2019_2020学年高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念讲义新人教A版.docx

15.3定积分的概念1定积分的概念一般地，设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1x2xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式f(i)x f(i)当n时，上述和式无限接近某个常数，那么这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作：，即f(x)dx f(i)2定积分的相关名称3定积分的几何意义(1)前提条件：函数f(x)在区间a，b上连续，f(x)0.(2)定积分f(x)dx的几何意义：由y0，曲线f(x)以及直线xa，xb围成的曲边梯形的面积4定积分的基本性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)(2)f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)用定积分求曲边图形面积时，不判断曲边图形位于x轴上方、还是下方，直接求解而出现错误避免出错的措施为：(1)当对应的曲边图形位于x轴上方时(图)，定积分的值取正值，且等于曲边图形的面积；(2)当对应的曲边图形位于x轴下方时(图)，定积分的值取负值，且等于曲边图形面积的相反数；(3)当位于x轴上方的曲边图形面积等于位于x轴下方的曲边图形面积时，定积分的值为0(图)，且等于位于x轴上方的曲边图形面积减去位于x轴下方的曲边图形面积1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x)dxf(t)dt.()(2)f(x)dx的值一定是一个正数()(3)(x22x)dxx2dx2xdx.()答案(1)(2)(3)探究1利用定义计算定积分例1利用定积分的定义，计算(3x2)dx的值解令f(x)3x2.(1)分割在区间1,2上等间隔地插入n1个分点，把区间1,2等分成n个小区间(i1,2，n)，每个小区间的长度为x.(2)近似代替、求和取i(i1,2，n)，则Snf()x 012(n1)55.(3)取极限(3x2)dxSn .拓展提升利用定义求定积分的关键仍然是“分割、近似代替、求和、取极限”这一过程其中：(1)在近似代替时，可以选取每个小区间的左端点、右端点、区间中点、区间端点的几何平均数等相应的函数值来代替该区间的函数值；(2)将“近似代替、求和”作为一个步骤来处理，其条理性更强【跟踪训练1】求由直线x0，x1，y0与曲线f(x)x22x1围成曲边梯形的面积解将区间0,1等分成n个小区间，则第i个小区间为，等i个小区间的面积为Sif，Sn (122232n2)(123n)112，SSn ，所以所求的曲边梯形的面积为.拓展提升利用定积分所表示的几何意义求f(x)dx的值的关键是确定由曲线yf(x)，直线xa，直线xb及x轴所围成的平面图形的形状常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形解(1)如图1，阴影部分面积为，从而(3x2)dx.图1图2探究3利用定积分的性质求定积分例3已知x3dx，x3dx，x2dx，x2dx，求：(1)(3x3)dx；(2)(6x2)dx；(3)(3x22x3)dx.解(1)(3x3)dx3x3dx3312.(2)(6x2)dx6x2dx66126.(3)(3x22x3)dx(3x2)dx(2x3)dx3x2dx2x3dx327.拓展提升【跟踪训练3】已知f(x)求f(x)在区间0,5上的定积分1.求阴影部分面积可分两类：(1)规则图形：按照面积的相关公式直接计算；(2)不规则图形：转化为规则图形或曲边梯形，再求面积的和或差，曲边梯形面积利用定积分来计算；改变积分变量，使问题简化.2.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分.3.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.1若函数f(x)在区间a，b上的图象在x轴上方，且图象从左至右上升，则求由曲线yf(x)，直线xa，xb(ab)及x轴围成的平面图形的面积S时，将区间a，bn等分，用每个小区间的左端点的函数值计算出面积为S1，用每个小区间的右端点的函数值计算出面积为S2，则有()AS1SS2 BS1SS2CS1S2S DS1SS2答案A解析由题意知，在区间上，ff，所以S1S2，则S1SS2.答案D3.(2x4)dx_.答案12解析如图A(0，4)，B(6,8)，M(2,0)，SAOM244，SMBC4816，所以(2x4)dx16412.4曲线y与直线yx，x2所围成的图形面积用定积分可表示为_答案dx解析如图所示，阴影部分的面积可表示为xdxdxdx.5根据定积分的几何意义求定积分(x2)dx