3，重复上述计算，求出每个水分子所占的小立方体的边长。,水分子的间距与分子本身线度的大小近似相等。,3/53思考题：设气体的温度为273K，压强为1.0atm。设想每个分子都处在相同的一个小立方体的中心，试用Avogadro常数求这些小立方体的边长。取分子的直径为3.010-10m，试将小立方体的边长与分子的直径相比较。,解：1mol气体，在标准状态下，,（二）除碰撞一瞬间外，分子间互作用力可忽略不计。分子在两次碰撞之间作自由的匀速直线运动。若高度变化不很大，分子的动能重力势能的改变，重力可忽略。,前面已指出，分子间的引力作用半径约是分子直径的两倍左右，以后将指出，常温常压下，理想气体分子两次碰撞间平均走过的路程是分子大小200倍左右.由此可估计到分子在两次碰撞之间的运动过程中基本上不受其他分子作用，因而可忽略碰撞以外的一切分子间作用力。,（三）处于平衡态的理想气体，分子之间及分子与器壁间的碰撞是完全弹性碰撞。气体分子动能不因碰撞而损失，在碰撞中动量守恒、动能守恒。分子的运动遵从经典力学规律。,气体的各向同性与分子混沌性：处于平衡的气体均具有各向同性性质，即气体在各方向上的物理性质都相同，反之称为各向异性。由气体的各向同性性质，可知处于平衡态的气体都有具有分子混沌性。分子混沌性是指：在没有外场时，处于平衡态的气体分子应均匀分布于容器中。在平衡态下任何系统的任何分子都没有运动速度的择优方向。除了相互碰撞外，分子间的速度和位置都相互独立。对于理想气体，分子混沌性可在理想气体微观模型基础上，利用统计物理予以证明。虽然理想气体是一种理想模型，在常温下，压强在数个大气压以下的气体，一般都能很好地满足理想气体方程，这就为理想气体的广泛应用创造很好条件。,1.6.理想气体压强公式（一）理想气体压强公式 DBernoulli （1738年）设想： 气体压强来自粒子碰撞器壁所产生的冲量, 首次建立了分子理论的基本概念。 1、压强（pressure）的产生,在宏观上，气体施予容器器壁的压强,任何宏观可测量均是所对应的某微观量的统计平均值。,压强P,冲量impulse,(Ideal Gas Pressure),压强的特点： 不随着时间变化。因为碰撞是如此频繁的，在标准状态下，一个分子截面积每秒平均碰撞大于108 次，几乎无间歇的，施与的力也是恒定不变的。所以单位面积器壁上的力（压强)也是不变的。（1）对于压强的贡献，一般气体,分子力：在器壁附近，分子之间相互作用。分子热运动：在器壁，碰撞产生冲量。,器壁的压强：两部分效应之和。,单个分子对器壁碰撞特性 : 偶然性 、不连续性.大量分子对器壁碰撞的总效果 ： 恒定、持续力的作用 .,（2）理想气体的压强 分子力完全被忽略，压强只有热运动产生。那么气体的内压强和气体对器壁的压强是大小相等的，是由分子热运动产生的。,2、压强（pressure）公式的推导,（1）条件：容器形状任意，体积V，一定是理想气体，处于平衡态。分子总数N，分子质量m，单位体积的分子数n。将n分成若干组：n1，n2，n3，每组内的ni，分子速度大小、方向一致，分子速度为,1）分子按位置的分布是均匀的,热动平衡的统计规律 （ 平衡态 ）,2）分子各方向运动概率均等,分子运动速度,各方向运动概率均等,方向，速度平方的平均值,各方向运动概率均等,（1.17）,（2）单个分子一次碰撞对器壁的作用,平衡态下，器壁上各处压强相等。所以取器壁上任意一小块面积dA，器壁垂直于x轴。求出一个分子对的dA的作用，dA所受到的冲量。,设某一分子与dA相撞，速度是,完全弹性碰撞,如果,质量极大并且静止的物体，经碰撞后，几乎仍静止不动，而质量极小的物体在碰撞前后的速度方向相反，大小几乎不变。