函数概念及性质 奇偶性 单调性 周期性 教师版

1 函数的概念与表示法知识网络1函数的概念；2函数的表示法：解析法、列表法、图象法；3分段函数；4函数值.基础训练1.下列函数中哪个与函数是同一个函数的序号 y=()y=y=y=提示：当两个函数的解析式和定义域完全相同时，这两个函数为同一函数同时满足这两个条件的只有中的函数2.函数的图象是（ C ）提示：所给函数可化为：，故答案为C也可以根据函数的的定义域为而作出判断3.已知的图象恒过（1，1）点，则的图象恒过 提示：法一：由的图象恒过（1，1）知，即，故函数的图像过点（5，1）法二：的图象可由的图象向右平移4个单位而得到，（1，1）向右平移4个单位后变为（5，1）,答案为（5，1）4.已知，则_提示：，5.函数-2的图象可由函数的图象经过先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到.提示：由“左加右减”，“上加下减”的方法可得先向左平移1个单位，再向下平移2个单位；典例精析例1（1）已知，求及；（2）已知，求.解：（1）令，则，且， ，（2）把中的换成得：由解得：例2画出下列函数的图象（1）yx2，xZ且；（2）y23，（0，2；（3）yx2x；（4）解：四个函数的图象如下例3如图，动点P从单位正方形ABCD顶点A开始，顺次经C、D绕边界一周，当x表示点P的行程，y表示PA之长时，求y关于x的解析式，并求f()的值解：当P在AB上运动时， ；当P在BC上运动时，y=当P在CD上运动时，y=当P在DA上运动时，y=4y=()=随堂巩固1与曲线关于原点对称的曲线方程为 提示：用代替方程中的得：,即2已知函数,那么集合中所含元素的个数是 个提示：垂直于轴的直线与函数的图象最多只有一个交点答案为0或1个3下列说法中，正确的序号 函数与函数的图象关于直线=0对称；函数与函数的图象关于直线y=0对称；函数与函数的图象关于坐标原点对；如果函数对于一切都有，那么的图象关于直线对称提示：把函数中的换成，保持不变，得到的函数的图象与原函数的图象关于轴对称；把函数中的换成，保持不变，得到的函数的图象与原函数的图象关于轴对称；把函数中的换成，换成，得到的函数的图象与原函数的图象关于原点轴对称；若对于一切都有，则的图象关于直线对称4设函数，则的取值范围是 （，1）（1，+）5已知，则的值为3解析：6已知f（x）x5ax3bx8，f（2）10，则f（2）26_提示：f（2）（2）5a（2）32b810， 8a2b50，f（2）2523a2b8248267已知函数，那么提示：，1 1118作出下列函数的图象： (1) ； (2) ；解：（1）函数图象如下：第（1）题 第（2）题 第（3）题（2）函数的图象如右上（3），图象如右上9设二次函数满足(+2)=(2-)，且方程的两实根的平方和为10，的图象过点(0,3)，求()的解析式.解：设 (+2)=(2-)，的图像有对称轴， , 的图象过点(0,3)， ， 设方程的两根为，则：，由，得：， ，解得： 10设，若，求证：（1）且；（2）方程在（0，1）内有两个实根。证明：（1）因为，所以.由条件，消去，得；由条件，消去，得，.故（2）抛物线的顶点坐标为，在的两边乘以，得又因为而所以方程在区间与内分别有一实根故方程在内有两个实根课后巩固A组1若，则方程的根是 提示：即：，.2如果函数的图象与函数的图象关于坐标原点对称，则的表达式为 提示：把中的换成，换成，得：，得3设函数对任意x、y满足，且，则 提示：由得：由得：由，得：.4设(x1)=3x1,则(x)= 3x+2提示：令，则， ，则5在克%的盐水中，加入克%的盐水，浓度变成%，则与的函数关系式是6设函数，求f（4）；若，求解： ，；当时，；当时，2，综上所述：或7（1）已知()是一次函数，且满足，求；（2）已知 (0)， 求解：（1）设，由得：， ，解得：， （2）令，得 8已知定义域为的函数满足,若，求；又若，求解：在中令，得：， ，即由得：，即B组1函数的图象与函数的图象关于 对称提示：可以化为：,它可以看成是将中的换成，换成而得到，故两个函数的图象关于原点对称2设函数与函数的图象关于对称，则的表达式为 提示：设P为图象上任意一点，则点在函数的图象上，故为所求3某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（ ）提示：时，学生离学校的距离最大，故排除A、C，又用了一半时间时，离学校的距离小于总路程的一半，故答案为D4若函数，则5设，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得的值为提示：设则 6如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为，求此框架围成的面积与的函数式，并写出它的定义域解：, =,于是AD=，因此，即 由，得， 函数的定义域为（0，）7函数对于任意实数满足条件，若，求解：由得，所以，则 8设是定义在区间上的函数，且满足条件：（1）；（2）对任意的（）证明：对任意的；（）证明：对任意的证明：（）由题设条件可知：当时，有即（）证明：对任意的时，有当不妨设则，所以，综上可知，对任意的都有2 函数的定义域与值域知识网络1函数的定义域；2函数的值域基础训练1.