排列组合中的分组分配问题

济宁育才中学123abc 1 掌握平均分组问题解决方法 理解其实际应用 2 理解非平均分组问题 解决方法及简单应用 学习目标 一 平均分组问题1 平均分成的组 不管它们的顺序如何 都是一种情况 所以分组后要除以Amm 即m 其中m表示组数 2 有分配对象和无分配对象 二 非均分组问题1 有分配对象和无分配对象 2 分配对象确定和不确定 排列组合中的分组分配问题 ab cd ac bd ad bc cd bd bc ad ac ab 1把abcd分成平均两组共 ab cd ac bd ad bc 有 多少种分法 cd bd bc ad ac ab 这两个在分组时只能算一个 2平均分成的组 不管它们的顺序如何 都是一种情况 所以分组后要除以A m m 即m 其中m表示组数 引旧育新 3 1 6本不同书分给甲2本 乙2本 丙2本 有多少种分法 2 6本不同书分成三组 有多少种分法 你发现了什么 一 均分无分配对象的问题 例1 12本不同的书 1 按4 4 4平均分成三堆有多少种不同的分法 2 按2 2 2 6分成四堆有多少种不同的分法 基础探究 二 均分有分配对象的问题 例2 6本不同的书按2 2 2平均分给甲 乙 丙三个人 有多少种不同的分法 方法 先分再排法 分成的组数看成元素的个数 把均分的三组看成是三个元素在三个位置上作排列 答 三 部分均分有分配对象的问题 例3 12支不同的笔按3 3 2 2 2的比例分开 再分给A B C D E五个人有多少种不同的分法 方法 先分再排法 分成的组数看成元素的个数 把均分的五组看成是五个元素在五个位置上作排列 三 部分均分无分配对象的问题 例4 六本不同的书分成3组 一组4本其余各1本有多少种分法 四 非均分组无分配对象问题 例5 6本不同的书按1 2 3分成三堆有多少种不同的分法 答 C61C52C33 注 非均分问题无分配对象只要按比例分完再用乘法原理作积 例6六本不同的书按1 2 3分给甲 乙 丙三个人有多少种不同的分法 五 非均分组分配对象确定问题 注 非均分组有分配对象要把组数当作元素个数 此与非均分配结果一样 答 C61C52C33 五 非均分组分配对象不固定问题 例7 六本不同的书分给三人 1人1本 1人2本 1人3本有多少种分法 思考 有6本不同的书 按下条件 各有多少种不同的分法 1 分给甲乙丙三人甲2本 乙2本 丙2本 2 甲得1本 乙得2本 丙得3本 3 分成三组 每组各2本 4 分成三组 一组1本 一组2本 一组3本 5 分成三组 两组各1本 另组4本 6 分给甲乙丙三人 一人1本 一人2本 一人3本 7 两人各1本 另人4本 8 每人各得两本 9 每人至少1本 练习 12本不同的书分给甲 乙 丙三人按下列条件 各有多少种不同的分法 1 一人3本 一人4本 一人5本 2 甲3本 乙4本 丙5本 3 甲2本 乙 丙各5本 4 一人2本 另两人各5本 口答 10本不同的书 1 按2 2 2 4分成四堆有多少种不同的分法 2 按2 2 2 4分给甲 乙 丙 丁四个人有多少种不同的分法 练习 1 今有10件不同奖品 从中选6件分成三份 二份各1件 另一份4件 有多少种分法 2 今有10件不同奖品 从中选6件分给甲乙丙三人 每人二件有多少种分法 元素相同问题隔板策略 无区别对象分组问题 例4 有10个运动员名额 再分给7个班 每班至少一个 有多少种分配方案 解 因为10个名额没有差别 把它们排成一排 相邻名额之间形成 个空隙 在 个空档中选 个位置插个隔板 可把名额分成 份 对应地分给 个班级 每一种插板方法对应一种分法共有 种分法 将n个相同的元素分成m份 n m为正整数 每份至少一个元素 可以用m 1块隔板 插入n个元素排成一排的n 1个空隙中 所有分法数为 练习 