小学数学难题解法大全.doc

小学数学难题解法大全 第一部分 常用解题依据 （一）四则运算定律与性质 1加法运算定律 2乘法运算定律 3四则运算性质 （二）公理、定理或性质 1数的公理、定理或性质 2整除性质或定理 3比和比例的定理或性质 4几何公理、定理或性质 5其他定理或性质 （三）数学原理 （四）法则、方法 1有关数的法则或方法 2运算法则或方法 3比和比例的法则或方法 4简单方程的解法 （五）数学公式 1速算公式 2解应用题的公式 3几何公式 （六）数学规律 1数的整除性规律 2.和差积商的变化规律 3.最值规律 4、等积规律 （七）图形旋转与几何体侧面展开 1.几何图形旋转 2.几何体侧面展开 第二部分 常用解题思路 （一）直接思路 （二）间接思路 （三）逻辑思路 （四）特殊思路 第三部分 常用解题方法 （一）一般解题方法 （二）特殊解题方法 第四部分 常用解题技巧 （一）速算技巧 1.变换运算顺序 2.改变运算种类 3.用补充数速算 4.应用公式速算 5.连续数求和的速算 6.根据和、差、积、商变化规律速算 7.常用的巧算方法 （二）解概念题技巧 1.数的大小概念 2.判断题的解答 3.其他 （三）解几何题技巧 1.等分图形 2.平移变换 3.旋转变换 4.对称变换 5.割补、拼接、截割 6扩缩图形 7附录：等积变换 8运用图形间的等量关系 9利用间接条件 （四）解应用题技巧 1解一般题用得较多的技巧 2解典型题用得较多的技巧 第五部分 典型难题讲析 （一） 数的计算 1四则计算 2分数与繁分数化简 3数的大小比较 4.估值计算 5循环小数 （二）数字谜与数字问题 1数字串问题 2算式谜 3附录：数阵图 4数的组成 5小数和分数 6.数字和与最大最小问题 （三）应用题 1.一般应用题 2.典型应用题 3.复杂分数应用题 4.比和比例应用题 5.杂 题 （四）整除的有关问题 1.整除及数字整除特征 2.余数问题 3.约数与倍数 4.附录：奇数偶数与奇偶性分析 5.附录：乘方的性质 6.整数的拆分 （五）简单几何问题 1.几何图形的计数 2.平面图形的计算 3.立体图形的计算 4.实践与实际操作 （六）附录：逻辑与组合初步 1.排列与组合 2.抽屉原理问题 3.容斥原理问题 4.最值问题 5.分析推理问题 （七）运筹与染色 1.运筹规划 2.最优方案与最佳策略 3.染色与覆盖 第六部分 模拟试卷 （一）三年级试卷 第一套（难度较小） 第二套（难度适中） 第三套（难度稍大） （二）四年级试卷 第一套（难度较小） 第二套（难度适中） 第三套（难度稍大） （三）五年级试卷 第一套（难度较小） 第二套（难度适中） 第三套（难度稍大） （四）六年级试卷 第一套（难度较小） 第二套（难度适中） 第三套（难度稍大） 答案与提示 三年级第一套 三年级第二套 三年级第三套 四年级第一套 四年级第二套 四年级第三套 五年级第一套 五年级第二套 五年级第三套 六年级第一套 六年级第二套 六年级第三套 第七部分 名词术语解释 （一）整数（非负整数） 【自然数】 【自然数集合】 【自然数列】 【扩大自然数列】 【自然数的单位】 【自然数的基数理论】 【自然数的序数理论】 【零】 【数数原则】 【整数】 【十进位制】 【计数和记数】 【数位和位数】 【位置记数法】 【二进位制】 （二）小数 【小数】 【小数部分的计数单位】 【小数的数位】 【小数的分类】 【准确数和近似数】 【近似数的绝对误差】 【近似数的相对误差】 【精确度】 （三）分数、百分数 【分数】 【分数单位】 【真分数、假分数和带分数】 【最简分数】 【未约分数】 【倒数】 【繁分数】 【连分数】 【约分和通分】 【百分数】 【百分比、百分率和百分法】 【百分比浓度】 【千分率】 【成数与折数】 （四）数的整除 【整除】 【约数、倍数】 【奇数、偶数】 【质数、合数】 【爱氏筛法】 【质因数、分解质因数】 【公约数、最大公约数】 【公倍数、最小公倍数】 【互质数、两两互质数】 （五）量的计量 【量】 【计量】 【计量单位】 【名数】 【不名数】 【同名数、异名数】 【高级单位、低级单位】 【进率】 【化法、聚法】 【法定计量单位】 【国际单位制】 【中华人民共和国法定计量单位】 【米制、市制】 【长度、长度单位】 【海里】 【光年】 【质量、重量、质量（重量）单位】 【时间、时刻】 【时区、北京时间】 【时间单位】 【公元】 【闰年、平年】 