天津高考数学二轮复习专题能力训练7导数与函数的单调性极值最值文.docx

专题能力训练7导数与函数的单调性、极值、最值一、能力突破训练1.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=()A.-4B.-2C.4D.2答案：D解析：f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f(x)=0,得x=-2或x=2,易得f(x)在区间(-2,2)内单调递减,在区间(-,-2),(2,+)内单调递增,故f(x)极小值为f(2),由已知得a=2,故选D.2.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2-x+a2与y=a2x3-2ax2+x+a(aR)的图象不可能的是()答案：B解析：显然当a=0时,D中图象是可能的,当a0时,由y=a2x3-2ax2+x+a(aR)求导得y=3a2x2-4ax+1,令y=0,得x=1a或x=13a.函数y=ax2-x+a2的图象的对称轴为x=12a,不管a0还是a0,都有12a在1a与13a之间,而由B中图象可知1a13a0时,可判断得A,C项中图象都有可能.3.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f(x)满足f(x)k1,则下列结论中一定错误的是()A.f1k1k-1C.f1k-1kk-1答案：C解析：构造函数F(x)=f(x)-kx,则F(x)=f(x)-k0,函数F(x)在R上为单调递增函数.1k-10,F1k-1F(0).F(0)=f(0)=-1,f1k-1-kk-1-1,即f1k-1kk-1-1=1k-1,f1k-11k-1,故C错误.4.已知常数a,b,c都是实数,f(x)=ax3+bx2+cx-34的导函数为f(x),f(x)0的解集为x|-2x3.若f(x)的极小值等于-115,则a的值是()A.-8122B.13C.2D.5答案：C解析：依题意得f(x)=3ax2+2bx+c0的解集是-2,3,于是有3a0,-2+3=-2b3a,-23=c3a,则b=-3a2,c=-18a.函数f(x)在x=3处取得极小值,于是有f(3)=27a+9b+3c-34=-115,则-812a=-81,解得a=2.故选C.5.已知函数f(x)=(2x+1)ex,f(x)为f(x)的导函数,则f(0)的值为.答案：3解析：f(x)=(2x+3)ex,f(0)=3.6.已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.答案：y=2x解析：当x0时,-x0).(1)求f(x)在区间0,+)内的最小值;(2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=32x,求a,b的值.解(1)f(x)=aex-1aex.当f(x)0,即x-ln a时,f(x)在区间(-ln a,+)内单调递增;当f(x)0,即x-ln a时,f(x)在区间(-,-ln a)内单调递减.当0a0,f(x)在区间(0,-ln a)内单调递减,在区间(-ln a,+)上单调递增,从而f(x)在区间0,+)内的最小值为f(-ln a)=2+b;当a1时,-ln a0,f(x)在区间0,+)内单调递增,从而f(x)在区间0,+)上的最小值为f(0)=a+1a+b.(2)依题意f(2)=ae2-1ae2=32,解得ae2=2或ae2=-12(舍去).所以a=2e2,代入原函数可得2+12+b=3,即b=12.故a=2e2,b=12.8.设函数f(x)=x3-kx2+x(kR).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k0时,求函数f(x)在区间k,-k上的最小值m和最大值M.解f(x)=3x2-2kx+1.(1)当k=1时,f(x)=3x2-2x+1,=4-12=-80,f(x)在R上单调递增,即f(x)的单调递增区间为(-,+),f(x)没有单调递减区间.(2)当k0时,f(x)=3x2-2kx+1,其开口向上,对称轴x=k3,且过点(0,1).当=4k2-12=4(k+3)(k-3)0,即-3k0,即k-3时,令f(x)=3x2-2kx+1=0,解得x1=k+k2-33,x2=k-k2-33,注意到kx2x1k,从而kx2x10,f(x)的最小值m=f(k)=k.f(x2)-f(-k)=x23-kx22+x2-(-2k3-k)=(x2+k)(x2-k)2+k2+10,f(x)的最大值M=f(-k)=-2k3-k.综上所述,当k0,r0).(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;(2)若ar=400,求f(x)在区间(0,+)内的极值.解(1)由题意知x-r,所求的定义域为(-,-r)(-r,+).f(x)=ax(x+r)2=axx2+2rx+r2,f(x)=a(x2+2rx+r2)-ax(2x+2r)(x2+2rx+r2)2=a(r-x)(x+r)(x+r)4,所以当xr时,f(x)0.当-rx0.因此,f(x)的单调递减区间为(-,-r),(r,+);f(x)的单调递增区间为(-r,r).(2)由(1)的解答可知f(r)=0,f(x)在区间(0,r)上单调递增,在区间(r,+)上单调递减.因此,x=r是f(x)的极大值点.所以f(x)在区间(0,+)内的极大值为f(r)=ar(2r)2=a4r=4004=100.10.