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K12第13期打造未來數學教室電子白板在數學教學上的應用學習檔案議題討論第1週(10/1510/21)自 我 介 紹姓 名：廖仲文學 校：新光國小網路教學是一個新的趨勢，藉由網路的便利性，人們學習的方式必有大突破，隨時想學的時候，透過網路，便可以不受交通、時間與地點的限制，能夠參與這樣的方式，實在是棒極了！未來可以嘗試與學生利用寒暑假來做此網路互動教學。議題討論第2週(10/1510/21)國小：萬年曆（代數）萬年曆網站/在月曆中 隨便框一個九公格九個數字之和 會等於九公格中間的那個數字乘以9九宮格中間那個數,是平均數,也是中位數.正因為是平均數,所以它乘以9,會等於九個數的和.現行陽曆每年有365天，每四年閏年一次(366天)，逢百 (對世紀年)不閏，逢四百又閏(使四百年內少閏三次)。換句話說：每四百年有閏年九十七次，其餘為平年。含有4或7或100的倍數概念 每4年為閏年(滿100年又不能算) 每週7日,可算出每月有幾週 或者哪一天(幾月幾日)是星期幾? 另外,還有天干與地支相搭配 等等具有週期概念議題討論第3週(10/2911/04)月曆透視鏡魔術機器網站介紹：尤怪魔宮：.tw/oddest/mqmain.htm尤怪之家：.tw/oddest三種顏色本身就是等差數列，公差皆為3。紅+黃：-11、-5、1、7，一個公差為6首項為-11的等差數列，左右可再延伸。紅+綠：-10、-4、2、8，一個公差為6首項為-10的等差數列，左右可再延伸。黃+綠：-9、-3、3、9，一個公差為6的首項為-9等差數列，左右可再延伸。紙牌魔術師 http:/www.mathland.idv.tw/fun/pncard.html議題討論第4週(11/0511/11)圖解1+3+5+7+91+3+5+7+9+11+.+(2n-1) = n n圖解1+2+3+4+3+2+1等於4的平方積木中的數形索馬立體的誕生 西元1936年，皮亞特海恩在聆聽德國物理學家海森伯格演講量子物理，講述把空間切割成立方體的時候，皮亞特海恩敏銳的想像力捕捉到一個數學的構想：將四個以內，大小相同的正立方體，以面相連接，構成的所有不規則形狀，可以重組成一個較大的正立方體。索馬(Soma)立方塊議題討論第5週(11/1211/18)圖解 1+2+4+8+16+32 64-1連續整數的立方和13+23+33+43=(1+2+3+4)2基本碎形模式中的數形關係.tw/km47/HomepageMain.php?teacher_id=178數形關係.tw/UpLoad/Content/2/6/1612/View/default.htm提供一個flash網站.tw/km47/Homepage.php?teacher_id=178議題討論第6週(11/1911/25)柏拉圖正多面體正四面體 正六面體 正八面體 正十二面體 正二十面體阿基米德多面體有些多面體雖然每面都是正多邊形，但卻是由兩種或是兩種以上的正多邊形組成，稱為阿基米德多面體。立體圖形名稱展開圖截角正四面體4個正六邊形、4個正三角形組成截角正六面體6個正八六邊形、4個正三角形組成截角正八面體8個正六邊形、6個正方形組成截角正十二面體12個正十邊形、20個正三角形組成截角正二十面體20個正六邊形、12個正五邊形組成截盡角正八面體 (十四面體)6個正方形、8個正三角形組成小十二面體 (斜方截盡角十四面體)18個正方形、8個正三角形組成大二十六面體 (斜方截角十四面體)6個正八邊形、8個正六邊形、12個正方形組成 截盡角正十二面體(三十二面體)12個正五邊形、20個正三角形組成小六十二面體 (斜方截盡角三十二面體)12個正五邊形、30個正方形、20個正三角形組成達文西的多面體素描 正四面體、正八面體、正二十面體的每一面都是正三角形，正方體的每一面是正方形，而正十二面體的每一面都是正五邊形。 