【24时记时法】 【容积、容量、容量单位】 【面积、面积单位】 【地积】 【体积、体积单位】 【速度】 【角度单位】 【人次、吨公里】 【人民币】 【外国货币名称】 （六）比和比例 【比】 【比值】 【比的前项、后项】 【比的基本性质】 【比的化简】 【比例尺】 【线段比例尺、分数比例尺】 【正比、反比】 【连比、复比】 【比例】 【比例基本性质】 【正比例】 【反比例】 【比例分配】 第一部分 常用解题依据 （一）四则运算定律与性质 1加法运算定律【加法交换律】两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。这叫做“加法的交换定律”，简称“加法交换律”。加法交换律用字母表达，可以是a+b=b+a。例如：864+1，236=1，236+864=2，100【加法结合律】三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。这叫做“加法的结合定律”，简称“加法结合律”。加法结合律用字母表达，可以是（a+b）+c=a+（b+c）。例如：（48928+2735）+7265=48928+（2735+7265）=48928+10000= 589282乘法运算定律【乘法交换律】两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。这叫做“乘法的交换律”。用字母来表达乘法交换律，可以是abba例如，80713，865=13，865807=11，189，055【乘法结合律】三个数相乘，先把前面两个数相乘，再与第三个数相乘；或者先把后面两个数相乘，再与第一个数相乘，它们的积不变。这叫做“乘法的结合律”。用字母表达乘法结合律，可以是（ab）c=a（bc）例如，（427125）8=427（1258）=4271，000=427，000【乘法分配律】两个数的和乘以一个数（或者一个数乘以两个数的和），等于每一个加数分别乘以这个数（或者这个数分别乘以每一个加数）所得的两个积之和。这叫做“乘法对于加法的分配律”，简称“乘法分配律”。用字母表达乘法分配律，可以是（a+b）c=ac+bc；或者是a（b+c）=ab+ac。例如，（125+25）8=1258+258=1，000+200=1，200=8+15=23【乘法运算律的推论】推论1 若干个数的和乘以若干个数的和，可以先把第一个和里的每一个加数与第二个和里的每一个加数相乘，再把所得的积相加。用字母来表达，可以是：（a1+a2+a3+an）（b1+b2+b3+bn）a1b1+a2b1+a3b1+anb1+a1b2+a2b2+a3b2+anb2+a1b3+a2b3+a3b3+anb3+a1bn+a2bn+a3bn+anbn例如，（2000+300+40+5）（600+70+8）=2000600+300600+40600+5600+200070+30070+4070+570+20008+3008+408+58=1200000+180000+24000+3000+140000+21000+2800+350+16000+2400+320+40=1589910推论2 两个数的差乘以一个数（或者一个数乘以两个数的差），等于被减数和减数分别乘以这个数所得积的差（或者是这个数分别乘以被减数和减数所得积的差）。用字母来表达，可以是：（ab）cacbc；或 a（b-c）=ab-ac。例如，（250-25）4=2504-254=1000-100=900=15-8=73四则运算性质【加法运算性质】加法的运算性质主要有以下三条：（1）一个数加上几个数的和，可以把这个数加和里的第一个加数，再加第二、三个加数。用字母来表达，可以是：a+（b+c+d）=a+b+c+d。例如，85+（15+57+43）=85+15+57+43=100+57+43=157+43=200（2）几个数的和加上一个数，可以把这个加数加到和里的任意一个加数上去，再加和里的其他加数。用字母来表达，可以是：（a+b+c）+d=（a+d）+b+c=a+（b+d）+c=a+b+（c+d）。（3）几个数的和加上几个数的和，可以把两个和里的所有加数依次相加。用字母来表达，可以是: （a1+a2+a3+an）+（b1+b2+b3+bn）=a1+a2+a3+an+b1+b2+b3+bn 例如，（800+70+6）+（1200+500+60+7）=800+70+6+1200+500+60+7=2643【加减混合运算性质】“加减混合运算性质”也可称为“和与差的性质”。