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利用旋转的性质来解计算题 旋转的性质：在平面内，通过旋转得到的图形与原图形之间有：对应点和旋转中心的距离相等，每对对应点与旋转中心的连线所形成的角都相等，它们都是旋转角。合理准确地应用旋转的这一条性质，可以解决与旋转相关的很多问题。一、面积计算问题图1图21、如图1所示，AOB中，OA=3cm，OB=1cm，将AOB绕点O按逆时针方向旋转90到AOB，那么AB扫过的区域的面积是 。图3分析：AB扫过的区域是一个不规则的图形，要想计算它的面积，可以将它分割为和两部分（如图2所示），根据旋转可以知道区域和区域的面积是相等的，所以可以将转化为，而区域的面积=扇形OAA的面积扇形ODD的面积，又因为OD=OD=1，OA=3，所以区域的面积=。答：AB扫过的区域的面积是。二、角度计算问题如图3所示，ABC中，ACB=120，将该图形绕点C按顺时针旋转30后，得到ABC，则ABC的度数是 。分析：根据旋转的性质可以知道BCB是旋转角，它的度数应该是30，ABC可以看成是ACB和BCB的和，所以ABC=12030=150。答：ABC的度数是150。三、线段长度问题如图4所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30后得到正方形EFGH，EF交AD于点H，那么DH的长是 。图4图5分析：由旋转的性质可以知道BFC=DCG=30，所以FCD=60，可以连结线段HC（如图4所示），由已知可知F=D=90，FC=DC，HC是RtFHC和RtDHC公共的斜边，根据HL公理可以判断RtFHCRtDHC，所以FHC=DHC=30，所以HC=2DH，根据勾股定理可得，即，因为DC=3，所以DH=。答：DH的长是。借助旋转来解题旋转是新课标中增加的内容，是解答几何问题的一种重要的变换方法。旋转变换是一种全等变换，它只改变图形的位置，使原来比较分散的条件相对集中，从而使图形的各种关系明朗化，从而达到化繁为简，化难为易的目的。一、求角度例1（青岛）、如图1，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求APB的度数。分析：由题中已知条件中的6、8、10这组勾股数联想到直角三角形，于是设法将PA、PB、PC集中到一个三角形中，可以将APC绕着A点逆时针旋转60得到AFB， 图1 图2从而可得APB=APF+BPF，然后设法求出APF、BPF的度数即可。解：将APC绕点A逆时针旋转60后，得AFB，连接FP（如图2），则FB=PC=10，FA=PA=6，FAP=60。FAP是正三角形，FP=PA=6，在PBF中，PB2+PF2=82+62=102=BF2，BPF=90，APB=APF+FPB=60+90=150。二、求线段间的关系例2（旅顺）操作：如图3，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连MN。探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。分析：本题要探究的三条线段不在同一个三角形之中，必须设法将它们集中到一个三角形中。易知DBA=DCA=90，BD=CD，于是将DBM绕D点顺时针旋转120到DCP的位置，则BM=CP，DM=DP，再证MN=NC+CP即可得证。解：ABC为正三角形，ABC=ACB=60，又BDC=120，DB=DC，DBC=DCB=30。DBM=DCN=90。于是将DBM绕D点顺时针旋转120到DCP位置，则BM=CP、DM=DP、MDP=120，又MDN=60，PDN=60，PDN=MDN，DN=DN，MDNPDN，MN=NP=NC+CP，BM+NC=MN。三、求面积 图3例3、如图4，ABC是等腰直角三角形，D为AB的中点，AB=2，扇形ADG和BDH分别是以AD、BD为半径的圆的，求阴影部分面积。分析：从表面上看图形异常繁杂，若想直接求阴影部分面积则不可能，若将扇形BDH和BDC绕D点顺时针旋转180，问题就迎刃而解了。解：将扇形BDH和BDC绕D点顺时针 图4 图5旋转180变成图5。 S阴=S半圆SAEF=1212=（1）。四、进行图形分割例4（厦门）如图6，在四边形ABCD中，A=90，ABC与ADC互补。（1）求C的度数；（2）若BCCD且AB=AD，请在图上画一条线段，把四边ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由。析解：本题设计新颖，巧妙把直观感知、操作确认和逻辑推理结合起来，第（1）问可根据四边形内角和直接求解；第（2）问则ABC+ADC=180，以及要把四边形分成两部分，使得这两部分能够 图6 图7拼成一个正方形，则新图必须有四个直角，由C=90，又AB=AD，因此猜想过点A作AEBC于E，又得一个直角。把ABE绕点A逆时针旋转90，这时AB与AD重合，则被分成两部分拼成一个正方形。五、构造平行四边形例5（天津）如图8，已知四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片。如果限定裁剪线最多有两条，能否做到： （用“能”或“不能”填空）。若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由。分析：本题旨在通过操作与几何说理，拓展学生思考与探索空间，主要考四边形的分割和平行四边形的判定知识，其中包含着深刻的图形变换思想，需要丰富观察能力、抽象思维能力、动手操作能力和解决实际问 图8 图9 图10题能力。本题通过连接四边形对边中点，构造线段相等并利用四边形内角和为360，借助旋转、平移变换，可达到剪拼的目的。解：能