(2017) 力学习题课

P3 50 质点动力学质点动力学 例 例 两个质量分别为两个质量分别为m1和和m2的小钢球 固定在一个长 为 的小钢球 固定在一个长 为l 的轻质硬杆的两端 杆的中点有一轴使杆可在水平 面内自由转动 杆原来静止 另一泥球质量为 的轻质硬杆的两端 杆的中点有一轴使杆可在水平 面内自由转动 杆原来静止 另一泥球质量为m3 以 水平速度 以 水平速度v0垂直于杆的方向与垂直于杆的方向与m2发生碰撞 碰后二者 粘在一起 发生碰撞 碰后二者 粘在一起 求 求 碰撞后杆转动的角速度 在碰撞过程由于受到转轴的冲量 系统总 碰撞后杆转动的角速度 在碰撞过程由于受到转轴的冲量 系统总动量不守恒动量不守恒 相对于转轴 系统在碰撞过程中合外力矩为零 因此对此轴的 相对于转轴 系统在碰撞过程中合外力矩为零 因此对此轴的角动量守恒角动量守恒 o v1 v2 v0 m3 m2m1 l P4 50 质点动力学质点动力学 碰撞后三质点的碰撞后三质点的速率速率均为均为 解 解 碰撞前系统角动量 碰撞前系统角动量 3 0123 22 ll mvmmm v 3 0 123 mv v mmm 2 l v 3 0 2 l m v o v1 v2 v0 m3 m2m1 l 碰撞前后系统角动量守恒碰撞前后系统角动量守恒 3 0 123 2 mv mmm l 3 01 1232 mvmvmm v 系统动量不守恒 角动量 系统动量不守恒 角动量 2 l mv 2 123 4 l mmm P5 50 质点动力学质点动力学 例例例例 在光滑水平桌面上一质量为 在光滑水平桌面上一质量为M的木块与劲度系数为 的木块与劲度系数为 k的轻质弹簧相连的轻质弹簧相连 弹簧另一端固定在弹簧另一端固定在O点点 一质量为一质量为m的 子弹以速度 的 子弹以速度v0 v0 l0 射向木块并嵌在其中射向木块并嵌在其中 当木块由点 当木块由点 a 运动到点运动到点 b 时时 弹簧的长度由原长弹簧的长度由原长 l0 变为变为l 解 木块连同子弹由 解 木块连同子弹由 a点运动到点运动到b点点 系统机械能守恒 求 木块在点求 木块在点b时的速度的大小和方向时的速度的大小和方向 子弹射入木块前后子弹射入木块前后 且对且对O点的点的角动量守恒 动量守恒 0 v O l0 l a b 1 v 2 v 还有守恒量吗 P6 50 质点动力学质点动力学 01 mm M vv 012 sinMm lMm l vv 2 10 sin v v l l 2 0 2 0 2 2 1 llkmMm mM vv 设设 子弹与木块共同速度为子弹与木块共同速度为v1 解得解得 222 120 111 222 MmMmk l l vv 0 v O l0 l a b 1 v 2 v P7 50 质点动力学质点动力学 例 质量为例 质量为m的粒子的粒子A受到另一粒子受到另一粒子B的引力作用 的引力作用 B 保 持在原点不动 开始时 保 持在原点不动 开始时A离离B很远很远 r 且具有沿水平 方向的速度 且具有沿水平 方向的速度v0 此速度方向与粒子 此速度方向与粒子B的垂直距离为的垂直距离为D 粒 子 粒 子A由于由于B 的引力作用偏离原来的运动方向 沿如图所 示的轨道运动 已知轨道与粒子 的引力作用偏离原来的运动方向 沿如图所 示的轨道运动 已知轨道与粒子B 之间的最短距离为之间的最短距离为d 试求粒子 试求粒子B 的质量的质量M v0A D v d B M m 2 0 2 1 vm r Mm G r dmDmvv 0 2 0 22 2 v Gd dD M 解解 2 2 1 vm d Mm G P8 50 质点动力学质点动力学 8 例 质量例 质量m 0 2kg的小球的小球A 