这些性质有以下几条：（1）第一个数加上（或减去）第二个数，再减去第三个数，可以把第一个数先减去第三个数，再加上（或减去）第二个数。这就是说，在加减混合运算中，改变运算的顺序，得数不变。这常被称之为加减混合运算的“交换性质”。用字母来表达这一性质，可以是：a+b-c=a-c+b；或 a-b-c=a-c-b。例如 3458+6789-2458=3458-2458+6789=1000+6789=77894087-1198-2087=4087-2087-1198=2000-1198=802（2）一个数加上两个数的差，等于这个数加上差里的被减数，再减去差里的减数。这可以称之为加减混合运算的“结合性质”。用字母表示这一性质，可以是：a+（b-c）a+b-c例如，1364+ （8636-2835）= 1364+ 8636-2835=10000-2835=7165（3）一个数减去几个数的和，等于这个数依次减去和里的每一个加数。这也可称之为“结合性质”。用字母表示这一性质，可以是：a-（b+c+d+e）=a-b-c-d-e。例如，8675-（605+1070+287）=8675-605-1070-287=8070-1070-287=7000-287=6713（4）一个数减去两个数的差，等于这个数先加上差里的减数，再减去差里的被减数。这也是加减混合运算的“结合性质”。用字母表示这一性质，可以是：a（bc）a+cb。例如，754-（600-246）=754+246-600=1000-600=400（5）几个数的和减去一个数，可以用和里的等于或大于这个数的一个加数，先减去这个数，然后再加和里的其他加数。这也是“结合性质”。用字母表示这一性质，可以是：（a+b+c+d）-e=（a-e）+b+c+d（a、b、d 、de）=a+（b-e）+c+d=a+b+（c-e）+d=a+b+c+（d-e）。例如，（421+368+468）-368=421+（368-368）+468=421+468=889（6）几个数的和减去几个数的和，可以用第一个和里的各个加数，分别减去第二个和里不比它大的各个加数，然后相加。这也可称为“结合性质”。用字母表示这一性质，可以是：（a+b+c+d）-（e+f+g+h）=（a-e）+（b-f）+（c-g）+（d-h）（ae，bf，cg，dh）例如，（865+721+543+697）-（765+621+343+697）=（865-765）+（721-621）+（543-343）+（697-697）=100+100+200+0=400【乘除混合运算性质】“乘除混合运算性质”也可称之为“积与商的性质”。它们的性质可分为三类：第一类是“交换性质”：在乘除混合运算或连除的算式中，变更它们的运算顺序，得数的大小不变。用字母表示这一性质，可以是：abc=acb（c0）abc=acb（b0）abc=acb（b0，c0）例如 2460376246=2460246376=10376=376069002569=6900692510025=4第二类是“结合性质”。结合性质有以下几条：（1）一个数乘以两个数的商，等于这个数先乘以商里的被除数，再用积除以商里的除数。用字母表达这一性质，可以是：a（bc）abc（c0）例如7（40028）=740028=280028=100（2）一个数除以两个（或若干个）因数的积，等于这个数除以积里的一个因数，再依次除以其他的因数。用字母表达这一性质，可以是：a（bc）=abc（b、c0）a（bcm）=abcm（b，cm0）例如，1050（2357）=10502357525357=17557357=5（3）一个数除以两个数的商，等于这个数除以商里的被除数，再乘以商里的除数。用字母表示这一性质，可以是：a（bc）abc（b0，c0）例如，3600（36040）=360036040=1040400第三类是“分配性质”。分配性质有以下几条：（1）两个数的差与一个数相乘，可以用被减数与减数分别与这个数相乘，然后再相减。用字母表达这一性质，可以是：（a-b）cacbca（b-c）=ab-ac例如，（100-3）21=10021-321=2100-63=203778（100-1）=78100-781=7800-78=7722（2）几个数的和除以一个数，可以用和里的每个加数分别除以这个数，再把所得的商相加。用字母表达这一性质，可以是:（a+b+c）d=ad+bd+cd。