第一章-离散时间信号与系统(1).ppt

第一章离散时间信号与系统 1 1离散时间信号1 2线性时不变系统1 3离散系统的差分方程1 4连续时间信号的采样 1 1离散时间信号 一 常用序列 1 单位采样序列d n 也称为单位脉冲序列 1 1离散时间信号 2 单位阶跃序列u n n u n u n 1 n 与u n 之间的关系 1 1离散时间信号 3 矩形序列RN n 当N 4时 R4 n 的波形如图所示矩形序列可用单位阶跃序列表示 N称为矩形序列的长度 RN n u n u n N 1 1离散时间信号 4 实指数序列如果 a 1 则称为发散序列 其波形如图示 x n anu n a为实数 1 1离散时间信号 5 正弦序列 x n sin n 称为正弦序列的数字域频率 单位是弧度 表示序列变化的速率 或表示相邻两个序列值之间变化的弧度数 表示凡是由模拟信号采样得到的序列 模拟角频率 与序列的数字域频率 成线性关系 因为在数值上 序列值与信号采样值相等 因此得到数字频率 与模拟角频率 之间的关系为 如果正弦序列是由模拟信号xa t 采样得到 那么 1 1离散时间信号 6 复指数序列式中 设 0 用极坐标和实部虚部表示如下式 由于n取整数 下面等式成立 复指数序列具有以2 为周期的周期性 后面的研究中 频率域只考虑一个周期 x n e j 0 n 0为数字域频率 ej 0 2 M n ej 0n M 0 1 2 1 1离散时间信号 7 用单位采样序列来表示任意序列任意序列x n 都可以表示成单位采样序列的移位加权和 即 例 用单位采样序列 n 表示x n 解 x n a n 3 b n 3 c n 5 1 1离散时间信号 二 序列的运算 序列的基本运算 序列移位 左 右 加法 乘法 翻转 尺度变换及卷积等 1 乘法和加法序列之间的乘法和加法 是指它的同序号的序列值逐项对应相乘和相加 如图所示 1 1离散时间信号 2 移位 翻转及尺度变换 x n n0 表示x n 左移n0单位 x n 的超前序列 x n n0 表示x n 右移n0单位 x n 的延时序列 x n 则是x n 的翻转序列 x mn 是x n 序列每隔m点取一点形成的 相当于时间轴n压缩了m倍 尺度变换 2020年4月19日10时26分 1 1离散时间信号 卷积和的计算图解法 与卷积积分类似 改换变量 x k x n h k h n 折叠 h n h n 移序 h n h k n 相乘 x n h k n 求和 把x n h k n 所得的序列相加 2020年4月19日10时26分 1 1离散时间信号 例 已知x k 1 2 3 4 h k 2 3 1 求y k x k h k 解 2020年4月19日10时26分 1 1离散时间信号 2020年4月19日10时26分 1 1离散时间信号 算式法 不进位乘法 例 如前例 解 1 1离散时间信号 三 序列的周期性 如果对所有n存在一个最小的正整数N 使下面等式成立 则称序列x n 为周期性序列 例 x n 是周期为8的周期序列 x n x n N n 周期为N 1 1离散时间信号 一般正弦序列的周期性设 如果 x n N x n 要求 0N 2 kN 2 0 k k的取值要保证N是最小的正整数 当2 为整数时 令k 1 序列x n 的周期为N 2 0 当2 为有理数时 k总能取到一个整数 使周期N 2 k 为一正整数 当2 为无理数时 k不管取什么整数 都不能使N 2 k 为一正整数 则x n 是非周期序列 x n Asin 0n x n N Asin 0 n N Asin 0n 0N 1 1离散时间信号 例 求下列两序列的周期N 1 x n Acos n 4 7 2 x n Asin n 5 Bcos n 3 解 1 由于 4 2 2 4 8为整数 则周期N 8 2 由于 1 5 2 3 N1 2 1 10 N2 2 2 6序列x n 的周期N为N1和N2的最小公倍数 可得N 10 6 30 1 2线性时不变系统 一 离散系统的定义设时域离散系统的输入为x n 经过规定的运算 系统输出序列用y n 表示 设运算关系用T 表示 输出与输入之间关系用下式表示 其框图如图所示 在时域离散系统中 最重要的是线性时不变系统 因为很多物理过程可用这类系统表征 y n T x n 1 2线性时不变系统 二 线性系统满足叠加原理的系统称为线性系统 设 那么线性系统一定满足下面两个公式 将以上两个公式结合起来 可表示成 y1 n T x1 n y2 n T x2 n T x1 n x2 n y1 n y2 n T ax1 n ay1 n 线性系统的可加性 线性系统的比例性或齐次性 y n T ax1 n bx2 n ay1 n by2 n a和b均是常数 1 2线性时不变系统 三 时不变系统 如果系统对输入信号的运算关系T 在整个运算过程中不随时间变化 或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关 或者说若系统的输出随输入延迟而延迟同样单位 则这种系统称为时不变系统 用公式表示如下 y n