2019年高中数学第三章不等式3.3.2简单的线性规划问题第一课时简单的线性规划问题练习新人教A版.docx

第一课时简单的线性规划问题 1.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-y的取值范围是(A)(A)-,6 (B)-,-1(C)-1,6(D)-6,解析:画出可行域,如图阴影部分所示.目标函数z=3x-y可转化为y=3x-z,作l0:3x-y=0,在可行域内平移l0,可知在A点处z取最小值为-,在B点处z取最大值为6.故选A.2.设变量x,y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为(A)(A)18(B)2(C)3(D)0解析:由约束条件作出可行域如图,联立解得B(3,4).由图可知,当目标函数图象过B时z有最大值.z=23+34=18.故选A.3.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为(C)(A)3(B)4(C)18(D)40解析:由约束条件画出可行域如图中阴影部分所示,当动直线x+6y-z=0过点(0,3)时,zmax=0+63=18.故选C.4.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+3y+1的最大值为(B)(A)11 (B)10(C)9 (D)8.5解析:画出不等式组表示的可行域如图所示(阴影部分),当直线z=2x+3y+1平移至点A(3,1)时,目标函数z=2x+3y+1取得最大值10.故选B.5.若变量x,y满足则x2+y2的最大值是(C)(A)4 (B)9 (C)10 (D)12解析:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,设P(x,y)为平面区域内任意一点,则x2+y2表示|OP|2.由解得故A(3,-1),由解得故B(0,-3),由解得故C(0,2).|OA|2=10,|OB|2=9,|OC|2=4.显然,当点P与点A重合时,|OP|2即x2+y2取得最大值.所以x2+y2的最大值为10.故选C.6.若实数x,y满足则z=3x+2y的最小值是(B)(A)0(B)1(C)(D)9解析:约束条件表示的可行域如图所示,令t=x+2y,则y=-x+t,平移直线y=-x与可行域相交,分别在点(0,0),(0,1)处t取得最小值0,最大值2,故z=3t1,9.故选B.7.某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为(C)(A)31 200元(B)36 000元(C)36 800元(D)38 400元解析:设租用A型车x辆,B型车y辆(x,yN),租金为z元,则即画出可行域,如图,则目标函数z=1 600x+2 400y=800(2x+3y)在点N(5,12)处取得最小值36 800,故选C.8.已知x,y满足约束条件则(x+3)2+y2的最小值为(D)(A) (B)2(C)8 (D)10解析:画出可行域(如图所示).(x+3)2+y2即点A(-3,0)与可行域上点(x,y)间距离的平方.显然|AC|长度最小,所以|AC|2=(0+3)2+(1-0)2=10.故选D.9.若x,y满足约束条件则的最大值为.解析:由约束条件画出可行域,如图.的几何意义是可行域内的点(x,y)与原点O连线的斜率,所以的最大值即为直线OA的斜率,又由得点A的坐标为(1,3),则()max=kOA=3.答案:310.已知变量x,y满足约束条件若目标函数z=ax+y(其中a0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a的取值范围是.解析:由约束条件画出可行域如图所示.要使z仅在点(3,0)处取最大值,则-a.答案:(,+)11.实数x,y满足不等式|x-1|+|y-1|2,则x2+y2的最大值是.解析:不等式|x-1|+|y-1|2表示的平面区域为一个中心在(1,1)的正方形及内部区域如图中阴影部分所示,x2+y2表示正方形区域内点(x,y)到原点的距离的平方,故x2+y2的最大值是12+32=10.答案:1012.已知x,y满足则z=7x+5y的最大值为.解析:满足线性约束条件的可行域是如图中的四边形ADOE内部的整点及边界上的整点.作直线l0:7x+5y=0的平行直线l:7x+5y=z,即y=-x+.当直线l过点A时,z取最大值.