,动量定理：冲量（分量）=动量（分量）的变化,冲量的意义：反映力对时间的积累。,分子受到的（x）冲量,牛顿第三定律分子施予dA的冲量,一个分子施予dA冲量,（3）在dt时间内，所有分子对dA的冲量。,关键时间dt内，碰撞dA分子数：,立方体体积,分子数,以dA为底，高为 ，轴线是 的斜棱柱体部分。,这一组分子，在dt时间内对dA的冲量,将这个结果对所有的可能速度求和，所有分子施与dA总冲量dI，体现气体分子在时间dt内对dA的持续作用。,因为 vix 0 限制，则：在平衡态下，整体并无运动，平均讲 vix0 分子数占总分子数的一半。（这一前提假设）,等几率假设平衡态下，分子向各个方向运动的几率均等。,动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。,热力学平衡态的统计规律。,dI和dt之比即为气体施与器壁的宏观压力。以p表示压强，则有：,在平衡态下，气体的性质与方向无关，分子向各个运动的几率均等。大量分子来说，三个速度分量平方的平均值必相等。这是平衡态时，分子集体的假设。,各方向运动概率均等,（二）气体分子平均平动动能与压强的关系 每个气体分子的平均平动动能（其中下标t表示平动），一个分子 ，平动动能的平均值，表示分子的平均运动程度的大小。,1857年，克劳修斯（Clausius）得到这一重要关系式。 （2.）的意义：理想气体压强决定于单位体积内的分子数和分子的平均平动动能。 平均平动能是个微观量，是不能测量的，但压强可测得，压强的大小可以用微观量动能的统计平均值联系起来，可以从这个公式出发满意地解释或推证许多实验定律。（2.20）式、（2.22）式都称为理想气体压强公式，它们都分别表示了宏观量（气体压强）与微观量（气体分子平均平动动能或均方速率）之间的关系。,强调在推导（1.20）式时，认为气体压强是大数分子碰撞在单位面积器壁上的平均冲击力。实际上气体压强不仅存在于器壁，也存在于气体内部，对于理想气体，这两种压强的表达式完全相同。将气压计引入气体内部并不能测定气体内部的压强，因为气压计本身就是一个器壁。气体内部压强由气体性质决定，它与气压计是否引入无关。气体分子碰壁数及气体压强公式均适用于平衡态气体。只要器壁取宏观尺寸，同一容器器壁上的压强必处处相等。布朗粒子就是因为粒子线度已不属宏观范围，涨落使粒子表面受到的压强处处作随机变化，因而会产生布朗运动。,单位时间、单位面积器壁所受的分子碰撞数,分子碰撞一次平均法向动量改变,（三）压强的压缩表示法 压强可以表示为：单位时间、单位面积器壁所获得的平均冲量。冲量的大小涨落不定，压强是统计平均量，不是力学规律。压强推导的压缩表示法：,（四）压强的单位 压强，又称压力，这一概念不仅被用于热学，也被用于连续介质力学中（连续介质力学是流体力学与弹性力学的总称）。近数十年才趋于统一用国际单位制（SI制），其压强单位是帕（Pa），1Pa=1Nm-2。 历史原因，在气象学、医学、工程技术等领域的各国文献中常用一些其它单位。如：巴（bar）、毫米汞柱（mmHg）或称托（Torr）、毫米水柱（mmH2O）、标准大气压（atm），其单位主要换算关系见表298页（三）。,2. 在推导理想气体压强公式的过程中，什么地方用到了理想气体的假设？什么地方用到了平衡态的条件？什么地方用到了统计的概念？答：研究分子与dA 的碰撞；（1）弹性碰撞，不损失能量，速度的方向改变大小不变；（2）理想气体的前提，不考虑分子本身大小，体积；（3）平衡态条件，器壁各处压强相等；（4）统计平均的概念：,7. 