2018年苏州中考《第五讲：一次函数与反比例函数》专题复习含答案

2018年苏州中考数学专题辅导第五讲 应用题（一次函数与反比例函数专题）选讲此部分内容包括：函数的应用（主要是一次函数与反比例函数），则属于中档题。真题再现：1(2008年苏州本题8分)如图，帆船A和帆船B在太湖湖面上训练，O为湖面上的一个定点，教练船静候于O点训练时要求A、B两船始终关于O点对称以O为原点建立如图所示的坐标系，轴、y轴的正方向分别表示正东、正北方向设A、B两船可近似看成在双曲线上运动，湖面风平浪静，双帆远影优美训练中当教练船与A、B两船恰好在直线上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C船，此时教练船测得C船在东南45方向上，A船测得AC与AB的夹角为60，B船也同时测得C船的位置（假设C船位置不再改变，A、B、C三船可分别用A、B、C三点表示)(1)发现C船时，A、B、C三船所在位置的坐标分别为 A( ， )、B( ， )和 C( ， )；(2)发现C船，三船立即停止训练，并分别从A、O、B 三点出发沿最短路线同时前往救援，设A、B两船 的速度相等，教练船与A船的速度之比为3：4， 问教练船是否最先赶到?请说明理由。2(2010年苏州本题8分) 如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数(x0)的图象经过点B (1)求k的值； (2)将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC、MABC设线段MC、NA分别与函数(x0)的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式3（2014年苏州本题7分）如图，已知函数yxb的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与函数yx的图象交于点M，点M的横坐标为2在x轴上有一点P (a，0)（其中a2），过点P作x轴垂线，分别交函数yxb和yx的图象于点C，D (1)求点A的坐标； (2)若OBCD，求a的值4（2014年苏州 8分）如图，已知函数y（x0）的图象经过点A，B，点A的坐标为(1，2)过点A作ACy轴，AC1（点C位于点A的下方），过点C作CDx轴，与函数的图象交于点D，过点B作BECD，垂足E在线段CD上，连接OC，OD (1)求OCD的面积； (2)当BEAC时，求CE的长5（2015年苏州本题满分8分）如图，已知函数（x0）的图像经过点A、B，点B的坐标为（2，2）过点A作ACx轴，垂足为C，过点B作BDy轴，垂足为D，AC与BD交于点F一次函数y=ax+b的图像经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E（1）若AC=OD，求a、b的值；（2）若BCAE，求BC的长6（2016年苏州本题满分8分）如图一次函数的图像与轴交于点A，与反比例函数的图像交干点B (2,n)过点B作轴于点P，P是该反比例函数图像上的一点，且PBC=ABC求反比例函数和一次函数的表达式7（2017年苏州本题满分8分）如图，在中，轴，垂足为反比例函数（）的图像经过点，交于点已知，（1）若，求的值；（2）连接，若，求的长8. （2017年南京市本题满分3分）如图，已知点A是一次函数y=x(x0)图像上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点(B在A上方)，在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数(k)0)的图像过点B、C，若OAB的面积为6,求ABC的面积. 9（2017年南京市本题满分8分）如图，已知一次函数y=kx+b的图像与x轴交于点A，与反比例函数y=(x0)的图像交于点B(-2,n)，过点B作BCx轴于点C，点D(3-3n,1)是该反比例函数图像上一点.(1)求m的值；(2)若DBC=ABC，求一次函数y=kx+b的表达式.10（2017年无锡市本题满分12分）操作：“如图1，P是平面直角坐标系中一点（x轴上的点除外），过点P作PCx轴于点C，点C绕点P逆时针旋转60得到点Q”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换（1）点P（a，b）经过T变换后得到的点Q的坐标为 ；若点M经过T变换后得到点N（6，），则点M的坐标为 （2）A是函数y=x图象上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B求经过点O，点B的直线的函数表达式；如图2，直线AB交y轴于点D，求OAB的面积与OAD的面积之比11（2017年泰州市本题满分12分）阅读理解：如图，图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中，若线段PA1最短，则线段PA1的长度称为点P到图形l的距离例如：图中，线段P1A的长度是点P1到线段AB的距离；线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离解决问题：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（8，4），（12，7），点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒（1）当t=4时，求点P到线段AB的距离；（2）t为何值时，点P到线段AB的距离为5？