書中提及達文西(Leonardo de Vinci)曾經作過一幅封閉多面體的素描，就像右圖，這個多面體由邊長一樣的正三角形與正五邊形組合而成，而且正五邊形的每邊都與正三角形共邊，正三角形的每邊也都與正五邊形共邊。那麼它應該包含有幾個正三角形和正五邊形呢? 因為多面體的頂點數 邊數 + 面數 = 2 (尤拉公式)，觀察右圖，不難發現甲乙丙丁共用一個頂點，而且甲乙共用一個邊。如果有a的正三角形，b個正五邊形，那麼，這個多面體就有( 3a + 5b ) 4個頂點，( 3a + 5b ) 2個邊，並且有 a + b個面。因此，( 3a + 5b ) 4 - ( 3a + 5b ) 2 + ( a + b ) = 2，即 a - b = 8 .(1); 又因為所有正三角形的邊個數和正五邊形的邊個數是一樣的，即3a = 5b.(2)。由(1)(2)可知 a = 20，b = 12。所以，達文西(Leonardo de Vinci)所畫的多面體，其實體應該由20個正三角形和12個正五邊形組合而成。多面體地球 嗯？想查一下非洲在哪裡卻沒有地圖嗎？想感覺一下立體的地球嗎？現在.不用花幾百塊買一顆難擺的地球儀.跟我們一起做個多面體地球吧！絕對是好看又好玩的啦一起製作多面體地球照慣例，準備好你利利的剪刀跟膠水吧一起做個不一樣的地球 把下面的圖另存，列印出後，沿著線剪下，再用膠水或膠帶黏好，就可以做成一個有趣的活動相簿了 製作方法將圖片(pdf檔)下載後，用剪刀或小刀沿線割下，再用膠水黏好，就變成一顆好看又好玩的算命骰子了！你也可以自己如圖做一顆正12面體，完成後，在每個面寫上你自己想的籤詞，就變成一顆屬於你自己獨有的算命骰子了！号方案俗称鸟巢方案，详细介绍 瑞士和中国的建筑设计师为年奥运会主体育场 /news/2003-04-01/44183.html 台北市中正高中 林清堂老師 .tw/lin/index.html 議題討論第7週(11/2612/02)美麗的數學定理 1988年 David Wells 在（vol.10 No.4 p.30）針對數學界發出問卷，根據統計結果，公佈了數學家心中認為最美麗的數學定理。前十名分別是1.2. 多面體的歐拉(Euler)公式：V-E+F= 2。其中，V是頂點的個數，E是邊的個數，F是面的個數。 3. 質數有無窮多個。 4. 正多面體只有五個。 5.6. 由閉的單位圓盤到本身的連續映射必有一個不動點。(固定點定理) 7. 是無理數。 8. 是超越數。 9. 平面上的地圖，只用4種顏色，可以讓相鄰的區域的顏色都不同。(四色定理) 10. 型如4n+1的質數，可唯一表示成兩個整數的平方和。 多面體之Eulers 公式 (V - E + F = 2) V =頂點數( number of vertices) ; E = 邊數(number of edges) ; F = 面數(number of faces) 正四面體(Tetrahedron) V=4,E=6,F=4, 4 - 6 + 4 = 2 正六面體(Cube)V=8,E=12,F=6, 8 - 12 + 6 = 2 正八面體(Octahedron)V=6,E=12,F=8, 6 - 12 + 8 = 2 正十二面體(Dodecahedron)V=20,E=30,F=12, 20 - 30 + 12 = 2 正二十面體(Icosahedron)V=12,E=30,F=20,12 - 30 + 20 = 2BuckyballV=60,E=90,F = 32 (12 pentagons + 20 hexagons),60 - 90 + 32 = 2補充說明： 1.