1 10个优秀指标分配给6个班级 每个班级至少一个 共有多少种不同的分配方法 2 10个优秀指标分配到1 2 3三个班 若名额数不少于班级序号数 共有多少种不同的分配方法 分析 1 这是同种元素的 不平均分组 问题 本小题可构造数学模型 用5个隔板插入10个指标中的9个空隙 即有种方法 按照第一个隔板前的指标数为1班的指标 第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指标 以此类推 因此共有种分法 2 先拿3个指标分给二班1个 三班2个 然后 问题转化为7个优秀指标分给三个班 每班至少一个 由 1 可知共有种分法 注 第一小题也可以先给每个班一个指标 然后 将剩余的4个指标按分给一个班 两个班 三个班 四个班进行分类 共有种分法 讨论 讨论 课堂小结 小结 一 平均分组问题1 平均分成的组 不管它们的顺序如何 都是一种情况 所以分组后要除以Amm 即m 其中m表示组数 2 有分配对象和无分配对象 课下 P28B组 三维 1 某车间有11名工人 期中有5名钳工 4名车工 另外2名既能当钳工又能当车工 现要在这11名工人中选派4名钳工 4名车工修理一台机床 有多少种选派方法 题型 注 分类标准不同的形式 2 在如图7 4的方格纸上 每小方格均为正方形 1 其中有多少个矩形 正方形呢 2 一只小蚂蚁从A点出发到B点有多少种最短走法 89 用斐波那契数列 每步可以迈一级台阶或两级台阶登上1个台阶1种方法 登上2个台阶2种方法 登上3个台阶3种方法 台阶数量多时 这样思考 登上4个台阶 如果先跨1个台阶还剩3个台阶3种方法再上去 如果先跨2个台阶还剩2个台阶2种方法再上去 3 2 5种 登上5个台阶 如果先跨1个台阶还剩4个台阶5种方法再上去 如果先跨2个台阶还剩3个台阶3种方法再上去 5 3 8种 登上6个台阶 8 5 13种 登上7个台阶 13 8 21种 21 13 34种 34 21 55种 登上10个台阶 55 34 89种 另解 最后走到第十阶 可能是从第八阶直接上去 也可以从第九阶上去 设上n级楼梯的走法是a n 则a n 的值与等于a n 1 与a n 2 的值的和 a n a n 1 a n 2 一阶为1种走法 a 1 1二阶为2种走法 a 2 2 a 3 1 2 3a 4 2 3 5a 5 3 5 8a 6 5 8 13a 7 8 13 21a 8 13 21 34a 9 21 34 55a 10 34 55 89故答案为 89 3 4 某人有4种颜色的灯泡 每种颜色的灯泡足够多 要在如题 16 图所示的6个点A B C A1 B1 C1上各装一个灯泡 要求同一条线段两端的灯泡不同色 则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种 用数字作答 216 先确定下面的三个点的颜色 从四种颜色里面选出三种来C 4 3 再排列 A 3 3 然后由于要有四种颜色 则剩下的一种颜色肯定在上面的其中一个位置 且只能占据一个位置 则有C 3 1 在讨论其他两个位置 假设选中的是A点 那我们先来讨论B点颜色 当B点颜色与C1点颜色相同时 C点有两种情况 分别与A1和B1颜色相同当B点颜色与A1点颜色相同时 C点有一种情况 即与B1颜色相同综上根据乘法定理得C 4 3 A 3 3 C 3 1 1 2 216种 1 平面上有10个点 其中有且只有4点共线 现从中任取2点 共可以组成多少条直线 5 分析2 10个点中取4个点的取法为C 10 4 210种只要求出共面的就可以了共面的分三种情况 1 四个点都在四面体的某一个面上 每个面6个点 有C 6 4 15种 四个面共有4 15 60种情况 2 其中三点共线 另一个点与此三点不在四面体的