在推导理想气体大压强公式时，为什么可以不考虑分子间的相互碰撞？答：设气体分子i向器壁dA 运动过程中，在M 点和其它气体分子相碰撞，速度由vi 改变为其它值，使其不能和dA 发生碰撞。以M 为中心作一个宏观小，微观大的小体元，这里内有大数气体分子。平衡态时，速度为vi 附近的分子数目是一定的（在小体积元内）i分子由于碰撞速度不是vi ，一定有其它分子，比如j分子，由于碰撞，速度改变为vi 或非常接近，而这差不多同时发生在M 点附近宏观上小的一个体积元内。因此宏观上看，速度原来是vi 的I 分子在M 点处改变了速度，但j分子接着以vi 向dA 运动，其效果相当于i 分子没有和其它分子发生碰撞继续向dA 运动。因此气体分子间碰撞并不改变。 大量的宏观小、微观大的分子，速度按均匀分布，分子按位置均匀分布，不是个别的分子，具有统计意义。单个分子而言，压强公式无意义。碰撞不损失能量，动量也守恒。,8. 在推导理想气体的压强公式时，曾假设分子与器壁间的碰撞是完全弹性的。实际上，器壁可以是非弹性的，只要器壁和气体的温度相同，弹性和非弹性的效果并没有什么不同。试解释之。答：气体与器壁处于热平衡。不是的话，平均来讲，气体分子与器壁碰撞时要交换热运动能量，气体分子和器壁的碰撞宏观上就不能看作是弹性碰撞。 在研究压强时，设器壁是光滑的，为什么？ 因为分子无规则运动，大量分子对器壁的碰撞的平均效果，在沿器壁方向上，都抵消了，对器壁无切向力作用，这相当于器壁是光滑的。 因为与器壁碰撞时完全弹性的，,切向方向不变。法向方向、绝对值不变。,只要不交换热运动能量，分子与器壁相碰，法向速度改变方向，大小不变，而切向速度，抵消。,8、从分子物理的层次来讨论气体分子之间以及气体分子与器壁间的弹性碰撞与非弹性碰撞问题。 从力学上理解,弹性与非弹性碰撞的主要区别：前者机械能守恒,后者不守恒。因而在非弹性碰撞中会发生机械能与非机械能间的转换。在热学中如何理解弹性与非弹性碰撞呢? 假如单纯考虑两刚性分子(所谓刚性分子是指不会发生形变的分子)之间的碰撞。这本身是个力学问题,因而必然是弹性碰撞。因为刚性分子只有平动动能和转动动能，它们都是机械能。我们可以把这种描述气体分子空间位置的平动自由度和转动自由度均称为分子的外部自由度。气体分子还具有内部自由度，例如构成分子内部的原子之间由于相对运动所具有的振动自由度；描述原子内部电子跃迁所具有的自由度；以及与原子核结构有关的自由度等，这些都称为内部自由度。由于内部自由度不表示分子作为一个整体的空间位置，所以它的能量不属于机械能的范畴。在分子之间发生碰撞时，若发生分子外部自由度与内部自由度能量之间的转换，则应该是非弹性碰撞。例如：（1）气体化学反应是由分子间碰撞而发生的，化学反应中的反应热的吸放是由于原子中电子壳层能量的改变而导致的，这是内部自由度能量的释放或吸收，所以在气体化学反应中分子间的碰撞是非弹性碰撞。（2）又如由于粒子之间的碰撞而致使光线的发射，这类现象也是非弹性碰撞。常见的例子如在日光灯管中发生的在电场中加速的电子去碰撞水银分子,使水银分子中的电子发生能级跃迁,因而发射出紫外光(以后,紫外光又照射到日光灯管的荧光粉上导致二次发光,其光谱覆盖了可见光范围,这样日光灯管就发出白光)。,（3）再如在发生核反应或粒子反应时的粒子之间的碰撞等。以上这些都是非弹性碰撞的实例。 分子与器壁间的碰撞也有弹性与非弹性之分。若室内温度与室外温度不同时热量从室内传递到室外。