用Euler示性數可以證明正多面體恰好有五種;或者假設每一頂點聚集有 m條線,每一條線是正n邊形的一邊,則因為每一正n邊形的一個內角為180(n-2)/2 度,圍繞此頂點的m個角的和小於360度,否則此頂點附近便變成一個平面,所以m180(n-2)/n360,同樣可以導出(m-2)(n-2) 4.2.很多病毒是正20面體(icosahedron),例如:皰疹(herpes)病毒,水痘(chickenpox)病毒 ,人體疣(human wart)病毒,犬類傳染性肝炎病毒,腺病毒(adenovirus)等. 3.巴克球就是足球的樣子,叫作準正多面體.參考資料： stydying polyhedra 高維正形體(88年高雄雄中小論文第一名作品，作者-陳威尹) 紙摺正多面體Copyright 19992001昌爸工作坊 all rights reserved議題討論第8週(12/0312/09).tw/chinese/lab/03/more.htm3D幾何動畫作品 作者：李華倫 主旨： 我們 運用電腦3D動畫方式將以前不可能看到的幾何現象及定理呈現給一般大眾欣賞。 3D animations for geometry.北京2008奧林匹亞運動會的游泳比賽中心-水立方，它和鳥巢體育場堪稱北京奧林匹亞運動公園裡最醒目的兩座建築體。水立方的屋頂與牆面由多面體單元構成，每一單元包含六個十四面體和兩個十二面體。而這些多面體由正六邊形和邊長、角度不等的五邊形組成。這種結構是都柏林三一學院的物理學家維埃爾(Denis Weaire)和費蘭(Robert Phelan)在1993年發現的。他們發現利用這樣繁複的方式所堆積成的多面體單元可以架構出表面積總和略少於在1887年由卡爾文爵士(Lord Kelvin)的所提出的十四面體。高斯完成尺規作圖正十七邊形，並引以為傲。可是正七邊形卻不能利用無刻度的尺規來作圖，正七邊形的兩條不等長對角線長和一邊長具有性質:1/a=1/b+1/c，這性質可以利用托勒密定理證明它。英國錢幣50便士採正七邊形設計，不同於常見的圓形，提高了防偽作用。而且該錢幣的曲線七邊形是等寬曲線，並不會造成使用投幣機的困擾。參考資料：星空燦爛的數學()-托勒密定理(蔡聰明教授)正多邊形的世界(全任重教授)等寬曲線尺規正十七邊形 1935年涂林(Alan Mathison Turing)在英國劍橋大學拓樸學家紐曼（M. H. A. Newman）的講堂裡知道哥德爾不完備定理（Godels incompleteness theorem）。該定理說:：在一個夠複雜的數學邏輯系統裡面，一定可以找到無限多個在這個邏輯系統裡面是完全合理存在的，可是在這個邏輯系統所容許的規則，卻無法證明它是否是正確的。簡單來說，就是任何無矛盾的邏輯系統，從本質上沒有能力捕捉人類所能理解的全部數學真理。這個定理震撼了當時的數學界、哲學界、科學界。但是希爾伯特（D. Hilbert）所提出的另一個相關問題判定性（decidability）問題，在當時卻仍然沒有解決。所謂判定性（decidability）問題是說：在初階邏輯系統裡，是否具備明確的方法，能在原則上就判定任何給定命題的真假，並獲得證明。涂林在這個問題的思考上並沒有採用一般邏輯學家常用的推理系統規範方法，卻採用了一種截然不同的途徑，最終竟以否定的答案解決了判定性問題。涂林把他得到的結果寫成論可計算數及其在判定性問題上之應用（On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem）一文，在1936年五月送交符號邏輯學報，並於十一月號學報正式被刊登發表。他在這篇論文中至少有三項影響深遠的創見：（一）發明與定義一種抽象的計算機；（二）證明萬用計算機的存在性；（三）證明存在有任何計算機都不能解決的問題。這篇文章是現代計算機理論和人工智慧的濫觴，涂林被後人尊稱計算機之父。