（3）t满足什么条件时，点P到线段AB的距离不超过6？（直接写出此小题的结果）模拟训练：1(2017年常熟市本题满分8分)如图，点、分别在轴和轴上， (点和点在直线的两侧)，点的坐标为(4,).过点的反比例函数的图像交边于点.(1)求反比例函数的表达式;(2)求点的坐标.2（2018年蔡老师预测本题满分8分如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于点A、B，AB=2，（1）求k的值；（2）若反比例函数y=的图象上存在一点C，则当ABC为直角三角形，请直接写出点C的坐标3( 2017年张家港本题满分8分) 货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行.轿车出发3h后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶.设货车出发h后，货车、轿车分别到达离甲地km和km的地方，图中的线段、折线分别表示、与之间的函数关系.(1)求点的坐标，并解释点的实际意义;(2)求线段所在直线的函数表达式;(3)当货车出发 h时，两车相距50km.4(2017年苏州市区本题满分8分)如图，在平面直角坐标系中，函数（，是常数）的图像经过，其中过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，AC与BD交于点E，连结，（第25题）（1）若的面积为3，求的值和直线的解析式；（2）求证：；（3）若 ，求点B的坐标 5(2017年昆山市吴江区本题满分7分)如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线相交于点，且，(1)求证:四边形是菱形;(2)如果，求出经过点的反比例函数解析式.6(2017年高新区本题满分8分) 如图，反比例函数y的图象与一次函数ykx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为(2，6)，点B的坐标为(n，1)(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)点E为y轴上一个动点，若SAEB10，求点E的坐标7(2017年吴中区本题满分8分)如图，一次函数的图象与反比例(为常数，且)的图象交于，两点。(1)求反比例函数的表达式及点的坐标;(2)在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标。 8(2017年相城区本题满分8分)如图，在平面直角坐标系中有, , , ,.(1)求点的坐标;(2)将沿轴的正方向平移，在第一象限内、两点的对应点、正好落在某反比例函数图像上.请求出这个反比例函数和此时的直线的解析式.9（2017年立达中学总校胥江部本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y=（x0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AD=3，（1）求反比例函数y=的解析式；（2）求cosOAB的值；（3）求经过C、D两点的一次函数解析式10（2017年太仓市本题满分8分）如图，已知点 A(2，m+4)，点B(6，m)在反比例函数（）的图像上(1) 求m，k的值；(2)过点M(a，0)()作x轴的垂线交直线AB于点P，交反比例函数()于点Q，若PQ=4QM，求实数a的值11（2018年蔡老师预测本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y=（x0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AD=3。（1）求反比例函数y=的解析式；（2）若直线y=x+m与反比例函数y=（x0）的图象相交于两个不同点E、F（点E在点F的左边），与y轴相交于点M则m的取值范围为 （请直接写出结果）求MEMF的值参考答案：真题再现：1解：（1）CEx轴于E，解方程组得，A（2，2），B（2，2），在等边ABC中可求OA=2，则OC=OA=2，在RtOCE中，OE=CE=OCsin45=2，C（2，2）；（2）作ADx轴于D，连AC、BC和OC，A（2，2），AOD=45，AO=2，C在O的东南45方向上，AOC=45+45=90，AO=BO，AC=BC，又BAC=60，ABC为正三角形，AC=BC=AB=2AO=4，OC=2，由条件设教练船的速度为3m，A、B两船的速度都为4m，则教练船所用时间为，A、B两船所用时间均为=，=，=，；教练船没有最先赶到【点评】本题考查了直角坐标系中点的求法，根据点的坐标求两点之间距离的方法解答本题时同学们要读懂题意，就不易出错2解：（1）四边形OABC是面积为4的正方形，OA=OC=2，点B坐标为（2，2），将x=2，y=2代入反比例解析式得：2=，k=22=4（2）正方形MABC、NABC由正方形OABC翻折所得，ON=OM=2AO=4，点E横坐标为4，点F纵坐标为4点E、F在函数y=的图象