八年级上册课本亮题.doc

八年级上册课本亮题拾贝课本中的例、习题是经过编者反复琢磨，认真筛选后精心设置的，具有一定的探究性在教学的过程中要立足课本，充分发挥课本例、习题的教学功能，可以有效地避免题海战术，不但有利于巩固基础知识，而且还能增强同学们的应变能力，发展创新思维，提高数学素养113 角的平分线的性质NMCABP题目 如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P求证：点P到三边AB、BC、CA 的距离相等（人教课本P21例题）分析 如果过点P作三条边的垂线段，用角平分线的性质可得PD = PE，PE = PF，故PD = PE = PF，那么点P到三边AB、BC、DNMECABPFCA的距离相等，如图所示证明 略点评 遇到有角的平分线，常常向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或三角形全等，转化解决问题演变变式1 在原题目的基础上，利用角平分线的性质还可得到：（1）点P在BAC的平分线上； （2）BPC = 90 +A；（3）面积关系：（r = PD，ha表示BC = a边上的高，下同）变式2 如图，点P是ABC的外角MBC，NCB的平分线的交点，则点P到AB、BC、CA的距离相等证明 过点P分别作PD、PE、PF垂直于AB、BC、CA，垂足依次为点D、E、FPDBFENAMC PB平分MBC，PC平分NCB， PD = PE，PE = PF， PD = PE = PFPBNAMC说明 在变式2中，利用角平分线的性质还可证得：点P在BAC的平分线上；BPC = 90A变式3 如图，若点P是ABC一个内角A和外角MBC的平分线的交点，则点P到AB、BC、CA的距离相等证明方法与变式2相同l3l2l1说明 在变式3中，利用角平分线的性质及外角的性质还可以得到：点P在外角BCN的平分线上；P =ACB变式4 如图，l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有 处（人教P27 6题改编）（答案：4）FGOBCDAE变式5 如图，以ABC的边AB、AC为边长向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，CD与BE相交于点O，试探索AOD与AOE的关系分析 若能说明OA平分DOE，则可知AOD =AOE由角的平分线的性质知，需要证明点A到BE，CD的距离相等为此可作AFCD于点，AGBE于G，即证AF = AG，因为易证ABEADC，从而由全等三角形的对应高相等，问题得证变式6 P是ABC的内角平分线的交点，若P到AB边的距离为1，ABC的周长为10，则ABC的面积等于 （答案：5平方单位）变式7 ABC中，B、C的平分线交于点O，ODBC于D，如果AB = 15 cm，BC = 25 cm，AC = 20 cm，且三角形的面积SABC = 150 cm2，那么OD = cm（答案：2.5 cm）EFABCD*变式8 ABC中，AC = 7，BC = 24，AB = 25问ABC内是否有一点P到各点的距离相等？如果有，请作出这一点，并说明理由 （答案：点P存在）变式9 如图，BD平分ABC，DEAB于E，DFBC于F，AB = 18，BC = 12（1）求SABD: SBCD 的值；（表示面积）（2）若SABC = 36，求DE的长 （答案：（1）2:3 （2）122 作轴对称图形lAB题目 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（人教课本P42探究问题）分析 把管道l近似地看成一条直线，问题就是要在l上找一点C，使AC与CB的和最小点评 平面图形上求最短距离有两种情况：（1）若A、B在l的同侧，作对称；（2）若A、B在l的异侧，则直接连结演变变式1 如图，已知牧马营地M处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上吃草，最后回到营地，试设计出最短的牧马路线河草地营地M解 如图所示（实线）ABCFEM河草地营地MABCFE变式2 如图，E、F为ABC的边AB、AC上的两定点，在BC上求作一点M，使MEF的周长最短解 如图所示，M为所求变式3 已知，如图，甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时甲站在AOB内的P点，乙站在OA上的定点Q，丙站在OB上且可以移动游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点P处若甲、乙、丙三人速度相同，试用尺规作图找出丙必须站在OB上的何处，使得他们完成接力所用的时间最短？