（d0）例如，（3700+1110+37）37=370037+111037+3737=100+30+1=131注意：此性质不适用于“一个数除以几个数的和”，即a（b+c+d）ab+ac+ad。比方，6850（100+37）6850100+685037。（3）两个数的差除以一个数，可以把被减数和减数分别除以这个数，再把所得的商相减。用字母表达这一性质，可以是：（a-b）m=am-bm（m0）例如，（3400-68）34=340034-6834=100-2=98注意：此性质也不适用于“一个数除以两个数的差”。即m（a-b）ma-mb。比方 3400（68-34）340068-340034。（4）几个数的积除以一个数，可以把积里的任何一个因数除以这个数，然后再与其他因数相乘。用字母表达这一性质，可以是：（abc）m=（am）bca（bm）c=ab（cm）（m0）例如，（20485）8=20（488）5=2065=600（5）几个数的积除以几个数的积，可以把第一个积里的各个因数，分别除以第二个积里的各个因数，然后把所得的商相乘。用字母表达这一性质，可以是：（abcd）（efg）（ae）（bf）（cg）d。（efg0）例如，（211548）（7316）=（217）（153）（4816）=353=45（二）公理、定理或性质1数的公理、定理或性质【小数性质】小数的性质有以下两条：（1）在小数的末尾添上或者去掉几个零，小数的大小不变。（2）把小数点向右移动n位，小数就扩大10n倍；把小数点向左移动n位，小数就缩小10n倍。【分数基本性质】一个分数的分子和分母都乘以或者都除以同一不为零的数，分数的大小不变。即【去九数的性质】用9去除一个数，求出商后余下的数，叫做这个数的“去九数”，或者叫做“9余数”。求一个数的“去九数”，一般不必去除，只要把该数的各位数字加起来，再减去9的倍数，就得到该数的“去九数”。（求法见本书第一部分“（四）法则、方法”“2运算法则或方法”中的“弃九验算法”词条。）去九数有两条重要的性质：（1）几个加数的和的去九数，等于各个加数的去九数的和的去九数。（2）几个因数的积的去九数，等于各个因数的去九数的积的去九数。这两条重要性质，是用“弃九验算法”验算加、减、乘、除法的依据。【自然数平方的性质】（1）奇数平方的性质。任何一个奇数的平方被8除余1。为什么有这一性质呢？这是因为奇数都可以表示为2k+1的形式，k为整数。而（2k+1）2=4k2+4k+1=4k（k+1）+1k与k+1又是连续整数，其中必有一个是偶数，故4k（k+1）是8的倍数，能被8整除，所以“4k（k+1）+1”，即（2k+1）2能被8除余1，也就是任何一个奇数的平方被8除余1。例如，272=7297298=911（2）偶数平方的性质。任何一个偶数的平方，都是4的倍数。这是因为偶数可以用2k（k为整数）表示，而（2k）24k2显然，4k2是4的倍数，即偶数的平方为4的倍数。例如，2162=46656466564=11664即 4|46656【整数运算奇偶性】整数运算的奇偶性有以下四条：（1）两个偶数的和或差是偶数；两个奇数的和或差也是偶数。（2）一个奇数与一个偶数的和或差是奇数。（3）两个奇数之积为奇数；两个偶数之积为偶数。（4）一个奇数与一个偶数之积为偶数。由第（4）条性质，还可以推广到:若干个整数相乘，只要其中有一个整数是偶数，那么它们的积就是个偶数。【偶数运算性质】偶数运算性质有：（1）若干个偶数的和或者差是偶数。（2）若干个偶数的积是偶数。例如，四个偶数38、126、672和1174的和，是偶数2010；用偶数相减的算式3756-128-294-1350的差，也是偶数1984。【奇数运算性质】奇数运算性质有：（1）奇数个奇数的和（差）是奇数；偶数个奇数的和（差）是偶数。（2）若干个奇数的积是奇数。2整除性质或定理【最大公约数定理】定理一 如果第一个数能被第二个数整除，那么第二个数就是这两个数的最大公约数。证明：由于 b|a，b|b，b是a、b的公约数。又由于比b大的数不可能是b的约数，也不可能是a、b的公约数，所以，（a，b）=b。定理二 如果第一个数除以第二个数，余数不等于零，那么这两个数的最大公约数，就是第二个数与这个余数的最大公约数。即如果 ab=q（余r）（r0），那么（a，b）=（b，r）。证明 设p是a、b两数的一个公约数， ab=q（余r），又 p|a，p|b，p|r（根据“有余除法”的整除性定理-定理五）。