用弹性绳在光滑水平面上 与固定点 用弹性绳在光滑水平面上 与固定点O相连 弹性绳的劲度系数为相连 弹性绳的劲度系数为k 8N m 其自 由伸展长度为 其自 由伸展长度为l0 0 6m 最初小球的位置及速度 最初小球的位置及速度v0 如图 所示 当小球的速率变为 如图 所示 当小球的速率变为v时 它与时 它与O点的距离最大且 等于 点的距离最大且 等于0 8m 求此时小球的速率 求此时小球的速率v及初速率及初速率v0 0 4m A O v0 30 v 解 解 2 max0 2 max k llm l v P9 50 质点动力学质点动力学 9 解 以小球与绳为系统 只有保守力做功 解 以小球与绳为系统 只有保守力做功 222 00 111 222 mmk ll vv 00 sin30mrml vv 30sin 022 0 2 00 rlm k lll v m s 327 0 30sin 00 l r v v m s 31 1 0 4m A O v0 30 机械能守恒机械能守恒 且对 且对O点点角动量守恒角动量守恒 P10 50 质点动力学质点动力学 例 例 一长为一长为l 的轻质杆端部固结一小球的轻质杆端部固结一小球m1 碰撞时重力和轴力都通过 碰撞时重力和轴力都通过O 222 2102 l m l llmm l v lmm m 0 21 2 4 2v 解 解 选选m1 含杆 含杆 m2 为系统 另一小球 为系统 另一小球m2 以水平速度以水平速度v0 碰杆中部并与杆粘合 碰杆中部并与杆粘合 求 求 碰撞后杆的角速度碰撞后杆的角速度 对对O 力矩为零 故力矩为零 故角动量守恒角动量守恒 l m1 O v0 m2 解得 思考 解得 思考 m1 m2 的水平动量是否守恒 的水平动量是否守恒 有有 P11 50 质点动力学质点动力学 例 例 光滑水平面上轻弹簧两端各系一小球 开始弹簧 处于自然长度 两小球静止 今同时打击两个小球 让它们沿垂直于弹簧轴线方向获得等值反向的初速度 光滑水平面上轻弹簧两端各系一小球 开始弹簧 处于自然长度 两小球静止 今同时打击两个小球 让它们沿垂直于弹簧轴线方向获得等值反向的初速度v0 如果在以后的运动过程中弹簧的最大长度为 如果在以后的运动过程中弹簧的最大长度为2l0 求初 速度 求初 速度v0 k 解 解 质心质心C点固定不动 相对 点固定不动 相对 C点系统的点系统的角动量守恒角动量守恒 系统 系统 弹簧和小球弹簧和小球 初始时刻角动量 初始时刻角动量 000 0 0 0 0 22 mvlmv l mv l L P12 50 质点动力学质点动力学 弹簧达到最大长度时 小球只能沿垂直于弹簧轴线 方向运动 则系统的角动量 弹簧达到最大长度时 小球只能沿垂直于弹簧轴线 方向运动 则系统的角动量 mvlmv l mv l L 0 00 2 2 2 2 2 LL 0 2 0 v v 机械能守恒 机械能守恒 2 00 222 0 2 0 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 llkmvmvmvmv 00 3 2 l m k v k P13 50 质点动力学质点动力学 将一个质点沿半径为将一个质点沿半径为将一个质点沿半径为将一个质点沿半径为r r 的光滑半球形碗的内表面的光滑半球形碗的内表面的光滑半球形碗的内表面 的光滑半球形碗的内表面 水平地投射 碗保持静止 设水平地投射 碗保持静止 设水平地投射 碗保持静止 设水平地投射 碗保持静止 设v v 0 0 是质点恰好能达是质点恰好能达是质点恰好能达 是质点恰好能达 到碗口所需要的初速率 试求初速率到碗口所需要的初速率 试求初速率到碗口所需要的初速率 试求初速率到碗口所需要的初速率 