笔算开立方.doc

笔算开立方一天，我遇到了一道需要用到的近似值的物理题。我没带计算器或中学数学用表，只好逐个计算一些数的立方，并与10比较，好不容易才把小数点后第二位数字确定下来。这促使我寻求笔算开立方的方法。笔算开平方的方法我是掌握的。我想笔算开立方的方法应该与它有些关联，不妨先把笔算开平方的主要步骤回忆一下：1 将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组；2 根据最左边一组，求得平方根的最高位数；3 用第一组数减去平方根最高位数的平方，在其差右边写上第二组数；4 用求得的最高位数的20倍试除上述余数，得出试商。再用最高位数的20倍与试商的和乘以试商，若所得的积不大于余数，试商就是平方根的第二位数，若大于，就减小试商再试。5 用同样方法继续进行下去。类似地，若要写出笔算开立方的法则，显然第1步中的“两”应改为“三”，第2、3步中的“平”应改为“立”，而第5步不变化。关键是第4步如何进行。当天晚上，我想到完全平方公式是(a+b)2=a2+2ab+b2，完全立方公式是(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。于是我猜想“20倍”应该与“2ab”有关。我先后想出了几种可能的方法，经检验，都是行不通的。那么我有必要分析笔算开平方的本质。以两位数为例，= (10a+b)2=100a2+20ab+b2。这里a代表平方根的最高位数，b代表试商。事实上，100a2已在第3步里被减去了。那么剩下的就是20ab+b2，即(20a+b)b，也就是“求得的最高位数的20倍与试商的和再乘以试商”。这样，如果被开方数是(10a+b)2，那么最后所得的余数恰好为零；如果被开方数比(10a+b)2大，就把10a+b看作a继续进行下去。同样的道理，这个法则对多位数、一位数和小数也适用。类似地，(10a+b)3=1000a3+300a2b+30ab2+b3，其中1000a3在开立方法则第3步里被减去了。那么我就应该把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积，求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式的左边，用第3步所得余数减去它们的和。举几个简单的例子验证一下：(300=123001 (600=123002 (1200=223001) 30=13012 120=13022 60=23012 1=13) 8=23) 1=13)为了进一步验证这种方法的正确性,我求出了的近似值,并与计算器的结果进行比照:(为了书写简便,我把10.000后面的“0”省略了。)用这种方法算出10的立方根约等于2.1544，而计算器的结果是2.1544347，这说明求出的结果是正确的。现将笔算开立方的方法总结如下：1 将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；2 根据最左边一组，求得立方根的最高位数；3 用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；4 用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；5 用同样方法继续进行下去。这种方法肯定早就有人发明了。其运算量相当大，实用价值也不高。但我毕竟是独立地发现了它。虽然欣喜无法与发现新大陆相比，但这至少使我体验到在数学世界中探索的快乐。此后不久，我居然发现这种方法在期中考试中发挥了作用期中考试物理试卷中有这样一道题：“神舟”三号飞船的运行周期约是91分钟，地球半径约是6370，求飞船的轨道高度（以km为单位，保留两个有效数字）。这道题并不难。根据所学知识，我很快就列出方程，并求出了结果的表达式。经过近似计算和约分、化简，结果大约是(1000-6370)。我想大多数同学能够算到这里，而对于就束手无策了。但它难不倒我。我运用了笔算开立方的方法。由于法则是自己总结的，所以记得很牢，用起来也得心应手。很快，我求出6.7，最终结果约是3.3102。严格地说，这个答案是不可靠的。要保证最终结果的第二个有效数字准确，应该把计算到百分位。