三角函数性质——定义域、值域讲解

三角函数定义域和值域一、求定义域例1.求下列函数的定义域：（1） (2)（3） （4） （5） (6) 解：（1） (2) （3）（4） 即，故函数的定义域为且（5） 即故函数的定义域为(6) 函数的定义域为 (*) 的解集，由于y=tanx的最小正周期为，y=sinx的最小正周期为2，所以原函数的周期为2，应结合三角函数y=tanx和y=sinx的图象先求出(， )上满足（*）的x的范围，再据周期性易得所求定义域为x2kx2k+ ，或2k+ x2k+ ，kZ 总结：在确定三角函数的定义域时，应注意以下几点：1、 正、余弦函数的定义域是R，正切函数的定义域是;2、 若函数是分式函数，则分母不能为零；3、 若函数是偶次根式函数，则被被开方式非负；4、 若函数是形如的函数，则定义域由确定；5、 若函数是有多个函数通过四则运算而构成，则函数定义域应是各部分定义域的交集。二、求值域、最值1、 型：当时， ； 当时 例1、若函数的最大值是1，最小值是，求a,b2、型： 利用公式，可以转化为一个三角函数的情形。3、型：这是关于的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，可转化为的形式。例1、求函数的最大值和最小值。答案：例2、求函数的最大值和最小值。答案：4、型：此类型可化为在区间上的最值问题。例1、求函数（）的最值解：函数的最大值为，最小值为。例2、求函数的最小值。解： ，若，则当时，若，则当时，若，则当时，。练习：函数在区间上的最大值为，则的值是 （ D ）A0B C D 5、型：利用换元法，设, ，则,转化为关于的二次函数.例1、 求函数的最大值分析 若有 可以令： 解：设，则，则，当时，有最大值为（换元法）求函数的最大值和最小值，并指出当x分别为何值时取到最大值和最小值。解：定义域为0x1，可设且，即当或，即 =0或（此时x=1或x=0），y=1；当，即时，（此时），当x=0或x=1时，y有最小值1；当时，y有最大值。评析：利用三角换元法求解此类问题时，要注意所设角的取值范围，要同原函数定义域相一致，尽量恰到好处。6、型： 可以分离常数，利用正弦函数的有界性。例1 求函数的值域。解法一：由变形为，知，则有，则此函数的值域是。解法二：，利用来解。练习：1、求函数的值域 2、函数的定义域为a，b，值域为，则b-a的最大值和最小值之和为 bA B C D7、型：此类型最值问题可考虑如下几种解法： 转化为再利用辅助角公式求其最值； 采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值； 也可利用导数。例1、求函数的值域。解法1：将函数变形为，由，解得：， 故值域是解法2：数形结合法求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx, sinx)与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数得最值，由几何知识，易求得过Q的两切线得斜率分别为、。结合图形可知，此函数的值域是。练习：求函数的最值。解：由于 y/2即为单位圆上的点(cos，sin)与定点(3，1)连线