数学：2.1《合情推理与演绎推理》课件（2）（新人教B版选修2-2）

2 1 1合情推理 歌德巴赫猜想 任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和 即 偶数 奇质数 奇质数 歌德巴赫猜想的提出过程 3 7 10 3 17 20 13 17 30 歌德巴赫猜想 任何一个不小于6的偶数都等于两个奇奇数之和 即 偶数 奇质数 奇质数 改写为 10 3 7 20 3 17 30 13 17 6 3 3 1000 29 971 8 3 5 1002 139 863 10 5 5 12 5 7 14 7 7 16 5 11 18 7 11 这种由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 或者由个别事实概栝出一般结论的推理 称为归纳推理 简称 归纳 归纳推理的几个特点 1 归纳是依据特殊现象推断一般现象 因而 由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围 2 归纳是依据若干已知的 没有穷尽的现象推断尚属未知的现象 因而结论具有猜测性 3 归纳的前提是特殊的情况 因而归纳是立足于观察 经验和实验的基础之上 归纳是立足于观察 经验 实验和对有限资料分析的基础上 提出带有规律性的结论 需证明 例1 已知数列 an 的第1项a1 1且 n 1 2 3 试归纳出这个数列的通项公式 对有限的资料进行观察 分析 归纳整理 提出带有规律性的结论 即猜想 检验猜想 归纳推理的一般步骤 例 如图有三根针和套在一根针上的若干金属片 按下列规则 把金属片从一根针上全部移到另一根针上 1 每次只能移动1个金属片 2 较大的金属片不能放在较小的金属片上面 试推测 把n个金属片从1号针移到3号针 最少需要移动多少次 解 设an表示移动n块金属片时的移动次数 当n 1时 a1 1 当n 2时 a2 3 1 2 3 当n 1时 a1 1 当n 2时 a2 4 1 当n 3时 a3 8 1 当n 4时 a4 16 1 猜想an 2n 1 1 2 3 2 1 3 7 15 1 据说春秋时代鲁国的公输班 后人称鲁班 被认为是木匠业的祖师 一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手 这桩倒霉事却使他发明了锯子 鲁班的思路是这样的 茅草是齿形的 茅草能割破手 我需要一种能割断木头的工具 它也可以是齿形的 2 人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理 发明了潜水艇 相似点 绕太阳运转 绕轴自转 有大气层 有季节变换 大部分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等 地球上有生命 火星上可能有生命 火星上是否有生命 相似点 类比推理的特点 1 类比是从人们已经掌握了的事物的属性 推测正在研究的事物的属性 是以旧有的认识为基础 类比出新的结果 2 类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性 3 类比的结果是猜测性的不一定可靠 但它却有发现的功能 类比推理的一般步骤 观察 比较 联想 类推 猜想新结论 类比推理的一般步骤 找出两类对象之间可以确切表述的相似性 或一致性 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质 从而得出一个猜想 检验猜想 例1 试将平面上的圆与空间的球进行类比 圆的定义 平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合 球的定义 到一个定点的距离等于定长的点的集合 圆弦直径周长面积 球 截面圆 大圆 表面积 体积 圆的概念和性质 球的概念和性质 与圆心距离相等的两弦相等 与圆心距离不相等的两弦不相等 距圆心较近的弦较长 以点 x0 y0 为圆心 r为半径的圆的方程为 x x0 2 y y0 2 r2 圆心与弦 非直径 中点的连线垂直于弦 球心与不过球心的截面 圆面 的圆心的连线垂直于截面 与球心距离相等的两截面面积相等 与球心距离不相等的两截面面积不相等 距球心较近的面积较大 以点 x0 y0 z0 为球心 r为半径的球的方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 r2 利用圆的性质类比得出球的性质 球的体积 球的表面积 圆的周长 圆的面积 例2类比实数的加法和乘法 列出它们相似的运算性质 若a b R 则ab R ab ba ab c a bc 乘法的逆运算是除法 使得ax 1有唯一解x 1 a a 1 a 通过例1 例2你能得到类比推理的一般模式吗 类比推理的一般模式 所以B类事物可能具有性质d A类事物具有性质a b c d B类事物具有性质a b c a b c与a b c 相似或相同 若 则 空间向量的性质 例3 利用平面向量的性质类比得 空间向量 平面向量 例4 类比平面内直角三角形的勾股定理 试给出空间中四面体性质的猜想 s1 s2 s3 c2 a2 b2 图 1 图 2 例6 在平面上 设ha hb hc是三角形ABC三条边上的高 P为三角形内任一点 P到相应三边的距离分别为pa pb pc 我们可以得到结论 试通过类比 写出在空间中的类似结论 从具体问题出发 观察 分析比较 联想 归纳类比 提出猜想 先根据已有的事实 经过观察 分