T x n y n n0 T x n n0 1 2线性时不变系统 例 判断系统y n 3x n 4的线性和时不变性 解 1 判断线性特性设输入为x1 n 和x2 n 时 输出分别为y1 n 和y2 n 即 T ax1 n 3ax1 n 4 T bx2 n 3bx2 n 4 而T ax1 n bx2 n 3ax1 n 3bx2 n 4 ay1 n by2 n 所以系统是非线性系统 2 判断系统的时不变特性设y n T x n 而T x n n0 3x n n0 4 y n n0 是时不变系统 例1 2 2设线性时不变系统的单位采样响应 其输入序列 求输出序列y n 解 根据线性时不变系统输入输出关系 有 对于 2 5离散系统的因果性和稳定性 四 系统的因果性定义1 当n 0时 序列值恒等于零的序列称之为因果序列 定义2 系统的输出 只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列 与n时刻以后的输入序列无关的系统称为因果系统 因此系统的因果性是指系统在物理上的可实现性 定理 线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足 h n 0 n 0结论 因此 因果系统的单位取样响应必然是因果序列 2 5离散系统的因果性和稳定性 五 系统的稳定性系统稳定的意义 关系到系统能否正常工作 定义1 若存在一个数M 对于任意n都满足 x n M 称该序列有界 定义2 输入序列有界 能保证输出信号序列也有界的系统称为稳定系统 定理 系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可和 用公式表示为 2 5离散系统的因果性和稳定性 例 设线性时不变系统的单位取样响应h n anu n 式中a是实常数 试分析该系统的因果稳定性 解 1 因果性 由于n 0时 h n 0 所以系统是因果系统 2 稳定性 h n 是否满足绝对可和 讨论 当 a 1时 当 a 1时 h n 此时系统不稳定 当 a 1时 系统是因果稳定的 a 1时 系统因果非稳定 系统稳定 2 5离散系统的因果性和稳定性 例 判断下列系统的因果稳定性 课堂练习 非因果稳定 因果稳定 1 3时域离散系统的输入输出描述法 线性常系数差分方程 系统的输入输出描述法 不管系统内部的结构 只描述或者研究系统输出和输入之间的关系的方法 模拟系统 用微分方程描述系统输出输入之间的关系 时域离散系统 用差分方程描述描述输出输入之间的关系 线性时不变时域离散系统 常用线性常系数差分方程来描述 线性时不变系统的描述方法有 1 系统的单位脉冲响应h n 2 系统的频率响应H e j h n 的傅里叶变换 第二章 3 系统的差分方程 4 系统函数 h n 的Z变换 第二章 5 系统结构 第五章 1 3时域离散系统的输入输出描述法 线性常系数差分方程 1 线性常系数差分方程一个N阶线性常系数差分方程用下式表示 差分方程的阶数是用方程y n i 项中i的取值最大与最小之差确定的 在左式中 y n i 项i最大的取值为N i的最小取值为零 因此称为N阶的差分方程 N 式中 x n 和y n 分别是系统的输入序列和输出序列 ai和bi均为常数 式中y n i 和x n i 项只有一次幂 没有相互交叉项 故称为线性常系数差分方程 1 3时域离散系统的输入输出描述法 线性常系数差分方程 2 线性常系数差分方程的求解已知系统的输入序列 通过求解差分方程可以求出输出序列 求解差分方程的基本方法有以下三种 1 经典解法 类似模拟系统中求解微分方程的方法 包括齐次解和特解 由边界条件求待定系数 2 递推解法 由初始条件 逐级用计算机递推求解 只能得到数值解 不容易得到封闭解 公式解 3 变换域方法 将差分方程变换到Z域中进行求解 方法简单有效 1 4连续时间信号的采样 1 抽样 电子开关的作用S等效一个矩形脉冲串 单位冲激串 频域分析 根据频域卷积定理 两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积 可以推导得 t 是单位冲激信号 只有当t nT时 才可能有非零值 因此可写成 s 2 T 称为采样角频率 单位是弧度 秒 1 4连续时间信号的采样 表明 采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴 每间隔采样角频率 s重复出现一次 或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以 s为周期 进行周期延拓而成的 1 4连续时间信号的采样 在下图中 设xa t 是带限信号 最高截止频率为 c 其频谱Xa j 如图所示 以 s为周期进行的周期延拓 单位冲激串的频谱 频谱混叠 一般称fs 2为折叠频率 只有当信号最高频率不超过该频率时 才不会产生频率混叠现象 超过fs 2的频谱会折叠回来形成混叠现象 因此频率混叠均产生在fs 2附近 1 4连续时间信号的采样 1 4连续时间信号的采样 如果抽样