參考資料：謎樣的計算機科學之父/李國偉教授撰寫 .tw/articles/sm/sm_30_11_2/index.htm 由英國曼徹斯特大學的喬治格威吉斯約瑟博士(Dr. George Gheverghese Joseph)(右圖)所率領的曼徹斯特和埃克塞特大學的研究小組對於年代久遠且使用現代人少有人知的中世紀(1416世紀)的喀拉拉語、馬拉雅拉姆語等印度古語所撰寫的印度論文深入研究後發現，印度西南部一所小有名氣的喀拉拉學校的學者-馬德哈瓦和尼拉坎薩，很可能是現代數學理論的創始人，他們在1350年就發現了微積分學的重要組成部分之一-無窮級數。 已知最早的有關微積分的印度數學著作Yuktibhasa，就是用馬拉雅拉姆語撰寫而成的。喀拉拉學校學者已經可以使用圓周率無窮級數計算圓周率的近似值精確到小數點後第9位和第10位，甚至後來又精確到第17位。約瑟博士研究後認為15世紀印度人曾經將他們的發現告知造訪印度的耶穌會傳教士，他們精通數學也懂得馬拉雅拉姆語，而傳教士將無窮級數傳回歐洲，牛頓也獲得這個知識。當然17世紀末牛頓和萊布尼茲在微積分學的貢獻卓著，其歷史地位無可動搖，可是也應該給於喀拉拉學校的學者-馬德哈瓦和尼拉坎薩一個相當的定位以彰顯其貢獻。 這一新發現被記錄在約瑟博士的最近出版的孔雀王冠：數學起源並非歐洲第三版中。參考網頁/releases/2007/08/070813091457.htm 今年(2007)是瑞士數學家歐拉(Euler)誕辰300周年，許多國家都舉辦紀念活動，瑞士政府也發行一套郵票紀念(如圖)。數學領域處處可見歐拉(Euler)的名字初等幾何的歐拉線、多面體的歐拉定理、立體解析幾何的歐拉變換公式、數論的歐拉函數、變分法的歐拉方程、複變函數的歐拉公式.。歐拉是數學史上最多產的全才型數學家，Euler 與牛頓，萊布尼茲(Leibniz) 都是屬於新數學理論的開拓者。後人將歐拉(Euler)、高斯(Gauss)、 黎曼(Riemann) 在數學的地位比喻為樂壇上的三 B：巴哈、貝多芬、布拉姆斯。雖然Euler在28歲時右眼失明，59歲時已經雙目失明，但是他一生勤奮寫下了886篇論文和多本書籍，平均每年寫出800多頁，這包括他在雙目失明後仍出版的書籍與口述發表的400多篇論文。後來，俄羅斯的彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了47年。 1858年德國數學家、天文學家August Ferdinand Mobius和Johhan Benedict Listing兩人發現莫比烏斯帶（Mobius strip)，它是一種拓撲學結構，只有一個面，和一個邊界。可以用一個紙帶旋轉180度，再把兩端粘上就可以輕易製作出來。雖然其形狀已經數學家詳細闡述說明，卻一直沒有一個數學方程式能夠解開形狀是如何產生的以及其表面到底在那裡彎曲和如何彎曲的。因為紙條透過彎曲與扭轉所產生的壓力增加了紙條中儲存的能量，而莫比烏斯帶如何將自身的能量最小化，從1930年起就一直困擾著全球的力學科學家。 歷經近77年的努力，2007年7月15日，來自英國倫敦大學學院的非線性動力學家Gert van der Heijden和Eugene Starostin在 Nature Materials 發表一篇相關研究論文揭開了莫比烏斯帶的立體結構之謎。 歐拉拉格朗日方程式在1989年就被提出，它也解決了某些微分方程集，卻從未被用來解決莫比烏斯帶的難題。但是Gert van der Heijden和Eugene Starostin卻利用歐拉拉格朗日方程式發展出一個數學方程式，可以準確預測不同長寬比例莫比烏斯帶的三維形狀，甚至到臨界極限，此時，莫比烏斯帶逐漸變平，最終成為一個等邊三角形。而莫比烏斯帶上各個位置的能量密度也因長寬比例相應改變，捲曲最劇烈的地方具有最高的能量密度，而平坦的地方能量密度最低。 