因此，a、b两数的公约数，一定是b、r两数的公约数。又因为a、b的公约数与b、r的公约数是完全一致的，所以，它们的最大公约数也完全是一致的。即（a，b）（b，r）。（注：定理二是用“辗转相除法”求最大公约数的理论依据。）【最大公约数的性质】最大公约数具有以下一些性质：（1）两个数分别除以它们的最大公约数，所得的两个商是互质数。例如，（45，27）=9（此式表示“45和27的最大公约数是9”）459=5，279=3，（5，3）=1，所以，所得的两个商5和3是互质数。（2）两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。例如，（48，60）=12，12的约数有 1，2，3，4，6，12。1，2，3，4，6，12也都是48和60的公约数。（3）两个数的公约数，都是这两个数的最大公约数的约数。例如，（32，48）=16；32和48的公约数有1，2，4，8，16；1，2，4，8，16也都是16的约数。（4）两个数都乘以一个自然数m，所得的两个积的最大公约数，等于这两个数的最大公约数乘以m的积。这就是如果（a，b）=c，m0那么（am，bm）=cm。例如，（24，32）=8，则（242，322）=82，即（48，64）=16（5）若两个数都除以它们的一个公约数m，则所得的两个商的最大公约数，等于这两个数的最大公约数除以m的商。这就是如果（a，b）=c，且m|a，m|b（即m能整除a，m能整除b， 也就是m是a和b的公约数）；例如，（24，32）=8，【最小公倍数的性质】最小公倍数的性质如下：（1）两个数的任意一个公倍数，都是它们的最小公倍数的倍数。例如，4，6=12（它表示“4和6的最小公倍数是12），则4与6的其他任何一个公倍数24、36、48，就都是最小公倍数12的的倍数。（2）两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个数的乘积。这就是（a，b）a，b=ab。例如，（24，32）24，32= 896=768而2432=768，（24，32）24，32=2432【和差整除性定理及推论】定理一 如果两个数都能被同一个自然数整除，那么它们的和（或差）也能被这个自然数整除。用字母表达，就是如果ba，ca，且bc，那么，（b+c）a，或者（b-c）a。（符号“”是整除符号，如“ba”读做“b能被a整除”，或“a能整除b”。）它也可以表达为如果a|b，a|c，且bc，那么a|（b+c），或者a|（b-c）。（符号“|”也是整除符号，但写的前后顺序与“”符号恰好相反。“a|b”读做“a能整除b”，或者读作“b能被a整除”。）例如，123，153，则（12+15）3，或者（15-12）3。改用另一种整除符号“|”表达，就是如果3|12，3|15，那么3|（12+15），3|（15-12）。推论一 如果若干个数都能被同一个自然数整除，那么它们的和也能被这个自然数整除。也就是：如果am，bm，cm，dm，那么（a+b+c+d）m。或者是：如果m|a，m|b，m|c，m|d，那么，m|（a+b+c+d）例如，11|22，11|33，11|99，11|121，那么，11|（22+33+99+121）。定理二 如果两个数中的一个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和（或差）能被这个自然数整除的充分必要条件是：另一个数也能被这个自然数整除。也就是：如果am，那么（a+b）m的充分必要条件是bm；如果am，那么（a-b）m的充分必要条件是ba。推论二 如果两个数中，一个数能被某一自然数整除，另一个数不能被这个自然数整除，那么，它们的和（或差）也不能被这个自然数整除。也就是：如果am，b不m，那么（a+b）不m，（a-b）不m。（“不”是不能整除的符号）或者是：如果m|a，mb，那么 m（a+b），m（a-b）（“”也是不能整除的符号）例如，7|35，720，那么，7（35+20），7（35-20）。推论三 如果两个数的和及其中的一个加数能被同一个自然数整除，那么另一个加数也能被这个自然数整除。也就是如果（a+b）m，am，则bm。例如，两数的和408，其中的一个加数248，那么另一个加数168。【整除的传递性】“整除的传递性”见下面的“定理三”。定理三 如果第一个数能被第二个数整除，第二个数能被第三个数整除，那么第一个数也能被第三个数整除。