但因时间有限，且300这个数本身就是不准确的，我只好这样写。后来我看到答案，知道我的结果是正确的。我感到高兴，因为我自己发现并总结出的规律在考试中得到应用。我觉得这种笔算开立方的方法不能为大家所知似乎是个遗憾。但它的应用似乎仅限于这类由周期求轨道半径的物理题，除此之外，别的意义很是寥寥。换言之，这种方法仅是雕虫小技而已。然而探索的过程使我体会到初步的数学研究方法，或许将有更大的意义因为“对真理的探求比对真理的占有更为可贵”。 在没有计算器也没有任何资料的情况下，需要笔算开方怎么算呢？下面就简单地介绍一下： 第一步：先分节。把被开方数分节，从小数点向两边分，每两位数一节。（从个位起向左每隔两位为一节，若带有小数，从小数点起向右每隔两位一节）用“，”号将各节分开；如625分节为625，5625分节为5625，11278分为11278，等等，一个数可分为几节，开方后就有几位。由于有小数点与无小数点的笔算方法是一样的，所以下面就以整数开方为例来说明。第二步：在被开方数的上方画一个根号，就开始算了，比如961这个数，上面打上根号，先看第一节9，33=9所以在根号上与9对齐的位置“商”3，33=9把9写在下面减去，就像除法那样在961下面减。减完后还余下61,为了明白这里的原理，你可以借助于图形去理解，你画一个正方形，边长是两位数，十位是3，个位暂时还不知道,33=9 减去就是在左下角挖去一个900的正方形，还余下61就是挖去后剩下的像“7”字形的面积。也可以看作是由两个全等的长方形与一个小正方形组成的.再不明白你就想一想(30+?)的平方展开式中的后两项. 第三步：把“商”3乘以20，320=60 考虑(60+?)?=61 611=61 好了,在根号上方与第二节对齐处写1, 611=61 从下面减去得0,这样就完了,961开方是31.那么,这一步的原理又是什么呢?你再观看图形，注意左下角挖去一个900的正方形后还剩下的像“7”字形的面积,把它掰直成”1”字形的长方形,再看这个长方形的长是(230+?),也就是(320+?),宽是?,它的面积是61，那么不就是考虑(60+?)?=61吗.再以625开方来练习一下,先分节为625,打上根号,先看第一节6,由于3平方不够,只能在第一节上面“商”2,2平方是4,像做除法那样在下面减4,余下225,220=40.考虑(40+?)?=225 (40+5)5=225 好，在第二节上面“商”5，下面减225得0，完了，625开方是25。再看一个分节后是三位的，15129分节为15129 打上根号，第一节“商”1，1的平方是1，（注意这可是100的平方是10000）下面像做除法那样的减去1，余下的拉下来是5129，看第二节51，120=20考虑（20+？）？接近51但不大于51，（20+2）2最接近，第二节上面“商”2，再像做除法那样减44，在与51对齐的下面减44，（注意这又相当于减去了4400）还余下729，再看第三节，用根号上的“商”12乘20得240，考虑（240+？）？接近729但不大于729，（240+3）3=729再像做除法那样在下面减729得0，完了，15129开方得123。你可以画一个边长为123的正方形，面积是15129，左下角先挖去一个10000的正方形，余下的是5129，再挖去一个“7”字形的面积4400，又余下一个“7”字形面积为729，分析图形就更明白了。总结归纳：一、 先分节，打根号。有点像除法竖式，都要“层层扒皮”。二、 把眼盯在第一节上，如果第一节是1，4，9，16，25，36，49，64，81这样的完全平方数，就在第一节上方“商”1，2，3，9，如果不是这样的数，比如是57，因为57比49大而比64小，所以你只能“商”7，不能“商”8，因为8就不够了。这一步是确定被开方数开方后的首位数。三、 被开方数开方后的首位数确定后，要从被开方数中减去这个首位数的平方，注意一定要在第一节下面减。四、 把眼转向余数，用第一节所得的“商”乘20后的积估算开方结果的第二位数，方法是看乘20后的积加“多少”后再乘“多少”接近余数，就在第二节上“商”“多少”，（上面的“多少”都同是一个一位数）五、 重复第四步的过程，逐节计算。至于在“商”第二节以及以后各节时为什么老是要用前面的“商”乘20呢？实际上