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文档简介

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴 圆柱 圆锥 圆台 体积 一 旋转体的体积 旋转体的体积为 所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所成的立体的体积为 例1 求椭圆 所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周所成的旋转体 旋转椭球体 的体积 类似地 由连续曲线 这个旋转体可以看成是由半个椭圆 及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转而成的立体 与上同理 椭球体也可以看成由半个椭圆 及y轴围成的平面图形绕y轴旋转而成的立体 解 特别当a b时 旋转体成为球体 解 解 例4 证明由平面图形 f x 连续 绕y轴旋转而成的立体的体积为 对应的部分量 可近似看成内径为x 外径为x dx高为f x 的薄壁圆筒 故 证 或展开后近似于长为宽为dx高为f x 的薄长方体 利用这个公式 可知上例中 解 体积元素为 求圆心在 b 0 半径为a 0 a b 的圆绕y轴旋转一周所成的环状体的体积 解 圆的方程 例6 绕x轴旋转 dV 薄片圆柱的体积 底半径为f x 高为dx 柱片法 绕y轴旋转 dV 薄壁圆筒的体积 内径为x 外径为x dx高为f x 柱壳法 旋转体的侧面积 绕x轴旋转 所得的旋转面的侧面积为 一般地 如果一个立体不是旋转体 但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积 那么 这个立体的体积也可用定积分来计算 立体体积 二 平行截面面积为已知的立体的体积 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 已知点A 1 0 1 B 0 1 0 线段AB绕z轴旋转一周所成的旋转曲面为S 求由S和两平面z 0 z 1所围立体的体积 解 AB的方程为 在z轴上截距为z的水平面截此旋转体所得截面为一个圆 此截面与z轴交于点Q 0 0 z 与AB交于点M z 1 z z 截面面积 立体体积 故截面的半径为 例8 旋转体的体积 绕轴旋转一周 绕轴旋转一周 绕非轴直线旋转一周 平行截面面积为已知的立体的体积 思考题 三 小结 交点 立体体积 思考题解答 练习题 练习题
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