超级画板与命题研究初探.doc

超级画板与命题研究初探彭翕成 武汉 华中师范大学教育信息技术工程研究中心 430079奥数专家朱华伟教授在从数学竞赛到竞赛数学一书中援引数学家Arthur Engel的观点“创造一个问题比解决一个问题更为困难，创造问题几乎没有什么一般的准则。据我所知，在命题者的行列中，还没有一个Polya写出一本名叫怎样命题的书籍”。这充分说明了命题是一件充满创造性的工作。虽然命题人大多数学水平比较高，但智者千虑必有一失，有时由于考虑不周，也会出现“冗余条件或错误条件”的情况。我们对这样的题目加以分析，对今后命题、解题都是有好处的。例1：设，且.求证。这是一道很经典的数学题，很多资料都有提到，解法也很多，下面先给出两种常见证法。 法1： ，所以，即.法2： 由幂平均不等式，(其中)，得，即.笔者思考能否利用数形结合来解题呢？由于手工绘制三次函数难度较大，可采用计算机作图。而用计算机作图也有技巧，因为大多数软件都不能直接绘制隐函数的图像，即使是功能强大的超级画板也只能直接绘制特殊的隐函数图像（即中学中常用的二元二次曲线）。既然软件不能直接绘制，我们可以先将隐函数进行转换。设，则转化为，解得，。现在我们就可以利用超级画板的参数作图功能绘制函数了，如图1所示。作出图之后，题目结论是显然的了：凡是满足的点都在区域内。不过我们既然用了计算机这种新手段，能否探究出一些新内容呢？细心观察就会发现满足的点不一定要局限在第一象限内，也就是说原题目中的条件“”多余的。 图1也许有人会说，这是出题人为了降低难度，故意多给出条件。但笔者不这样认为，请看下面两种证法，都没有用到多余的条件，而且证法也不复杂，容易接受。所以笔者认为此题应该算作“条件多余”，而不能以“降低难度”为理由开脱。法3：设是方程两根，记，则，；显然，否则与已知条件矛盾，所以。由，解得，即。法4：（反证法）若，则.反复使用，则，这不可能，所以.例2：如图2，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、BF交于G，已知，求的度数。（摘自华罗庚金杯少年数学辅导教程.初中二年级） 图2 图3 解答此题并不困难。如图3，作AB的中点H，连接DH交AE于I；易证DH既是DAG的高又是中线，可得DAG是等腰三角形，所以。但如果深入思考，则会发现其中存在问题。当依题作图之后，则为一个定值，是否会这么巧为呢？用超级画板作图之后测量发现：确实，但。出题人也许用量角器大致度量过，可能还会解释说：此题重点考察的是两个角之间的二倍关系，所以对给出的数据有点随意。但不管怎么说，此题条件违背科学事实，可以认定是一个错题。长期以来，解题者都默认题目是对的，而且是一定能够解答出来的，缺少怀疑精神。笔者曾在文1中论述了专家解题与平常人的不同之处。平常人一看到题目就想着如何求解，而专家解题之前却还要验证题目是否正确。专家解几何题的4个步骤。第一：要画画看看，量量算算，看题目出得对不对，合理不合理。不合理就不做下去了。这叫做检验。第二：根据条件，参照问题，试着东推推，西试试，推出来的东西有用没用先记下来。这样或许就解决了问题。解决不了，再想别的出路。说不定记下来的材料还有用。这叫搜索。第三：搜索不出来，还可以抓住问题的目标（待证的结论、待求的几何量、或待作的点与线），分析计算，化简条件，消去中间的参数或几何元素，力求水落石出。这叫归约。第四：当上述常规的方法不能奏效时，人的智慧和灵感就成为取胜的源泉了。或用反证法、同一法，或加辅助线，或对部分图形作平移旋转，总之是改变问题的形式，以求化繁为简。这叫转换。对比可知，平常人解题几乎是不考虑检验题目这一步的，专家解题显得更加慎重。例3：ABC的三边边长分别是AB=6，BC=9和CA=8。其中ABC的内心为O，求。原解：根据角平分线的对称性质，作A关于BO的对称点P，B关于AO的对称点Q，连接OQ、QC、OP，所以，BP=AQ=AB=6，CP=3，CQ=2。则，所以。（题目和解答摘自明心数学资优教程） 图4 图5这个解答，我们是挑不出什么毛病的。但我们注意到解答过程中条件“”没有用到。这说明这个条件是多余的。其实这是显然易见的，当ABC定下来之后，内心O自然就被确定，就是一个定值，无需另外给出OAB的面积。可能有人会认为，这是出题人故意的多给出的条件，为的是给解答多一些解答思路。譬如先用海伦公式计算出ABC的面积，再计算。此题和例1有本质的不同：题目条件可以多余，但绝不能与其他条件发生冲突。条件“”很让人怀疑，因为用海伦公式计算三角形面积，除了少数特殊边长数据，一般来说所得结果是带根号的，而内心O可看作是ABC的三顶点的线性组合，所以极有可能是带有根号的。当然这只是猜测，我们可以计算验证。利用海伦公式和超级画板的符号计算功能很快就能计算出，。这说明条件“”与其他条件冲突，导致此题成为错题。同时，我们也能验证所给出的参考答案是对的。 以上案例充分说明了超级画板在命题过程中所起的作用。假使出题人在出题之后，能用超级画板作图验证一下，就不会出现这样的问题了。其实，超级画板不但能检验一些题目，更重要的是能