由方程组可以求出点A的坐标为(,),然而A不是整点,点A不可作为最优解.因为点A的横坐标为,所以可以先求出横坐标为1,2,3,4的整点来检验.当x=1时,代入不等式组得-y,取y=5;当x=2时,代入得0y4,取y=4;当x=3时,取y=2;当x=4时,取y=1.所以整点为(1,5),(2,4),(3,2),(4,1),代入目标函数z=7x+5y可知,当x=2,y=4时,z最大,此时zmax=34.答案:3413.设E为平面上以A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界),则z=4x-3y的最大值与最小值分别为.解析:如图把目标函数z=4x-3y化为y=x-z.当动直线y=x-z通过点B时,z取最大值;当动直线y=x-z通过点C时,z取最小值.所以zmax=4(-1)-3(-6)=14;zmin=4(-3)-32=-18.答案:14,-1814.如果点P在平面区域上,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,求|PQ|的最小值.解:画出不等式组所表示的平面区域,x2+(y+2)2=1所表示的曲线为以(0,-2)为圆心,1为半径的圆.如图所示,只有当点P在点A(0,),点Q在点B(0,-1)时,|PQ|取最小值.15.某公司计划在今年同时出售电子琴和洗衣机,由于两种产品的市场需求量非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量,以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力,通过调查,得到关于两种产品的有关数据如表:单位产品所需资金(百元)月资金供应量(百元)电子琴(架)洗衣机(台)成本3020300劳动力(工资)510110单位利润68/试问:怎样确定两种产品的供应量,才能使总利润最大,最大利润是多少?解:设电子琴和洗衣机月供应量分别为x架,y台(x,yN),总利润为z百元,则根据题意,有且z=6x+8y,作出以上不等式组所表示的平面区域,如图中所示的阴影部分.令z=0,作直线l:6x+8y=0,即3x+4y=0.当移动直线l过图中的A点时,z=6x+8y取得最大值.解方程组得A(4,9),代入z=6x+8y得zmax=64+89=96(百元).所以当供应量为电子琴4架,洗衣机9台时,公司可获得最大利润,最大利润是96百元.16.x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为(D)(A)或-1(B)2或(C)2或1(D)2或-1解析:作出可行域(图中阴影部分),由图象可知直线z=y-ax经过AB或AC时取得最大值的最优解不唯一,此时a=2或-1.故选D.17.设实数x,y满足则xy的最大值为(A)(A)(B)(C)12 (D)16解析先画出可行域,再将xy转化为矩形面积S,求S的最大值.表示的可行域如图中阴影部分所示.令S=xy,不妨设在点M(x0,y0)处S取得最大值,且由图象知点M(x0,y0)只可能在线段AD,AB,BC上.当M(x0,y0)在线段AD上时,x0-2,0,此时S=xy0;当M(x0,y0)在线段AB上时,x00,2,S=xy=x=x(7-)=-+7x=-(x-7)2+,当x0=2时,Smax=-(2-7)2+=-+=12;当M(x0,y0)在线段BC上时,x02,4,S=xy=x(10-2x)=-2x2+10x=-2(x-)2+,当x0=时,Smax=.综上所述,xy的最大值为.18.若实数x,y满足则z=的取值范围为.解析:画出可行域如图,z=表示可行域内的点P(x,y)与点A(1,-2)连线的斜率,因为kAB=,kOA=-2,由图知,z=的取值范围为(-,-2,+).答案:(-,-2,+)19.已知实数x,y满足不等式组求z=|x+2y-4|的最大值.解:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示. 法一z=|x+2y-4|=,其几何意义为阴影区域内的点到直线x+2y-4=0的距离的倍.由得点B的坐标为(7,9),显然点B到直线x+2y-4=0的距离最大,此时zmax=21.法二由图可知,阴影区域(可行域)内的点都在直线x+2y-4=0的上方,显然此时有x+2y-40,于是目标函数等价于z=x+2y-4,即转化为一般的线性规划问题,显然当直线经过点B时,目标函数z取得最大值,由得点B的坐标为(7,9),此时z