试求初速率v v 0 0 与与与与 0 0 的函的函的函 的函 数关系 数关系 数关系 数关系 0 0 是用角度表示的质点的初位置 如图是用角度表示的质点的初位置 如图是用角度表示的质点的初位置 如图 是用角度表示的质点的初位置 如图 所示 所示 所示 例 解 所示 例 解 0 解 分析 当 解 分析 当 Ncos mg 时 质点将向上加速 向碗口运动 但 时 质点将向上加速 向碗口运动 但 Mz 0 则 则 Lz为常量 为常量 0M 质点的角动量不守恒 质点的角动量不守恒 00 sin mv rmvr 22 00 11 cos 22 mvmgrmv 0 0 2 cos gr v z N mg 0 v 且系统的且系统的机械能守恒机械能守恒 P16 50 质点动力学质点动力学 例 一质量例 一质量M1木块与质量木块与质量M2的小车连接 绳长的小车连接 绳长L 小车可在光滑 水平导轨上自由移动 一子弹质量 小车可在光滑 水平导轨上自由移动 一子弹质量m 射入木块中 木块上摆 的最大角度为 射入木块中 木块上摆 的最大角度为 如图 求子弹的初速度 如图 求子弹的初速度v P17 50 质点动力学质点动力学 过程过程1 系统系统 m 和和 M1 碰撞前后 碰撞前后动量守恒动量守恒 11 mvMm v M1 v M1 M2M2 L 解 解 解 过程 解 过程2 系统系统 M1 m 和和 M2 上 摆到最大高度 具有共同速度 上 摆到最大高度 具有共同速度v2 机械能守恒机械能守恒 22 111221 11 1 cos 22 Mm vMMm vMm gL 整个碰撞和上摆过程中整个碰撞和上摆过程中 系统系统 M1 m M2 水平方向水平方向动量守恒动量守恒 112 1 2 1 cos MmMMm vgL mM 122 mvMMm v P18 50 质点动力学质点动力学 例 质量为例 质量为 m 的小球用长为的小球用长为 l 的轻绳悬挂于支架的的轻绳悬挂于支架的O点上 支架 固连在矩形木板上 板与支架的质量为 点上 支架 固连在矩形木板上 板与支架的质量为 m0 整个装置放在光滑的 水平桌面上 今将小球拉至 整个装置放在光滑的 水平桌面上 今将小球拉至A点 即绳处于水平位置 在小球与 木板均静止的情况下释放小球 点 即绳处于水平位置 在小球与 木板均静止的情况下释放小球 1 求当小球落到最低位置 求当小球落到最低位置 C 时木板的运动速度时木板的运动速度v1 2 求当小球运动到 求当小球运动到 B点 即绳与铅 垂线成 点 即绳与铅 垂线成 q 60 角时 木板的运动速率角时 木板的运动速率v2 3 试问 在小球从 试问 在小球从 A 点 运动到 点 运动到 C 点的过程中 绳 子张力对小球是否做功 若做功的话 则求出此功 点的过程中 绳 子张力对小球是否做功 若做功的话 则求出此功 P19 50 质点动力学质点动力学 解 将小球 绳 支架作为研究对象解 将小球 绳 支架作为研究对象 机械能守恒机械能守恒 0 0 cosmm vvv 解得 解得 22 2 0 111 0 sin coscos 222 mmmmgl v0 vvv 设 为支架相对地面速度 为小球相对支架速度设 为支架相对地面速度 为小球相对支架速度 方 向垂直于绳 方 向垂直于绳 v v 1 00 2gl m mmm v 1 小球落到 点时 解得 1 小球落到 点时 解得 C 0 2 当 时 2 当 时 3 sin 2 1 cos 2 0 60 2 22 00 473 gl m mm mm v 水平方向水平方向动量守恒动量守恒 P20 50 质点动力学质点动力学 3 绳子张力对小球是否做功取决于参考系的选取 3 绳子张力对小球是否做功取决于参考系的选取 22