2019年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算练习新人教A版.docx

3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算1.已知空间四边形ABCD中,G为CD的中点,则+(+)等于(A)(A) (B) (C) (D)解析:+(+)=+(2)=+=.故选A.2.下列命题中正确的个数是(A)若a与b共线,b与c共线,则a与c共线;向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面;若ab,则存在唯一的实数,使a=b.(A)0(B)1(C)2(D)3解析:当b=0时,a与c不一定共线,故错误;中a,b,c共面时,它们所在的直线平行于同一平面,不一定在同一平面内,故错误;当b为零向量,a不为零向量时,不存在.故 选A.3.在平行六面体ABCDEFGH中,若=x-2y+3z,则x+y+z等于(C)(A) (B) (C) (D)1解析:=+,则x=1,y=-,z=,故选C.4.已知空间向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(A)(A)A,B,D (B)A,B,C (C)B,C,D (D)A,C,D解析:因为=+=2a+4b=2,所以A,B,D三点共线.故选A.5.若空间中任意四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则(A)(A)PAB (B)PAB(C)点P可能在直线AB上 (D)以上都不对解析:因为m+n=1,所以m=1-n,所以=(1-n)+n,即-=n(-),即=n,所以与共线.又有公共起点A,所以P,A,B三点在同一直线上,即PAB.故选A.6.若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则(D)(A)m,n,p共线(B)m与p共线(C)n与p共线(D)m,n,p共面解析:由于(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=m+n,又m与n不共线,所以m,n,p共面.7.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+k,若a,b,c三个向量共面,则实数等于(D)(A) (B)9 (C) (D)解析:因为a,b,c三向量共面,所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,即7i+5j+k=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k).所以所以=.8.给出下列命题:若A,B,C,D是空间任意四点,则有+=0;|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;若,共线,则ABCD;对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,zR),则P,A,B,C四点共面.其中不正确命题的个数是(C)(A)1(B)2(C)3 (D)4解析:显然正确;若a,b共线,则|a|+|b|=|a+b|或|a+b|=|a|-|b|,故错误;若,共线,则直线AB,CD可能重合,故错误;只有当x+y+z=1时,P,A,B,C四点才共面,故错误.故选C.9.下列命题:空间向量就是空间中的一条有向线段;不相等的两个空间向量的模必不相等;两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;向量与向量的长度相等.其中真命题有 .解析:假命题,有向线段只是空间向量的一种表示形式,但不能把二者完全等同起来.假命题,不相等的两个空间向量的模也可以相等,只要它们的方向不相同即可.假命题,当两个向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点.真命题,与仅是方向相反,它们的长度是相等的.答案:10.在直三棱柱ABCA1B1C1中,若=a,=b,=c,则=.解析:如图,=-=-=-(-)=-c-(a-b)=-c-a+b.答案:-c-a+b11.已知点G是ABC的重心,O是空间任一点,若+=,则的值为 .解析:连接CG并延长交AB于D,则=2,所以-=2(-),即3=2+.又2=+,所以3=+.因此,的值为3.答案:312.有下列命题:若,则A,B,C,D四点共线;若,则A,B,C三点共线;若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则ab;若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.其中是真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上).解析:根据共线向量的定义,若,则ABCD或A,B,C,D四点共线,故错;且AB,AC有公共点A,所以正确;由于a=4e1-e2= -4(-e1+e2)=-4b,所以ab.故正确;易知也正确.答案:13.如图所示,已知几何体ABCDA1B1C1D1是平行六面体.(1)化简+,并在图中标出其结果;(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点,设=+,求,的值.解:(1)取DD1的中点G,过点G作DC的平行线GH,使GH=DC,连接AH (如图),则+=.(2)因为M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点,所以=+=+=(-)+(+)=+,所以=,=,=.14.如图,H为四棱锥PABCD的棱PC的三等分点,且PH=HC,点G在AH上,AG=mAH.四边形ABCD为平行四边形,若G,B,P,D四点共面,求实数m的值.解:连接BD,BG.因为=-且=,所以=-.因为=+,所以=+-=-+.因为=,所以=(-+)=-+.又因为=-,所以=-+.因为=m,所以=m=-+.因为=-+=-+,所以=(1-)+(-1)+.又因为B,G,P,D四点共面,所以1-=0,即m=.15.求证:四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分.已知:如图所示,在四面体ABCD中,E,F,G,H,P,Q分别是所在棱的中点.求证:EF,GH,PQ相交于一点O,且O为它们的中点.证明:因为E,G分别为AB,AC的中点,所以EGBC.同时,HFBC,所以EGHF.从而四边形EGFH为平行四边形,故其对角线EF,GH相交于一点O,且O为它们的中点.只要能证明向量=-,就可以说明P,O,Q三点共线且O为PQ的中点.事实上,=+,=+.因为O为GH的中点,所以+=0.又因为GPCD,QHCD,所以=,=.所以+=+=0.所以=-.故PQ经过O点,且O为PQ的中点.所以EF,GH,PQ相交于一点O,且O为它们的中点.16.已知正方体ABCDA1B1C1D1的中心为O,则在下列各结论中正确的结论共有(C)+与+是一对相反向量;-与-是一对相反向量;+与+是一对相反向量;-与-是一对相反向量.(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:利用图形及向量的运算可知是相等向量,是相反向量.故选C.17.若P,A,B,C为空间四点,且有=+,则+=1是A,B,C三点共线的(C)(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:若+=1,则-=(-),即=,显然A,B,C三点共线;若A,B,C三点共线,则存在实数,使=,故-=(-),整理得=(1+)-,令=1+,=-,则+=1.故选C.18.已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,存在三个不为零的实数,m,n,使+m+n=0,那么+m+n的值为 .解析:因为A,B,C三点共线,所以存在惟一实数k,使=k,即-=k(-),所以(k-1)+-k=0,又+m+n=0,令=k-1,m=1,n=-k,则+m+n=0.答案:019.如图所示,在四面体OABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则= (用a,b,c表示).解析:=+=a+=a+(-)=a+=a+(+)=a+b+c.答案:a+b+c20.如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是ABCD所在平面外的一点,连接PA,PB,PC,PD.设点E,F,G,H分别为PAB,PBC,PCD,PDA的重心.(1)试用向量方法证明E,F,G,H四点共面;(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证明你的判断.(1)证明:分别连接PE,PF,PG,PH并延长,交对边于点M,N,Q,R,连接MN,NQ,QR,RM,因为E,F,G,H分别是所在三角形的重心,所以M,N,Q,R