函数的定义域是 提示：由解得2.已知=，则函数的定义域是 提示：， ，解得，3.函数的定义域为R，则的取值范围是 提示：恒成立，显然不符， ， 解得：4.下列函数中,最小值是2的是_(正确的序号都填上).；5.若_5_提示：设，则，其最大值为5典例精析例1（1）求下列函数的定义域：的定义域（2）已知函数的定义域是，求函数的定义域 解：由函数解析式有意义，得故函数的定义域是 (2）由 函数的定义域不可能为空集， 必有，即此时，函数的定义域为（）； 例2求下列函数的值域： （1）； （2）；（3）； （4）；解：（1）， ， 所给函数的值域为2，4（2）令()，则x= ，当时，所给函数的值域为(,1.（3）由已知得：（*）当时，代入（*）式，不成立，当时，则： 所给函数的值域为（4）函数定义域为3,5当时，当时， 所给例3已知函数在区间1，1上的最小值为3，求实数的值解：（1），解得：（2）当，即时，解得（舍去）（3）当，即时，解得：综合（1）（2）（3）可得：a=7随堂巩固1函数的定义域为 提示：由得：2函数的值域为 提示：y, 0, y3若函数的定义域为，且，则函数的定义域是 提示：由得：即4函数的值域为 提示：由得：，解得：5函数 的值域是提示：作出函数的图象，得值域为6函数 ()的值域是提示：，当且仅当即时取等号又函数无最大值，故函数值域为7若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为、值域为1,4的“同族函数”共有 9 个.提示：设函数的定义域为D，其值域为1,4，D的所有情形的个数，即是同族函数的个数，D的所有情形为：，共9个，答案为98求下列函数的定义域：（1）； （2） 解：（1）由 , 得, 即： 函数的定义域是(0, 2)(2, 3 （2）由，得： ，即：， 函数的定义域为9求下列函数的值域： （1）；（2）；（3）解：（1） ， 当时，当时， 所给函数的值域为（2）由解得：，由得两边平方后整理，得：，解得：，故所给函数的值域为（3）由已知得 (*) 若，代入（*）式，此时原函数分母的值为0，y1； 若y1，则但当时，代入(*)得：，函数的值域为：评注：本题中需要检验的原因是：函数可化简为10已知函数在区间上的最大值为4，求的值解：（1）当，即时，在时函数有最大值，解得，适合；（2）当，即时，在时函数有最大值， ，解得，适合综上所述：或课后巩固A组1设IR，已知的定义域为F，函数的定义域为G，那么GU= 提示：由得：，(，1)(2，)，1，2，又由得， G(2，) GU(1， )2已知函数的定义域为0，4，求函数的定义域为 提示：由题意有 解得 ，故此函数的定义域为2，13若1, 则 的最小值是 提示：当且仅当，即时取等号， 时，的最小值是为34函数的值域为提示：, 5函数的值域为提示：作出函数的图象，可以看出函数值域为6求函数的值域解：, 得 (y2)x(y2)xy30 当y2时, (y2)4(y2)(y3)0, 解得2y； 当y2时, （*）不成立综上所述：2y . 函数的值域为7求函数的定义域解：由得：函数的定义域为8已知函数在上的最大值为3，最小值为2，求实数的取值范围解：，（1）当，即时，解得：；（2）当，即时，适合题意；（3）当时，解得：（舍）综上所述：B组1若函数的定义域为2，2，则函数的定义域是 提示：中的相当于中的，则， ，答案为0，42已知函数的定义域为A，函数的定义域为B，则A、B的关系是 提示：由得：， ，由得：，, 3下列结论中正确的序号是（ ）当时，的最小值为2时，无最大值当时，当时，提示：，但无解；为增函数，时可取得最大值；时不成立4函数的值域是 提示：，当且仅当，即时取等号又，故函数的值域为 (0,35已知函数的定义域是, 则实数的范围是提示：对，恒成立，时，显然不符合题意； ，解得：6已知函数若的值域为，求实数的取值范围。解：设, , 即只要能取到上的任何实数即满足要求。由右图若，则；若，则，当满足要求当（不合，舍去）综上所述：7已知的值域是，试求函数的值域解： 令，则8已知二次函数若的定义域为时，值域也是，符合上述条件的函数是否存在？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由解：假设符合条件的存在函数图像的对称轴是，又，（1）当时，即，函数当时，有最小值，则（2）当时，即时，则（3）当，即时，函数在上单调递增，则综上所述，符合条件的函数有2个：3函数单调性知识网络1函数单调性的定义，2证明函数单调性；3求函数的单调区间4利用函数单调性解决一些问题；5抽象函数与函数单调性结合运用基础训练1.则a的范围为 提示：211求的范围。解：(1)取m=0，n= 则，因为 所以 (2)设则 由条件可知又因为，所以时，恒有（3）设则 = = 因为所以所以即 又因为，所以 所以，即该函数在R上是减函数.(4) 因为f(x)f(x-x)1，所以所以，所以随堂练习1下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是 提示：根据函数的图象.2.