上，当x=4时，y=1，即E（4，1），当y=4时，x=1，即F（1，4）设直线EF解析式为y=mx+n，将E、F两点坐标代入，得，m=1，n=5直线EF的解析式为y=x+5【点评】此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，综合性比较强，注意反比例函数上的点向x轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k值要会熟练地运用待定系数法求函数解析式，这是基本的计算能力3解：（1）点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2，点M的坐标为（2，2），把M（2，2）代入y=x+b得1+b=2，解得b=3，一次函数的解析式为y=x+3，把y=0代入y=x+3得x+3=0，解得x=6，A点坐标为（6，0）；（2）把x=0代入y=x+3得y=3，B点坐标为（0，3），CD=OB，CD=3，PCx轴，C点坐标为（a，a+3），D点坐标为（a，a）a（a+3）=3，a=4【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同4解；（1）y=（x0）的图象经过点A（1，2），k=2ACy轴，AC=1，点C的坐标为（1，1）CDx轴，点D在函数图象上，点D的坐标为（2，1）（2）BE=，BECD，点B的纵坐标=2=，由反比例函数y=，点B的横坐标x=2=，点B的横坐标是，纵坐标是CE=【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，利用待定系数法求解析式，图象上的点满足函数解析式5解；（1）点B（2，2）在函数y=（x0）的图象上，k=4，则y=，BDy轴，D点的坐标为：（0，2），OD=2，ACx轴，AC=OD，AC=3，即A点的纵坐标为：3，点A在y=的图象上，A点的坐标为：（，3），一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，解得：；（2）设A点的坐标为：（m，），则C点的坐标为：（m，0），BDCE，且BCDE，四边形BCED为平行四边形，CE=BD=2，BDCE，ADF=AEC，在RtAFD中，tanADF=，在RtACE中，tanAEC=，=，解得：m=1，C点的坐标为：（1，0），则BC=【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及锐角三角函数关系等知识，得出A，D点坐标是解题关键6解：点B（2，n）、P（3n4，1）在反比例函数y=（x0）的图象上，解得：m=8，n=4反比例函数的表达式为y=m=8，n=4，点B（2，4），P（8，1）过点P作PDBC，垂足为D，并延长交AB与点P在BDP和BDP中，BDPBDPDP=DP=6点P（4，1）将点P（4，1），B（2，4）代入直线的解析式得：，解得：一次函数的表达式为y=x+3【点评】本题主要考查的是一次函数和反比例函数的综合应用，根据题意列出方程组是解题的关键7解：（1）作CEAB，垂足为E，AC=BC，AB=4，AE=BE=2在RtBCE中，BC=，BE=2，CE=，OA=4，C点的坐标为：（，2），点C在的图象上，k=5，（2）设A点的坐标为（m，0），BD=BC=，AD=，D，C两点的坐标分别为：（m，），（m，2）点C，D都在的图象上，m=2（m），m=6，C点的坐标为：（，2），作CFx轴，垂足为F，OF=，CF=2，在RtOFC中，OC2=OF2+CF2，OC=【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象上的性质，正确得出C点坐标是解题关键8设点A(4a,2a),B(4a,2b),则C点的横坐标为4a+(2b-2a) , C点的坐标为(3a+b, a+b)所以4a2b=(3a+b)(a+b), (3a-b)(a-b)=0,解得：a=b(舍去) 或b=3a.SABC=(2b-2a)4a=8a2=6,k=4a2b =24a2=18.9解：(1)把B(-2,n),D(3-3n,1)代入反比例函数y=得, 解得：，所以m的值为-6.(2)由(1)知B、D两点坐标分别为B(-2,3),D(-6,1)，设BD的解析式为y=px+q,所以，解得所以一次函数的解析式为y=x+4,与x轴的交点为E(-8,0)延长BD交x轴于E，DBC=ABC，BCAC，BC垂直平分AC，CE=6, 点A(4,0),将A、B点坐标代入y=kx+b得，解得，所以一次函数的表达式为y=-x+2.10解：（1）如图1，连接CQ，过Q作QDPC于点D，由旋转的性质可得PC=PQ，且CPQ=60，PCQ为等边三角形，P（a，b），OC=a，PC=b，CD=PC=b，DQ=PQ=b，Q（a+b， b）；设M（x，y），则N点坐标为（x+y， y），N（6，），解得，M（9，2）；故答案为：（a+b， b）；（9，2）；（2）A是函数y=x图象上异于原点O的任意一点，可取A（2，），2+=，=，B（，），设直线OB的函数表达式为y=kx，则k=，解得k=，直线OB的函数表达式为y=x；设直线AB解析式为y=kx+b，把A、B坐标代入可得，解得，直线AB解析式为y=x+，D（0，），且A（2，），B（，），AB=，AD=，=11解：（1）如图1