这是先通过室内气体分子与器壁作非弹性碰撞,气体分子把能量从室内传递给器壁,然后室外气体分子与器壁又发生非弹性碰撞,器壁又把能量传递给室外气体。分子与器壁间的非弹性碰撞类似于作直线运动的某刚球与席梦思床垫中的弹簧发生的碰撞,刚球与席梦思中一个弹簧的碰撞将导致席梦思中所有弹簧都振动起来,这时刚球的一部分定向运动动能转换为席梦思中弹簧的整体的杂乱无章的动能(它相当于热运动动能)。在室内气体的温度高于器壁的温度时，平均说来气体分子在与器壁发生碰撞时总是将能量从气体分子传递给器壁,因而这种碰撞是非弹性碰撞。但是当气体的温度与器壁温度相同时,平均说来气体分子与器壁之间没有热运动能量的传递，因而它们之间的碰撞是弹性碰撞。,课下思考题：理想气体的内部，压强的微观意义。,举出气体分子与器壁作非弹性碰撞的一个例子。当室外气体温度和房间的温度不相同时，必然有热量传递。其热量的传递必须依靠气体分子和墙壁分子之间的非弹性碰撞来达到。,在理想气体内部，假想截面 。,压强产生：通过内部假想截面 ，相互作用的法向作用力。,(1)一般情况下，对压强的贡献有两个方面。,分子力热运动,两侧附近的分子相互作用着；它们可以携带动量穿过,总压强是两部分效应之和。,9. 设想在理想气体内部取一小截面dA，则两边气体将通过dA互相施压力，试从分子运动论的观点阐明这个压强是怎么产生的，并证明压强同样为,（2）理想气体中，分子力完全忽略，压强只有分子运动产生的。,压力：单位时间内传递的动量。单个分子穿过 的力：局部短暂的脉冲。大数分子穿过 ，它产生的平均效果：均匀而持续的压力。,（3）内部压强 一方面，,另一方面：,总压强：,所以左方的分子对 压强总贡献：,又因为动量、速度分布各向同性。,1.6.温度的微观解释（一）温度的微观意义 从微观上理解，温度是平衡态系统的微观粒子热运动程度强弱的度量。压强的大小可以用微观量动能的统计平均值联系起来，可以从这个公式出发满意地解释或推证许多实验定律。由此规律出发，推出温度的微观本质。将理想气体物态方程与（1.22）式对照，可得分子热运动平均平动动能,(Microscopic Explanation of Temperature),关于常数：k称为玻尔兹曼常量，R是描述1mol气体行为的普适常量，而k是描述一个分子或一个粒子行为的普适恒量，这是奥地利物理学家Boltzmann，1872年引入的。虽然玻尔兹曼常量是从气体普适常量中引出的，但其重要性却远超出气体范畴，而可用于一切与热相联系的物理系统。k与其它普适常量e（基本电荷量）、G（引力常量）、c（光速）、h（普朗克常量）一样，都是具有特征性的常量。即只要在任一公式或方程中出现某一普适常量，即可看出该方程具有与之对应的某方面特征。例如凡出现k即表示与热物理学有关；出现e表示与电学有关；出现G表示与万有引力有关；出现c表示与相对论有关；出现h表示是量子问题等。,（2）粒子平均热运动动能与粒子质量无关，仅与温度有关。后面将从这性质出发引出热物理中又一重要规律能量均分定理。（3） 与T的联系，温度是大量分子热运动集体表现，有统计意义，对单个分子没有意义。,温度的微观意义：绝对温度是分子热运动剧烈程度的量度。也可以认为是从分子热运动理论角度对温度的定义。表明分子热运动平均平动动能与绝对温度成正比。绝对温度越高，分子热运动越剧烈。应该指出：,（1） 是分子杂乱无章热运动的平均平动动能，它不包括整体定向运动动能。只有作高速定向运动的粒子流经过频繁碰撞改变运动方向而成无规则的热运动，定向运动动能转化为热运动动能后，所转化的能量才能计入与绝对温度有关的能量中。,55页：2-9 质量为50.0g，温度为18.0的氦气装在容积为10.0L的封闭容器内，容器以v=200m/s的速率作匀速直线运动。