（不写作法，保留作图痕迹）QBOPAQBOPA甲乙丙解 如图所示*变式4 如图，正方形ABCD的边长为4，M为CD上的点，且ABCDDDMNDM = 1，N为AC上一动点，则DN + MN的最小值为 （答案：5）*变式5 已知点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，MP + NP的最小值是（ ）A2 B1 C D（答案：B）*变式6 已知A（5，5），B（2，4），M是x轴上一动点，求使MA + MB最小时的点M的坐标解 点B关于x轴对称的点的坐标是B（2，4）连接AB，则AB 与x轴的交点即为所求设AB 所在直线的解析式为 y = kx + b，lPQ则 解得 所以直线AB的解析式为 y = 3x10当 y = 0时，x =故所求的点为M（，0）*变式7 如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，它们到l的距离分别为2千米，5千米欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）MlPQlPQMMlPQMlPQA B C D（答案：A）*变式8 阅读并解答下列问题：（1）如图所示，直线l的两侧有A、B两点，在l上求作一点P，使AP + BP的值最小（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明）（2）如图A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂至河堤的距离AC为1 km，B工厂至河堤的距离BD为2 km，经测量河堤上C、D两地间的距离为6 km现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A、B两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距C地多远的地方？（3）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决下面问题：若，当x为何值时，y的值最小，并求出这个最小值9111119xxlABCDlAB（答案：（1）略 （2） （3）构造图形，得x = 23，y = 3）变式9 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l 是第一、三象限的角平分线实验与探究：（1）由图观察易知点A（0，2）关于直线l 的对称点A 的坐标为（2，0）请在图中分别标出点B（5，3）、C（2，5）关于直线l 的对称点B、C 的位置，然后写出它们的坐标：B ，C 运用与拓广：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，可以发现：坐标平面内任意一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P 的坐标为 （不必证明）1AABDEOCylx11QAABCDEOCylxBD1归纳与发现：（3）已知两点D（1，3），E（2，4）试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出点Q的坐标解 （1）如图，B（3，5）、C（5，2）（2）（b，a）（3）由（2）得，D（1，3）关于直线l 的对称点D 的坐标为（3，1），连接DE交直线l 于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小设过D（3，1），E（2，4）的直线的解析式为 y = kx + b，则 解得 k =5，b =14， y =5x14由y =5x14 和 y = x，解得，故所求Q点的坐标为（，）123 等腰三角形ABCD题目 如图，在ABC中，AB = AC，点D在AC上，且BD = BC = AD，求ABC各角的度数（人教课本P50例1）解 AB = AC，BD = BC = AD， ABC =C =BDC，A =ABD设 A = x，则 BDC =A +ABD = 2x，从而 ABC =C =BDC = 2x于是在ABC中，有 A +ABC +C = x + 2x + 2x = 180，解得 x = 36 A = 36，ABC =C = 72ABCD点评 根据三角形的内角和、外角性质以及角平分线、平行线的性质列出方程，是求角大小的重要方法，充分运用了方程的思想演变变式1 如图，在ABC中，AB = AC，A = 50，BD为ABC的平分线，则BDC = （答案：82.5）AEDCB20变式2 如图，在ABC中，AB = AC，BAD = 20，且AE = AD，则 CDE = （答案：10）2DABC1变式3 如图，D为BC上一点，且AB = AC = BD，则图中1与2的关系是（ ）A1 = 22 B1 +2 = 180C1 + 32 = 180 D312 = 180（答案：D）ABCD变式4 如图，A = 36，DBC = 36，C = 72，找出图中的一个等腰三角形，并给予证明解 等腰三角形有：ABC，BDC 或 DAB证明 在ABC中， A = 36，C = 72， ABC = 180（72 + 36）= 72 C =ABC，从而 AB = AC，ABC是等腰三角形NMABCD变式5 如图，ABC中，AB = AC，A = 36，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB 于点M，证明：BDC是等腰三角形变式6 如图甲，在ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，A = 40（1）求NMB的大小（2）如图乙，如果将（1）中A的度数改为70，其余条件不变，再求NMB的大小（3）根据（1）（2）的计算，你能发现其中所蕴涵的规律吗？请写出你的猜想并证明（4）如图丙，将（1）中的A改为钝角，其余条件不变，则上述规律是否需要加以修改? 