新的研究成果對材料學、藥物開發等許多領域也具有重要意義。Eugene Starostin表示，它將有助於科學家理解一些生物分子和化學薄膜的架構。瑞士聯邦技術研究所的數學家John Maddocks認為研究中使用的方程式可適用於任何扭曲的長方形條帶，包括碳納米管。 今年(2007)第一次國中基測數學第30題和大學指考數學乙第4題不約而同都以選用正多邊形緊密鋪滿地面命題，如果只用全等的正多形就只有正三角形、正方形和正六邊形三種選擇。除此之外，全等的非線性圖形也可以緊密撲滿平面，其中以荷蘭版畫家埃舍爾（M. C. Escher,，1898-1972）的畫作最著名。他擅長利用空間錯覺、幾何拼接、悖論架構，他總是由不可能的角度描繪我們所在的客觀世界，卻讓我們的主觀視覺享受不可思議的激盪。上圖是埃舍爾利用大小形狀一樣的獨角獸(三種顏色)圖案鋪滿整個畫面。相關網頁 玩 玩具不倒翁穩定平衡時，重心和接地點的距離是最小，因此總要將底部加重。兩位數學家Gbor Domokos（匈牙利/布達佩斯技術學院）和 Pter Vrkonyi （美國/普林斯頓大學）創造出的類似不倒翁形體，它如同不倒翁一樣總是可以回到原始的狀態，但是它並沒有被加重底部，而且內部是均勻的。他們稱這形體為Gomboc，該形體的表面是光滑的和曲線形的，可是他們仍不確定Gomboc是否可以是多面體。延伸閱讀http:/www.gomboc.eu/100.pdf 電線在兩電線桿之間懸垂成一曲線，我們稱這樣的曲線為懸垂線。法國加拉比(Garabit)高架橋的拱軸線就是倒置的懸垂線(圖一)。美國聖路易(St.Louis)拱門也是懸垂線(圖二)。y=(ex+e-x)/2的函數圖形就是懸垂線，乍看之下很像是拋物線，難怪連伽利略都看錯了。巴西的Hercilio Luz橋(圖三)的懸吊鍊就是拋物線。延伸閱讀有點像，其實不同-懸垂線和拋物線圖一圖二圖三自 自然界存在許多螺旋形構造，如颱風的漩渦(圖一)，鸚鵡螺的內室構造(圖二)。古希臘數學家阿基米德(約西元前280年)就對螺旋線進行了研究，並運用來製作機械(昇水泵)。數學家笛卡兒於1683年首先描述了對數螺旋線，並且列出了螺旋線的解析式。 (圖一)(圖二) 名列世界七大奇觀之一的義大利披薩斜塔內的通道樓梯，便是294階的螺旋線。著名的梵蒂岡博物館的雕花出口階梯在1932年由Giuseppe Momo 設計建造，它也是螺旋線(如左圖)。 紐約的古根漢美術館就是一座倒置的圓錐螺旋形建築，館內圓形空間的底部直徑約28公尺，向上逐漸加大，高約30公尺。美術作品就展示在盤旋而上的螺旋坡道(如右圖)。 Thomas Heatherwick 被英國泰晤士報譽為英國最具創造力的藝術家。他在倫敦的Paddington Basin建造的開放式渡橋，伸展開時只像一般橋樑，可是捲曲後常令觀 眾驚嘆不已! 這座長約40呎的大橋就像毛毛蟲一樣向上捲曲，直至在對岸幻化成為一座正八角柱體為止， Thomas Heatherwick 自許我希望造一座有戲劇性的橋！，顯然他是成功了。1234 瑞士在1957年發行尤拉(Euler)250周年誕辰紀念郵票，郵票上印上Euler在1748年所發表的公式，ei=Cos+iSin。這個公式是三角函數和複數理論中最重要的公式，當=時，ei + 1= 0。Euler 非常熱愛這個公式, 宣稱這是最美麗的數學公式，並將這公式刻在皇家科學院的大門上。這公式包括有1和 0 ，分別是乘法和加法這兩個基本運算系統的單位元素，還有三個運算方法-加法、乘法和次方。另有兩個特別的數指數e 與圓周率 ，再加上虛數單位 i 。 Keizo Ushio是享譽國際的日本石頭雕刻家，擅長將石頭雕刻成拓樸形狀，譬如莫比帶或是環面。