若容器突然静止，定向运动的动能全部转化为分子热运动的动能，则平衡后氦气的温度和压强将各增大多少？,解：由于容器以速率v作定向运动时，每一个分子都具有定向运动，其动能等于 ，当容器停止运动时，分子定向运动的动能将转化为分子热运动的能量，每个分子的平均热运动能量则为,因氦气的体积一定，所以,（二）气体分子的方均根速率 rootmeansquare speed 利用（1.25）式求出分子方均根速率,（1.26）式：温度越高，分子质量越小，分子热运动越剧烈。 是微观量速度v的一种统计平均值，利用（1.24)式不能计算每个分子的速率。计算出的 ，对分子的运动情况得到一些统计了解，如 越大，可推知分子的速率大的较多。,10. 保持气体压强恒定，使其温度升高一倍，则每秒与器壁碰撞的气体分子数以及每个分子在碰撞时施于器壁的冲量将如何变化？ 温度、压强概念是统计平均的，大量分子作热运动的集体性质，对个别或极少量分子，温度没有意义。 因此温度升高，分子无规则运动程度增加。冲量：,冲量在温度升高一倍时，将增加。若压强不变，则单位面积上的分子碰撞数将下降。,李椿：P45例题1：试求温度在273K 1273K时，气体分子的平均平动能。解：,P45 例题2：在近代物理中常用电子伏特（eV）作为能量单位，试问在多高温度下分子的平均平动动能为1eV？1K温度的单个分子热运动平均平动能量相当于多少电子伏特？,1K温度的单个分子热运动平均平动能量,2-12 气体的温度为T = 273K,压强为 P=1.0010-2atm,密度为=1.2910-5g/cm3(1) 求气体分子的方均根速率。(2) 求气体的分子量，并确定它是什么气体。,该气体为空气,解：（1） （2）,4. 温度为273K的氧气贮在边长为0.30m 的立方容器里，当一个分子下降的高度等于容器的边长时，其重力势能改变多少？试将重力势能的改变与其平均平动能相比较。答：每分子平均平动能：,而重力势能改变：,（三）理想气体物态方程的另一形式 p=nkT,方程的意义:（1.23）式是理想气体方程的另一重要形式，是联系宏观物理量（p，T）与微观物理量（n）间的一个重要公式。如果是混合的理想气体，道尔顿分压定律：,（1.23）,（1.24）,2-3 /69一容积为11.2L的真空系统已被抽到1.010-5mmHg的真空。为了提高其真空度，将它放在300的烘箱内烘烤，使器壁释放出吸附的气体。若烘烤后压强增为1.010-2mmHg，问器壁原来吸附了多少个气体分子。,2-4 容积为2500cm3的烧瓶内有1.01015个氧分子,有4.01015个氮分子和3.310-7g的氩气。设混合气体的温度为150,求混合气体的压强。,解：根据混合气体的压强公式有,PV=（n氧+n氮+n氩）KT,5/69 解：（1）,2-5/69 一容器内有氧气，其压强P=1.0atm,温度为t=27，求(1) 单位体积内的分子数：(2) 氧气的密度；(3) 氧分子的质量；(4) 分子间的平均距离；(5) 分子的平均平动能。,（2）,（3）,设分子间的平均距离为d，并将分子看成是半径为d/2的球，每个分子的体积为v0。,（5）,讨论： 54页：思考题12；55页：13题计算下列气体在大气中的逃逸速度与方均根速率之比。H2(2)、 He(4)、 H2O(18)、 N2(28)、 O2(32)、 Ar(40)、 CO2 (44),(1) 计算地球表面物体的逃逸速度,当物体速度=逃逸速度时，飞船脱离地球引力，物体恰恰能达到穷远处，所需最小的初速度。