函数 的增区间是 3,1提示：注意函数的定义域.3. 在 上是减函数，则的取值范围是 提示:考查二次函数图象的对称轴和区间端点.4若函数在区间,b上具有单调性，且f(a)f(b)0，在其定义域内下列函数为单调增函数的为 （为常数）；（为常数）； ； 提示：借助复合函数的单调性.8函数上的最大和最小值的和为，则= 提示：是0,1上的增函数或减函数,故，可求得= 9设是定义在上的单调增函数，满足 求：（1）f（1）；（2）当时x的取值范围.解:(1) 令可得 (2)又2=1+1= 由,可得因为是定义在上的增函数,所以有且且，解得：10求证:函数在上是增函数.证明:设则当时 , ，所以所以函数在上是增函数.课后巩固A组1.下列四个函数： ; ； ; ，其中在 上为减函数的是的序号是 2.函数在和都是增函数，若，且那么关于f(x)和f(x)的大小关系下列表述正确的序号是 无法确定3. 已知函数是定义在上的减函数，若，实数的取值范围为 4.已知，函数的单调递减区间为 5.函数在上的值域为 6.判断函数 (0)在区间(1，1)上的单调性。 解：设, 则, , , , 0, 当时, , 函数在(1, 1)上为减函数， 当时, , 函数在(1, 1)上为增函数.7.作出函数的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间.解:当时, 当时, 由函数图象可以知道函数增区间为 函数减区间为8.设是定义在上的增函数， ，且 ，求满足不等式 的的取值范围.解:由题意可知: 又 ，于是不等式 可化为 因为函数在上为增函数,所以不等式可转化为： ,解得：所以的取值范围是 .B组1.函数的单调递减区间为 2.单调增函数对任意，满足 恒成立，则k的取值范围是 3.函数y的单调递增区间为 4.函数y的递减区间是(, 1)、(1, )；函数y的递减区间是 (1, 15.已知函数在0, )上是递减函数，且周期是3，那么下列三个数, (), ()，从大到小的顺序是()()6.(1) 证明：函数 在 上是增函数，(2)并判断函数 在 上的单调性(3)求函数在区间1，4上的值域.证明：(1)设 ，则由已知 ，有 因为 ，所以 ，即 .所以函数 在 上是增函数. (2)在 上都是增函数，所以 ，即 在 上是增函数.(3)由(2)可以知道该函数在区间1,4上为增函数 则由函数单调性可以知道,该函数的值域为1,37.如果二次函数在区间上是增函数，求（2）的范围。解：二次函数（x）在区间上是增函数 因为图象开口向上，故其对称轴与重合或者位于的左侧 所以有，所以 所以,即8.若是定义在上的增函数，且对于满足。（1）求的值；（2）若，试求解不等式。解：（1）令，则。（2）因为，所以由于是定义在上的增函数，且，所以，解得：。4 函数的奇偶性知识网络1奇函数、偶函数的定义及其判断方法；2奇函数、偶函数的图象3应用奇函数、偶函数解决问题基础训练1.下面四个结论中，正确命题的序号是 偶函数的图象一定与y轴相交；函数为奇函数的充要条件是；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（xR）提示：不对，如函数是偶函数，但其图象与轴没有交点；不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；正确；不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0x（，）。2.已知函数是偶函数，且其定义域为，则a= b= 提示：由为偶函数，得b0又定义域为， ，3.已知是定义在R上的奇函数，当时，则）在R上的表达式是 提示：由时，是定义在R上的奇函数得：当x0时，即4.已知，且，那么f（2）=提示：为奇函数，5.已知是偶函数，是奇函数，若，则的解析式为提示：由是偶函数，是奇函数，可得，联立，得：， 典例精析例1判断下列函数的奇偶性：（1）；(2)；（3）；（4）解：（1）由，得定义域为，关于原点不对称，为非奇非偶函数(2) ， 既是奇函数又是偶函数（3）由得定义域为， 为偶函数（4）当时，则，当时，则，综上所述，对任意的，都有，为奇函数例2若奇函数是定义在（，1）上的增函数，试解关于的不等式：解：由已知得因f(x)是奇函数，故 ，于是又是定义在（1，1）上的增函数，从而即不等式的解集是例3已知定义在R上的函数对任意实数、，恒有，且当时，又（1）求证：为奇函数；（2）求证：在R上是减函数；（3）求在，6上的最大值与最小值（1）证明：令，可得 ，从而，f(0) = 0令，可得 ，即，故为奇函数（2）证明：设R，且，则，于是从而所以，为减函数（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为，最小值为于是，在-3，6上的最大值为2，最小值为 -4随堂巩固1下列命题中，真命题是 函数是奇函数，且在定义域内为减函数函数是奇函数，且在定义域内为增函数函数是偶函数，且在（3，0）上为减函数函数是偶函数，且在（0，2）上为增函数提示：A中，在更定多义精域品内资不料具请有联单系调k