这也就是如果ab，bc，那么ac。例如，4824，246，则486。【积的整除性定理及推论】积的整除性定理见“定理四”。定理四 一个数如果能被某一自然数整除，则这个数的整数倍数，也能被这个自然数整除。这也就是如果ab，m为整数，那么amb。例如，217，则（2111）7，即2317。推论 在若干个数的积中，如果有一个因数能被某一个自然数整除，那么，它们的积也能被这个自然数整除。用字母来表达，可以是在abc中，若am，则abcm。例如，在算式“111921”中，因217，所以（111921）7。【有余除法整除性定理】定理五 在有余数的除法里，如果被除数和除数都能被同一个自然数整除，那么余数也能被这个自然数整除。用字母来表达，就是如果abqr，且am，bm，那么rm。例如，在8449=135中，847，497，则357。定理六 在有余数的除法里，如果除数和余数都能被同一个自然数整除，则被除数也能被这个自然数整除。用字母表达，就是如果ab=qr，且bm，rm，那么am。例如，在302991=3326中，由9113，2613，可知 302913。3比和比例的定理或性质【比的性质】比的前项和后项都乘以（或除以）不等于零的同一个数，比值不变。这叫做“比的性质”（或“比的基本性质”）。用字母表示，就是ab=（am）（bm）（m0，n0）=（an）（bn）例如，10.75=（1100）（0.75100）=10075=（10025）（7525）=43【比例基本性质】在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做“比例的基本性质”。反过来，如果两个数的积等于另外两个数的积，则这四个数成比例。这一性质，又称“比例的性质定理”。用字母表达，就是：比例的基本性质：如果ab=cd，那么ad=bc。比例的性质定理：如果ad=bc，那么ab=cd。例如，若有34=68，则有3846。反之，若有36=29，则有32=96。特殊的，如果比例的两个内项相同，即ab=bc，则有b2=ac。反过来也是成立的。此处的“b”，叫做a和c的“比例中项”。例如，24=48，则42=28。4是2和8的比例中项。反过来，如果62=49，则46=69。这里的6是4和9的比例中项。【反比定理】在一个比例中，两个比的前、后项同时交换位置，比例式仍然成立。用字母表达，就是如果，26=39，则62=93。【更比定理】一个比例的两个内项（或两个外项）交换位置，比例式仍然成立。用字母表达就是例如，若34=68，则36=48（交换内项）；或84=63（交换外项）。【合比定理】比例式中，一个比的前、后项之和与其后项的比，等于另一个比的前、后项之和与其后项的比。用字母表达，就是例如，34=68，则（3+4）4=（6+8）8，即74=148。【分比定理】比例式中，每一个比的前项减后项的差与它的后项的比相等。用字母表达就是例如，86=43，则（8-6）6=（4-3）3，即26=13。【合分比定理】比例式中，每一个比的前、后项之和与它的前项减后项的差的比相等。用字母表达就是例如，52=2510，则（5+2）（5-2）=（25+10）（25-10），即73=3515。【等比定理】如果若干个比相等，那么这些比的前项之和与它们的后项之和的比，仍等于原来的每一个比。用字母表达就是例如，12=36=48，则（1+3+4）（2+6+8）=12=36=18，即816=12=36=48。4几何公理、定理或性质【直线公理】经过两点有一条直线，并且只有一条直线。【直线性质】根据直线的公理，可以推出下面的性质：两条直线相交，只有一个交点。【线段公理】在所有连结两点的线中，线段最短。（或者说：两点之间线段最短。）【垂线性质】（1）经过一点，有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。（也可以简单地说成：垂线段最短。）【平行公理】经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行。【平行公理推论】如果两条直线都和第三条直线平行，那么，这两条直线也相互平行。【有关平行线的定理】（1）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。（2）如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么，这条直线也和另一条垂直。