(2017全国,文21)设函数f(x)=(1-x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x0时,f(x)ax+1,求a的取值范围.解(1)f(x)=(1-2x-x2)ex.令f(x)=0得x=-1-2,x=-1+2.当x(-,-1-2)时,f(x)0;当x(-1+2,+)时,f(x)0.所以f(x)在区间(-,-1-2),(-1+2,+)内单调递减,在区间(-1-2,-1+2)内单调递增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.当a1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h(x)=-xex0),因此h(x)在区间0,+)内单调递减,而h(0)=1,故h(x)1,所以f(x)=(x+1)h(x)x+1ax+1.当0a0(x0),所以g(x)在区间0,+)内单调递增,而g(0)=0,故exx+1.当0x(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=5-4a-12,则x0(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)ax0+1.当a0时,取x0=5-12,则x0(0,1),f(x0)(1-x0)(1+x0)2=1ax0+1.综上,a的取值范围是1,+).二、思维提升训练11.若0x1x2ln x2-ln x1B.ex2-ex1x1ex2D.x2ex10,且x趋近于0时,xex-10,因此在区间(0,1)上必然存在x1x2,使得f(x1)=f(x2),因此A,B不正确.设g(x)=exx,当0x1时,g(x)=(x-1)exx2g(x2),即ex1x1ex2x2,所以x2ex1x1ex2.故选C.12.设直线l1,l2分别是函数f(x)=-lnx,0x1图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+)D.(1,+)答案：A解析：由题意得P1,P2分别位于两段函数的图象上.设P1(x1,ln x1),P2(x2,-ln x2)(不妨设x11,0x21,SPAB=12|yA-yB|xP|=2x11+x121+x121+x12=1.0SPAB1,故选A.13.已知函数f(x)=x3+x,对任意的m-2,2,f(mx-2)+f(x)0,f(x)为增函数.又f(x)为奇函数,由f(mx-2)+f(x)0知,f(mx-2)f(-x).mx-2-x,即mx+x-20.令g(m)=mx+x-2,由m-2,2知g(m)0恒成立,即g(-2)=-x-20,g(2)=3x-20,解得-2x23.14.设f(x)=-13x3+12x2+2ax.(1)若f(x)在区间内存在单调递增区间,求a的取值范围;(2)当0a0,得a-19,故当a-19时,f(x)在区间上存在单调递增区间.(2)令f(x)=0,得两根x1=1-1+8a2,x2=1+1+8a2.所以f(x)在区间(-,x1),(x2,+)上单调递减,在区间(x1,x2)上单调递增.当0a2时,有x11x24,则f(x)在区间1,4上的最大值为f(x2).又f(4)-f(1)=-272+6a0,即f(4)f(1),所以f(x)在区间1,4上的最小值为f(4)=8a-403=-163,得a=1,x2=2,从而f(x)在区间1,4上的最大值为f(2)=103.15.设fn(x)=x+x2+xn-1,x0,nN,n2.(1)求fn(2);(2)证明:fn(x)在区间0,23内有且仅有一个零点(记为an),且0an-121323n.(1)解法一由题设fn(x)=1+2x+nxn-1.所以fn(2)=1+22+(n-1)2n-2+n2n-1,则2fn(2)=2+222+(n-1)2n-1+n2n.-得,-fn(2)=1+2+22+2n-1-n2n=1-2n1-2-n2n=(1-n)2n-1.所以fn(2)=(n-1)2n+1.解法二当x1时,fn(x)=x-xn+11-x-1,则fn(x)=1-(n+1)xn(1-x)+(x-xn+1)(1-x)2,可得fn(2)=-1-(n+1)2n+2-2n+1(1-2)2=(n-1)2n+1.(2)证明因为fn(0)=-10,所以fn(x)在区间0,23内至少存在一个零点.又fn(x)=1+2x+nxx-10,所以fn(x)在区间0,23内单调递增,因此fn(x)在区间0,23内有且仅有一个零点an.由于fn(x)=x-xn+11-x-1,所以0=fn(an)=an-ann+11-an-1.由此可得an=12+12ann+112,故12an23.所以0an-12=12ann+11223n+1=1323n.16.设函数f(x)=x3-3ax2+3(2-a)x,aR.(1)求f(x)的单调递增区间.(2)若y=f(x)的图象与x轴相切于原点,当0x2x1时,f(x1)=f(x2).求证:x1+x28.解(1)f(x)=3x2-6ax+3(2-a),=36(a2+a-2)=36(a+2)(a-1).当a1时,由f(x)=0得x=aa2+a-2.f(x)的单调递增区间为(-,a-a2+a-2),(a+a2+a-2,+).当-2a1时,f(x)的单调递增区间为(-,+).(2)证明f(x)=3x2-6ax+3(2-a),由f(0)=0,得a=2.即f(x)=x3-6x2,f(0)=0.由(1)知f(x)在区间(-,0),(4,+)上单调递增,在区间(0,4)内单调递减,则a=2符合题设.(方法一)f(x1)=f(x2),0x2x1,0x24,则8-x24,而f(x2)-f