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2 5随机变量的函数的分布 二 连续型随机变量函数的概率密度 一 离散型随机变量函数的分布律 问题的提出 在实际中 人们常常对随机变量的函数更感兴趣 求截面面积A 的分布 例如 已知圆轴截面直径d的分布 已知t t0时刻噪声电压V的分布 求功率W V2 R R为电阻 的分布等 这类问题无论在实践中还是在理论上都是重要的 问题的一般提法 Ch2 3 方法将与Y有关的事件转化成X的事件 2 4 求随机因变量Y g X 的密度函数或分布律 问题已知r v X的d f 或分布律 Ch2 4 设r v X的分布律为 由已知函数g x 可求出r v Y的所有可能取值 则Y的概率分布为 离散型 1 一维离散型随机变量函数的概率分布律 例1 已知 X PX 101 求 Y 2X的概率分布律 Y PY 202 设随机变量X的概率分布律为 求Y 2X2 1的概率分布律 解 例2 由题设可得如下表格 所以 y 2x2 1的概率分布律为 一般地 例3 设随机变量X的概率分布律为 解 解题过程 答案 二 连续型随机变量函数的概率密度 设随机变量X的概率密度为 求随机变量Y g X g连续 的概率密度 第一步求出Y的分布函数的表达式 第二步 1 一般方法 分布函数法 因为FY y P Y y P g X y 设ly x g x y 则 第二步由分布函数求概率密度 第一步 解 例2 所以 综上得 推论 定理 正态随机变量的线性函数服从正态分布 正态随机变量的标准化 定理 2 公式法 证 只证g x 0的情况 此时g x 在 严格单调增加 它的反函数h y 存在 且在 严格单调增加 可导 现在先来求Y的分布函数FY y 因为Y g X 在 取值 故当y 时 FY y P Y y 0 此定理的证明与前面的解题思路类似 当y 时 FY y P Y y 1 当 y 时 FY y P Y y P g x y P X h y 于是得Y的概率密度 合并两式 即得证 若 x 在有限区间 a b 以外等于零 则只需假设在 a b 上恒有g x 0 或恒有g x 0 此时 若g x 0 同理可证 若g x 不是单调函数不能用此定理 公式注释 注 1 只有当g x 是x的单调可导函数时 才可用以上公式推求Y的概率密度函数 2 注意定义域的选择 例7 设X U 1 1 求Y X2的分布函数与概率密度 当y 0时 当0 y 1时 当y 1时 例9 设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数为2的指数分布 每当设备出现故障时就自动关机 而在无故障的情况下 设备工作8小时便自动关机 试求该设备每次开机至关机这段工作时间Y的分布函数 例 设随机变量X服从参数为2的指数
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