【三角形的特性】三角形有不变形的特性，一般称其为三角形的稳定性。由于三角形有这一特性，所以在实践中它有广泛的应用。【三角形的性质】三角形的性质（或定理及定理的推论），一般有：（1）三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边。（2）三角形三内角之和等于180。由三角形上述第（2）条性质，还可以推出下面的两条性质：三角形的一个外角，等于它不相邻的两个内角之和。如图1.1，4=1+2。三角形的一个外角，大于任何一个同它不相邻的内角。如图1.1，41，42。【勾股定理】在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方。用字母表达就是a2+b2=c2。（a、b表直角边长，c表斜边长。）我国古代把直角三角形叫做“勾股形”，直立的一条直角边叫做“股”，另一条直角边叫做“勾”，斜边叫做“弦”。所以我国将这一定理称为“勾股定理”。勾股定理是我国最先发现的一条数学定理。而古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）较早地证明了这个定理。因此，国外常称它为“毕达哥拉斯定理”。【平行四边形的性质】（1）平行四边形的对边相等。（2）平行四边形的对角相等。（3）平行四边形邻角的和是180。如图1.2，A+B=B+C=C+D=D+A=180。（4）平行四边形的对角线互相平分。如图1.2，AO=CO，BO=DO。平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。【长方形的性质】长方形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质：（1）长方形四个角都是直角。（2）长方形对角线相等。长方形是中心对称图形，也是轴对称图形。它每一组对边中点的连线，都是它的对称轴。【菱形的性质】菱形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质：（1）菱形的四条边都相等。（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。例如图1.3，ACBD，AO=CO，BO=DO，AC平分A和C，BD平分B和D。菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，它每一条对角线都是它的对称轴。【正方形的性质】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。【多边形内角和定理】n边形的内角的和，等于（n-2）180。（又称“求多边形内角和”的公式。）例如三角形（三边形）的内角和是（3-2）180=180；四边形的内角和是（4-2）180=360。【多边形内角和定理的推论】（1）任意多边形的外角和等于360。这是因为多边形每一个内角与它的一个邻补角（多边形外角）的和为180，所以，n边形n个外角的和等于n180-（n-2）180=360。（2）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。例如图1.4，1的两边分别垂直于A的两边，则1+A=180，即1与A互补。又2、3、4的两边也分别垂直于A的两边，则3和A也互补，而2=A，4=A。【圆的一些性质或定理】（1）半径相等的两个圆是等圆；同圆或等圆的半径相等。（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆。（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。（4）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。（5）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。【轴对称图形的性质】轴对称图形具有下面的性质：（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对应点的连结线段被对称轴垂直平分。例如图1.5，图中的AA对称点连结线段，被对称轴L垂直且平分，即LAA，AP=PA。