，作ACx轴于点C，则AC=4、OC=8，当t=4时，OP=4，PC=4，点P到线段AB的距离PA=4； （2）如图2，过点B作BDx轴，交y轴于点D，当点P位于AC左侧时，AC=4、P1A=5，P1C=3，OP1=5，即t=5；当点P位于AC右侧时，过点A作AP2AB，交x轴于点P2，CAP2+EAB=90，BDx轴、ACx轴，CEBD，ACP2=BEA=90，EAB+ABE=90，ABE=P2AC，在ACP2和BEA中，ACP2BEA（ASA），AP2=BA=5，而此时P2C=AE=3，OP2=11，即t=11；（3）如图3，当点P位于AC左侧，且AP3=6时，则P3C=2，OP3=OCP3C=82；当点P位于AC右侧，且P3M=6时，过点P2作P2NP3M于点N，则四边形AP2NM是矩形，AP2N=90，ACP2=P2NP3=90，AP2=MN=5，ACP2P2NP3，且NP3=1，=，即=，P2P3=，OP3=OC+CP2+P2P3=8+3+=，当82t时，点P到线段AB的距离不超过6【点评】本题主要考查一次函数的综合问题，理解题意掌握点到线段的距离概念及分类讨论思想的运用、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键模拟训练：12解：（1）过点A作ADx轴，垂足为D，如图1所示由题意可知点A与点B关于点O中心对称，且AB=2，OA=OB=设点A的坐标为（a，2a），在RtOAD中，ADO=90，由勾股定理得：a2+（2a）2=（）2，解得：a=1，点A的坐标为（1，2）把A（1，2）代入y=中得：2=，解得：k=2（2）点A的坐标为（1，2），点A、B关于原点O中心对称，点B的坐标为（1，2）设点C的坐标为（n，），ABC为直角三角形分三种情况：ABC=90，则有ABBC，=1，即n2+5n+4，解得：n1=4，n2=1（舍去），此时点C的坐标为（4，）；BAC=90，则有BAAC，=1，即n25n+4=0，解得：n3=4，n4=1（舍去），此时点C的坐标为（4，）；ACB=90，则有ACBC，=1，即n2=4，解得：n5=2，n6=2，此时点C的坐标为（2，1）或（2，1）综上所述：当ABC为直角三角形，点C的坐标为（4，）、（4，）、（2，1）或（2，1）3解：（1）设OA所在直线解析式为y=mx，将x=8、y=600代入，求得m=75，OA所在直线解析式为y=75x，令y=300得：75x=300，解得：x=4，点D 坐标为（ 4，300 ），其实际意义为：点D是指货车出发4h后，与轿车在距离甲地300 km处相遇（2）由图象知，轿车在休息前2.4小时行驶300km，根据题意，行驶后300km需2.4h，故点E 坐标（ 6.4，0 ）设DE所在直线的函数表达式为y=kx+b，将点D （ 4，300 ），E （ 6.4，0）代入y=kx+b得：， 得 ，DE所在直线的函数表达式为y=125x+800（3）设BC段函数解析式为：y=px+q，将点B（0，600）、C（2.4，300）代入，得：，解得：，y=125x+600，当轿车休息前与货车相距50km时，有：125x+60075x=50或30075x=50，解得：x=2.75（不合题意舍弃）或x=；当轿车休息后与货车相距50km时，有：75x（125x+800）=50，解得：x=4.25；故答案为：或5【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法是求函数解析式的关键，注意分类讨论思想的渗透4解：（1）由题意得： 1分 2分 3分 设直线AB的解析式为，则 4分(2) 5分 6分(3) 又AEB=DEC=90DECBEA CDE=ABE AB CD 7分 四边形ADCB是平行四边形. 又ACBD，菱形ADCB DE=BE CE=AE .B(4，3) 8分5【考点】待定系数法求反比例函数解析式【分析】连接DE，交AB于F，先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，证出四边形AEBD是菱形，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出点E的坐标；设经过点E的反比例函数解析式为：y=，把点E坐标代入求出k的值即可【解答】解：（1）BEAC，AEOB，四边形AEBD是平行四边形，四边形OABC是矩形，DA=AC，DB=OB，AC=OB，AB=OC=2，DA=DB，四边形AEBD是菱形；（2）连接DE，交AB于F，如图所示：四边形AEBD是菱形，AB与DE互相垂直平分，OA=3，OC=2，EF=DF=OA=，AF=AB=1，3+=，点E坐标为：（，1），设经过点E的反比例函数解析式为：y=，把点E代入得：k=，经过点E的反比例函数解析式为：y=【点评】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度6解：(1)把点A(2，6)代入y，得m12，则y-1分把点B(n，1)代入y，得n12，则点B的坐标为(12，1) -2分由直线ykx+b过点A(2，6)，点B(12，1)得，解得，则所求一次函数的表达式为yx+7-4分(2)如图，直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为(0，m)，连接AE，BE，则点P的坐标为(0，7