空间直线方程ppt课件

第六节空间直线及其方程 直线方程的三种表示法 一般式 点向式 参数式 主要内容 空间直线的一般方程 直线的点向式方程 其中方向向量 已知点 直线的参数方程 两直线的夹角公式 直线与平面的夹角公式 定义 空间直线可看成两平面的交线 空间直线的一般方程 一 空间直线的一般方程 方向向量的定义 如果一非零向量平行于一条已知直线 这个向量称为这条直线的方向向量 二 空间直线的点向式方程与参数方程 注 同一条直线的方向向量有无穷多个 有单位向量 还有一般的向量 下面导出直线的点向式方程 直线的对称式方程 令 方向向量的方向余弦称为直线的方向余弦 直线的参数方程 下面得出直线的参数方程 在求直线上一点的坐标或交点时 利用直线的参数方程求解更加简便 直线的对称式方程 直线的一般方程 下面从对称式方程得出直线的一般方程 从空间直线的一般方程到对称式方程 先在直线上任取一点 再求直线的方向向量 注 直线方程的表示形式均不唯一 例1用点向式方程表示直线 举例说明如何将直线的一般方程转化为点向式方程 方法一 用点向式表示直线方程方法二 用消元法求直线方程 解 方法一 点向式 下找所求直线的方向向量 由已知可知 于是点 4 2 0 是所求直线上的一点 先找直线上的一点 在直线方程中令z 0 用点向式写出直线方程 方法二 消元法求直线方程 将方程 分别消去x y得到 于是直线方程为 化简整理得直线方程为 练习 解 定义 直线 直线 两直线的方向向量的夹角称之 锐角 两直线的夹角公式 三 两直线的夹角 两直线的位置关系 直线 直线 例如 解 从题意可得 两直线的方向向量为 于是 代入两直线的夹角公式 所以两直线的夹角为 练习 解 直线方程的三种表示法 一般式 点向式 参数式 回顾 空间直线的一般方程 直线的点向式方程 其中方向向量 已知点 直线的参数方程 两直线的夹角公式 解 37页习题8 4 解 定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角 四 直线与平面的夹角 直线与平面的夹角公式 直线与平面的位置关系 解 从题意可得 已知平面的法向量就是所求直线的方向向量 于是 直线的方程为 解 为所求夹角 练习 五 综合举例 解 设所求直线的方向向量为 根据题意知 取 所求直线的方程 解 练习 于是所求平面方程为 即 解 即求方程组 的解 利用直线的参数方程求解更简便 设 代入题中平面方程 代入参数方程中得 于是所求交点坐标为 中得 解 练习 设 代入平面方程 综上 投影坐标为 例6 方法一 点向式求直线方程 关键在于求出两条直线的交点 用过A的直线与垂直已知平面的交点来求 方法二 点向式求直线方程 假设交点坐标 解未知数的方法来求 方法三 利用所求直线是由两个平面的交线来求 这两个平面分别是 1 过已知点和已知直线的平面 2 过点A且垂直于已知直线的平面 解 先作一过点A且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点B 例6 方法一 点向式求直线方程 关键在于求出两条直线的交点 用过A的直线与垂直已知平面的交点来求 令 代入平面方程得 取所求直线的方向向量为 所求直线方程为 解 先求出直线上任意一点B的坐标 例6 方法二 点向式求直线方程 假设交点坐标 解未知数的方法来求 取所求直线的方向向量为 所求直线方程为 解 例6 方法三 利用所求直线是由两个平面的交线来求 这两个平面分别是 1 过已知点和已知直线的平面 2 过点A且垂直于已知直线的平面 下求过已知点和已知直线的平面 练习 练习 方法一 用所求直线在A与直线1确定的平面上 同时也在A与直线2确定的平面上来求 即所求直线为两平面的交线 方法二 点向式求直线方程 假设两个交点分别为B C 利用交点与A共线来求 解 设直线L的一般方程为 其中 下面研究方程 用平面束解题 与 不成比例 通过直线L的所有平面的全体 称为通过直线L的平面束 解 所求投影直线方程为