（2）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么，交点在对称轴上。例如图1.5中，BA与BA的延长线相交，交点M在对称轴L上。（3）两个关于某直线对称的图形，一定是全等形。例如，图1.5中ABC与ABC全等。 【中心对称图形的性质】如果把一个图形绕着一个点旋转180后，它和另一个图形重合，那么，这两个图形就是关于这个点的“中心对称图形”。中心对称图形具有以下性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。例如，图1.6中对称点A与A，B与B，C与C，它们的连线都经过O（对称中心），并且OA=OA，OB=OB，OC=OC。（2）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。5其他定理或性质【算术基本定理】任意一个大于1的整数，都能表示成若干个质数的乘积，如果不计质因数的顺序，则这个分解式是唯一的。即任意一个大于1的整数a=p1p2p3pn（p1p2p3pn）其中p1、p2、p3、np都质数；并且若a=q1q2q3qm（q1q2q3qm）其中q1、q2、q3、qm都是质数。那么，m=n，qi=pi（i=1，2，3，n）当这个整数是质数时是符合定理的特例。上述定理，叫做“算术基本定理”。【方程同解变形定理】方程的同解变形，有下列两个基本定理：定理一 方程两边同时加上（或同时减去）同一个数或整式，所得的方程与原方程同解。根据这一同解定理，可把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边。这种变形叫做移项。例如，解方程3x=2x+5。解 移项，得3x-2x=5合并同类项，得x=5。定理二 方程两边同时乘以（或除以）同一个不是零的数，所得的方程与原方程同解。是同解的。【一笔画的性质】为掌握“一笔画”的性质，先介绍“一笔画”的有关概念。图用若干条线（不一定是直线段）把一些点连接起来的图形，如图1.7。这些点叫图的顶点，如A、B、C、D；这些线叫图的边，如AB、AC、AD等。点的次-每个点上所连接的线的条数，叫做这个点的“次”。如图1.7中，A点有五条线与它相连，B点有三条线与它相连，则A点的次为5；B点有三条线与它相连，则B点的次为3。奇点-点的次数为奇数，则这个点为“奇点”。如图1.7中的A、B、C、D点，全部都是奇点。偶点-点的次数为偶数，则这个点叫做“偶点”。如图1.8中的B点（4次）、D点（2次），都是偶点。一笔画问题-在图1.8中，能否从A点（或其他点）出发，不重复任一边（点可随便经过若干次）而一笔画出全图的问题，叫做“一笔画问题”（也称“七桥问题”，见本书第九部分“七桥问题”词条）。能一笔画的图形，具有下面两条性质：（1）若一个图形中，奇点的个数不大于2，则这个图形必能一笔画成，否则就不能画成。例如图1.7中，奇点有A、B、C、D四个，它无论从哪一点出发，都是不可能一笔画成的。而图1.8中，奇点只有A、C两个，它是可以一笔画成的。其画法可如图1.9所示：从A点出发，经1到C，经2到D，经3到B，经4到A，又经5到B，再经6到A，然后经7到C，完成全图。显然，此图的画法并不止于这一种，这只是多种画法中的一种画法。（2）若一个图中没有奇点，那么始点和终点必须重合；若一个图中有两个奇点，则这两个奇点必是起点和终点。例如图1.10中，点A、B、C均为偶点，没有奇点。若从A点出发，按图外箭头所指的方向，经、，便又回到了A点。这样，A点便既是始点又是终点。而图1.8中有A、C两个奇点，按性质（1）中的画法，可从A点出发，到C点结束，A是始点，C是终点。图1.9（也可以从C点出发，到A点结束，C为始点，A为终点。）（三）数学原理（三）数学原理【差不变原理】差不变原理是：两人年龄之差是不变的，甲增长几岁，乙也增长同样多的岁数，若干年后，甲、乙两人年龄之差与现在他俩的差是相同的。这是年龄问题的特点。例如，今年父亲43岁，儿子11岁。问几年后父亲年龄是儿子年龄的3倍？解 今年父子年龄的差是43-11=32（岁）根据差不变原理，几年之后，父子年龄仍然相差32岁。另一方面，几年后父亲年龄比儿子年龄大3-1=2（倍）那时，儿子年龄是322=16（岁）现在儿子11岁，到他16岁时，还差16-11=5（年）这就是说，5年后，父亲年龄为儿子年龄的3倍。【加法原理】做一件事，完成它有几类办法