请你把A代入一个钝角度数验证你的结论NCABMNCABMNCABM甲 乙 丙（答案：（1）20 （2）35 （3）NMB =A，证明略 （4）若A改为钝角，其余条件不变，规律不变，仍为NMB =A）133 实数题目 如图，直径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P（滚动时与点O重合）由原点到达点O，则点O 的坐标是多少？（人教课本P83探究问题）4123OO解 从图中可以看出，OO 的长就是这个圆的周长p，所以O 的坐标是p点评 许多无理数都可以用画图的方法找到数轴上的一个点来表示它一般地，可以用无限不循环小数的近似值来确定这个点的位置演变变式1 单位圆滚动一周，所覆盖的面积为 （答案：）变式2 单位圆滚动一周，点P运动的路径是直线段还是曲线段？（答案：曲线段）变式3 如图，以数轴的单位长为边作正方形，以数轴的原点为圆心、正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 （答案：）1A20-1变式4 “数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫01P2-1做（） （答案：C）A代入法B换元法C数形结合D分类讨论P2xP1AOPy变式5 如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2009次，点P依次落在点P1，P2，P3，P2009的位置，则点P2009的横坐标为 （答案：2009）变式6 如图，点A，B在数轴上对应的实数分别为m，n，则A，B间的距离为 （用含m，n的式子表示） （答案：nm）0BA变式7 数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是 （答案：2）213P40QMN变式8 如图，数轴上表示实数的点可能是（ ）A点P B点Q C点M D点N（答案：C）141 一次函数题目 一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线过第四象限及点（2，3a）与（a，6），求这个函数的解析式（人教课本P120第8题）解 根据题目条件，可设这个函数的解析式为y = kx于是有 解得 或 由于函数经过了第四象限，所以舍去因此所求函数的解析式为y =3x点评 仔细审读清楚题目条件：一个函数，其图象是直线且过原点和第四象限，逐渐缩小函数类型，选择确定为正比例函数在解出a，k的对应值后，再验证条件是否被满足，作出符合题目完全要求的结论如果没有限制条件“这条直线过第四象限”，则结论有两解演变变式1 在同一直角坐标系中，指出动点A（2，3a），B（a，6）随a而变化的图象形状？解 对于点A（2，3a），横坐标是2为定值，当a变化时，纵坐标可取一切实数，因此，动点A的图象是直线x = 2同理，动点B（a，6）的图象是直线y =6，如图所示变式2 已知一次函数的图象经过点A（2，3a）和B（a，6），求这个一次函数的解析式，并指出图象特征xyOx=2y=-62-6解 设过点A，B的一次函数的解析式为y = kx + b，则 两式相减，得（a2）k = 3a6， 即（a2）k = 3（a2）（1）若a = 2，则k可取一切实数，这时A，B两点重合，其图象是平面内过定点（2，6）的所有直线（简称直线系）xyO(2,-6)2-6（2）若a2，则k = 3，此时b =3a6，函数的解析式为y = 3x3a6（a2），其图象是平面内平行于直线y = 3x（但不包括直线y = 3x12）的一切直线（平行直线系），如图说明 由于点A（2，3a）和B（a，6）的横纵坐标乘积相等，都等于6a，所以当a0时，点A，B同在反比例函数的图象上变式3 已知反比例函数的图象经过点A（2，3a）和B（a2，6），求反比例函数的解析式和A、B的距离解 设反比例函数的解析式为，则 k = xy = 2（3a）=6a2，解得a = 1，k =6因此反比例函数的解析式为过A、B分别向坐标轴作垂线，则可得直角三角形ABC中，两直角边为1，3，于是斜边AB的长为152 乘法公式题目 已知a + b = 5，ab = 3，求a2 + b2的值（人教课本P157第7题）解 a + b = 5，ab = 3， （a + b）2 = 25， 即 a2 + 2ab + b2 = 25，于是 a2 + b2 = 252ab = 2523 = 19点评 本题还可进一步求ab，以及a和b完全平方公式的一些主要变形有：（a + b）2 +（ab）2 = 2（a2 + b2），（a + b）2（ab）2 = 4ab，a2 + b2 =（a + b）22ab =（ab）2 + 2ab，在四个量a + b、ab、ab和a2 + b2中，任意知道其中的两个量，就能求出（整体代换）其余的两个量演变变式1 已知（x + y）2 = 25，（xy）2 = 9，求xy与x2 + y2的值（人教课本P175第6题） （答案：4，17）变式2 已知x + y = 3，xy =5，求：（1）x2 + y2；（2）x2xy + y2；（3）xy的值（答案：19，24，）变式3 化简：（a + b）2（ab）2 （ab） （答案：4）变式4 已知长方形的周长为40，面积为75，求以长方形的长和宽为边长的两个正方形的面积之和 （答案：250）变式4 已知a23a1 = 0，求：（1）；（2）；（3）的值解 a23a1 = 0， a0，于是等式两边同除以a