2006年國際數學家大會(ICM)在西班牙馬德里召開並頒發菲爾茲獎，Keizo Ushio獲邀雕刻拓樸形狀，他在一週的大會期間完成切割環面花崗岩後公開展示。 賈恩茨考斯韋海岸（Giants Causeway，巨人之路）位於北愛爾蘭貝爾法斯特西北約80公里處大西洋海岸。由總計約4萬根六角形石柱組成8公里的海岸。石柱連綿有序，呈階梯狀延伸入海。大約是6000萬年前太古時代火山噴發後熔岩冷卻凝固而形成的。賈恩茨考斯韋海岸1986年被列為世界自然遺產。自然界之中雪花、蜂窩等的形狀都是六邊形，自有其經濟原則。延伸閱讀: 數學家稱蜂窩是世界上最省料的建築物為了2006世界盃足球造勢與宣傳，德國政府計畫48個藝術、文化企劃與工程，圖中的足球裝置藝術為其中一項工程，豎立於巴黎Trocadero廣場。（美聯社） 一般足球表面是由12個正五邊形和20個正六邊形組成。延伸閱讀: 足球的白與黑 畢達哥拉斯(Pythagoras)（約-569？），生於 愛琴海 Samos 島，卒於義大利。畢氏學派的創始人。對畢氏而言，數學之美在於有理數能解釋一切自然現象，萬物皆數的信念，為希臘數學的昌盛奠下基礎。畢氏認為尋找證明就是尋找認識，而這種認識比任何訓練所累積的經驗都不容置疑，數學邏輯是真理的仲裁者 。(左圖-Pythagoras紀念碑，豎立在故鄉 Pythagorio, Samos) 延伸閱讀:畢達哥拉斯 (翁秉仁教授/台大數學系)畢達哥拉斯/wiki/Samos議題討論第9週(12/1012/16)拼圖的奧秘.tw/proteon/index.htm關鍵字： 九年一貫數學學習領域幾何能力指標、 科學普及 (科普)、 趣味數學、 幾何學、 排列、 組合數學 (離散數學)、 對等性、 最優化 (最佳化)、 畢氏 (商高、勾股弦) 定理、 模式 (胚騰)、 等積異形、 多方塊、 多半方塊 (多等腰直角三角形)、 類似七巧板、 多線段、 骨牌、 謎題、 舖磚 (舖設、鋪磚)、 填裝、 覆蓋、 分割 (切割)、 單面、 平面、 立體、 表面積、 立方體 (正六面體)、 展開圖、 預留黏貼邊、 全等、相似 (伸縮、縮放)、 比例 (比率)、 平移、 鏡射 (翻轉)、 旋轉、 對稱、 轉換 (變換)、 鑲嵌、 益智拼圖 (排板、 拼板、 巧板)、 馬賽克、 積木、 教材、 教具、 智力玩具、 摺紙、 遊戲、遊藝.當拿到一幅拼圖，要從何下手？這是許多初次接觸拼圖的人常有的疑問。 建議大家，拿到拼圖時，第一步就是找個平坦的地方，再來，好好地將這幅拼圖仔細看過，了解它裡頭有怎樣的圖案，然後，將拼圖片分類。拼圖的方法並沒有一定的規則，以自己習慣的方法最佳。關於拼圖拼圖是什麼？為什麼有那麼多人要把整的圖切成很多的小片，然後再把他拼起來？為什麼拼圖會拼到廢寢忘食？拼圖小歷史拼圖的出現可以追朔到1767年英國一個製作地圖的人-John Spilsbury, circa。他將地圖黏在木板上再沿著地理線的位置將地圖切割開來，而當時的用意只在改善地理的教學方式，所以地理老師都利用他的地圖教學生經由將地圖拼湊完整而認識地理的位置。也曾有些證據證明早在1767年的前十年荷蘭就有拼圖出現，大約在1840年時，德國及法國的拼圖製造商已開始使用現今我們已熟悉的刀模切割方式製作拼圖， Die-cut 木板拼圖於1890問世， 1909年，Parker Brothers (大富翁的發明家) 也致力於做拼圖玩具。可見拼圖起源相當早，在歐美已有二百多年的歷史，在日本風行也接近三十年，而在台灣真正的蓬勃大約是從12年前開始，拼圖對於幼兒是很好的益智遊戲，藉由完成拼圖的過程，訓練對孩子耐心、專心、手眼協調、觀察力等。而完成拼圖的成就感，可以讓孩子得到滿足，並建立自信心，同樣的成就感深深地吸引著廣大的拼圖迷，而將自己親手完成的拼圖，裱背後掛起來當家裏的裝飾畫，更增添拼圖的樂趣。議題討論第10週(12/1712/23)檔案製作與心得分享前人的