,（动能+势能）=0,当代宇宙学：宇宙中原初的化学成分绝大部分是氢气（约占3/4）和氦气（约占1/4）。任何行星形成之初，原始大气中都应有相当大量的氢气和氦气。但现在地球的大气中几乎没有H2和 He。而其主要成分却是N2 和O2，为什么？,在一个星球上，大气分子的热运动促使它们逸散，万有引力阻止它们逃脱。,方均根速度标志热运动的动能的大小，逃逸速度标志万有引力势能的大小。用二者比值K标志着二者抗衡中谁占优势问题。,K值愈大，表示引力势能愈大，地球的引力作用强、热运动弱，分子不易逃脱。,（2）计算气体分子（0）的方均根速率, 逃逸速度与方均根速率之比,（3）K值的意义： K大，地球的引力作用强、热运动弱，即大部分分子热运动速率小于方均根速率，会持久保留于地球大气中。 K小，引力不足以有效阻止气体分子的散失，所以仅仅是具有平均热运动动能的分子被拉住，由后面的Maxwell速率分布律可知，气体中大量的分子速率大于、甚至于远大于方均根速率的，它们仍可逃脱。因为方均根速率大，速率大的分子数多，所以VeVrms，分子可逃逸。K=68，是不够大的，未能把大气中 H2，He保住。 K=2224肯定够了，因为这数值没有让N2，O2逃逸。,（4）其它星球，逃逸速度,1.6.单位时间内碰在单位面积器壁上的平均分子数由于大数粒子无规则热运动，气体分子随时都与容器器壁发生频繁碰撞。虽然单个分子在何时相碰，碰在何处是随机的，但处于平衡态下大数分子所组成的系统应遵循一定统计规律。我们把处于平衡态下的理想气体在单位时间内碰撞在单位面积上的平均分子数称为气体分子碰撞频率或气体分子碰壁数，以表示。显然，在气体状态一定时，其应恒定不变。下面是一种最简单的求气体分子碰壁数的方法。先作两条简化假设。 （1）若气体分子数密度为n，则按照1.6.1的分子混沌性假设，单位体积中垂直指向长方形容器任一器壁运动的平均分子数均为 。,。,（2）每一分子均以平均速率运动。实验中证实，平衡态下诸分子的速率有大有小，从速率接近零速率很大，所有气体分子作为一个整体，它们应该存在一个平均速率。,t时间内碰撞在A面积器壁上的平均分子数N 等于以A为底, vt为高的立方体中所有向-x方向运动的分子数。因此t时间内,所有向-x方向运动的分子均移动了vt的距离故在图中的e、d分子在t时刻以前已与A相碰；a分子恰在t时刻与A相碰；b分子在t时刻还未运动到器壁；而f分子始终碰不到A,单位时间内碰在单位面积器壁上的平均分子数,在2.5中还将专门讨论气体分子碰壁数及其应用，而在2.5.1中将用较严密的方法导出，所得结果为 （1.）将（1.）式与（1.）式比较后可发现，虽然（1.）式的推导十分粗糙，但并未产生数量级的偏差。这种采用近似模型的处理方法突出了物理思想，揭示了事物的主要特征，而无需作较繁杂的数学计算，是可取的。虽然上面推导中，假设容器的形状是长方体，实际上（1.）式、（1.）式可适于任何形状的容器，只要其中理想气体处于平衡态。,（1.）,其它推导方法：设标准状态下单位容器内的分子数为n，将容器内的分子按速度分组，考虑速度为vi的第i组。说单位体积内具有速度vi的分子数为ni，在时间内与dA器壁相碰的分子数为nivixdtdA，其中vix为速度vi在X方向上的分量，则第i组分子每秒与单位面积器壁碰撞次数为nivix，所有分子每秒与单位面积器壁碰撞次数为：,例设某气体在标准状况下的平均速率为方均根速率500m/s、,试分别计算1s内碰在1cm2面积及10-19m2面积器壁上的平均分子数。解标准状况下气体分子的数密度n0已由（1.16）式给出，故,说明气体分子