)PE|m7|SAEBSBEPSAEP10，|m7|(122)10|m7|2m15，m29点E的坐标为(0，5)或(0，9)-8分(一个答案得2分)7【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式；轴对称最短路线问题【分析】（1）由点A在一次函数图象上，结合一次函数解析式可求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点B坐标；（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，连接PB由点B、D的对称性结合点B的坐标找出点D的坐标，设直线AD的解析式为y=mx+n，结合点A、D的坐标利用待定系数法求出直线AD的解析式，令直线AD的解析式中y=0求出点P的坐标，再通过分割图形结合三角形的面积公式即可得出结论【解答】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=x+3，得：a=1+3，解得：a=2，点A的坐标为（1，2）把点A（1，2）代入反比例函数y=，得：2=k，反比例函数的表达式y=，联立两个函数关系式成方程组得：，解得：或，点B的坐标为（2，1）（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，连接PB，如图所示点B、D关于x轴对称，点B的坐标为（2，1），点D的坐标为（2，1）设直线AD的解析式为y=mx+n，把A，D两点代入得：，解得：，直线AD的解析式为y=3x+5令y=3x+5中y=0，则3x+5=0，解得：x=，点P的坐标为（，0）【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及轴对称中的最短线路问题，解题的关键是：（1）联立两函数解析式成方程组，解方程组求出交点坐标；（2）找出点P的位置本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，联立解析式成方程组，解方程组求出交点坐标是关键8(1)； (2)；9【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征【分析】（1）设点D的坐标为（4，m）（m0），则点A的坐标为（4，3+m），由点A的坐标表示出点C的坐标，根据C、D点在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、m的二元一次方程，解方程即可得出结论；（2）由m的值，可找出点A的坐标，由此即可得出线段OB、AB的长度，通过解直角三角形即可得出结论；（3）由m的值，可找出点C、D的坐标，设出过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，由点C、D的坐标利用待定系数法即可得出结论【解答】解：（1）设点D的坐标为（4，m）（m0），则点A的坐标为（4，3+m），点C为线段AO的中点，点C的坐标为（2，）点C、点D均在反比例函数y=的函数图象上，解得：反比例函数的解析式为y=（2）m=1，点A的坐标为（4，4），OB=4，AB=4在RtABO中，OB=4，AB=4，ABO=90，OA=4，cosOAB=（3）m=1，点C的坐标为（2，2），点D的坐标为（4，1）设经过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，则有，解得：经过C、D两点的一次函数解析式为y=x+3【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）由反比例函数图象上点的坐标特征找出关于k、m的二元一次方程组；（2）求出点A的坐标；（2）求出点C、D的坐标本题属于基础题，难度不大，但考查的知识点较多，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上点的坐标特征找出方程组，通过解方程组得出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可10解：(1) 点 A(2，m+4)，点B(6，m)在反比例函数的图像上 1分解得：m=1，k=63分 (2)设过A、B两点的一次函数解析式为y=ax+b A(2,3)，B(6,1)，解得：过A、B两点的一次函数解析式为5分过点M(a，0)作x轴的垂线交AB于点P，点P的纵坐标为：又过点M(a，0)作x轴的垂线交于点Q，点Q的纵坐标为： ，又PQ=4QM且a0，7分或实数a的值为68分11【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】（1）设D的坐标是（4，a），则A的坐标是（4，a+3），由点C是OA的中点，可用含a的代数式表示出点C的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可找出4a=2=k，解之即可得出a、k的值，进而即可得出反比例函数的解析式；（2）将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，整理后可得出关于x的一元二次方程，由m0以及根的判别式0，即可得出关于m的不等式组，解之即可得出结论；由一次函数解析