第7章 -应力和应变分析 强度理论

第7章应力状态分析强度理论 7 1应力状态的概念 主平面 剪应力为零的平面 主应力 主平面上的正应力 主方向 主平面的法线方向 可以证明 通过受力构件内的任一点 一定存在三个互相垂直的主平面 三个主应力用 1 2 3表示 按代数值大小顺序排列 即 1 2 3 应力状态的分类 单向应力状态 三个主应力中只有一个不等于零二向应力状态 平面应力状态 两个主应力不等于零三向应力状态 空间应力状态 三个主应力皆不等于零单向应力状态也称为简单应力状态二向和三向应力状态统称为复杂应力状态 7 2二向三向应力状态实例圆筒形薄壁压力容器 内径为D 壁厚为t 承受内力p作用 圆球形薄壁容器 壁厚为t 内径为D 承受内压p作用 圆杆受扭转和拉伸共同作用 7 3二向应力状态分析 解析法平面应力状态下的应力分析 一 拉应力为正 顺时针转动为正 逆时针转动为正 7 4二向应力状态分析 图解法 应力圆莫尔 Mohr 圆 CL10TU20 下面根据已知单元体上的应力 x y x画应力圆 下面利用应力圆求任意斜截面上的应力 10 3平面应力状态主应力及最大剪应力 例 分别用解析法和图解法求图示单元体的 1 指定斜截面上的正应力和剪应力 2 主应力值及主方向 并画在单元体上 3 最大剪应力值 单位 MPa 解 一 使用解析法求解 二 使用图解法求解作应力圆 从应力圆上可量出 低碳钢 铸铁 例 讨论圆轴扭转时的应力状态 并分析低碳钢 铸铁试件受扭时的破坏现象 解 7 5三向应力状态 主单元体 六个平面都是主平面 CL10TU30 若三个主应力已知 求任意斜截面上的应力 首先分析平行于主应力之一 例如 3 的各斜截面上的应力 3对斜截面上的应力没有影响 这些斜截面上的应力对应于由主应力 1和 2所画的应力圆圆周上各点的坐标 同理 在平行于 2的各个斜截面上 其应力对应于由主应力 1和 3所画的应力圆圆周上各点的坐标 在平行于 1的各个斜截面上 其应力对应于由主应力 2和 3所画的应力圆圆周上各点的坐标 这样 单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和剪应力 可由三个应力圆圆周上各点的坐标来表示 至于与三个主方向都不平行的任意斜截面 弹性力学中已证明 其应力 n和 n可由图中阴影面内某点的坐标来表示 在三向应力状态情况下 max作用在与 2平行且与 1和 3的方向成45 角的平面上 以 1 3表示 例 求图示应力状态的主应力和最大剪应力 应力单位为MPa 解 例 求图示应力状态的主应力和最大剪应力 应力单位为MPa 解 例 求图示应力状态的主应力和最大剪应力 应力单位为MPa 解 补充 7 7平面应变状态分析 这里所指的平面应变状态 实际上是平面应力所对应的应变状态 它与弹性力学中所说的平面应变状态不同 由于最大应变往往发生于受力构件的表面 而表面上的点一般都可按平面应变状态进行分析 伸长的线应变和使直角增大的剪应变规定为正 应变的实测 一点处的应力状态如图所示 试用应力圆求主应力 一点处的应力状态如图所示 应力单位为MPa 试用应力圆求主应力及其作用平面 7 8广义胡克定律 CL10TU35 广义胡克定律 对于二向应力状态 7 9复杂应力状态下的变形比能 变形比能 体积改变比能 形状改变比能u uv uf 7 10强度理论的概念 材料破坏的形式主要有两类 流动破坏 断裂破坏 7 11常用的四种强度理论 材料破坏的基本形式有两种 流动 断裂相应地 强度理论也可分为两类 一类是关于脆性断裂的强度理论 另一类是关于塑性屈服的强度理论 一 关于脆断的强度理论 1 最大拉应力理论 第一强度理论 它假定 无论材料内各点的应力状态如何 只要有一点的主应力 1达到单向拉伸断裂时的极限应力 u 材料即破坏 在单向拉伸时 极限应力 u b失效条件可写为 1 b 第一强度强度条件 试验证明 这一理论与铸铁 岩石 砼 陶瓷 玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符 这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面上 脆性材料的扭转破坏 也是沿拉应力最大的斜面发生断裂 这些都与最大拉应力理论相符 但这个理论没有考虑其它两个主应力的影响 2 最大伸长线应变理论 第二强度理论 它假定 无论材料内各点的应变状态如何 只要有一点的最大伸长线应变 1达到单向拉伸断裂时应变的极限值 u 材料即破坏 所以发生脆性断裂的条件是 1 u若材料直到脆性断裂都是在线弹性范围内工作 则 由此导出失效条件的应力表达式为 第二强度条件 煤 石料或砼等材料在轴向压缩试验时 如端部无摩擦 试件将沿垂直于压力的方向发生断裂 这一方向就是最大伸长线应变的方向 这与第二强度理论的结果相近 二 关于屈服的强度理论 1 最大剪应力理论 第三强度理论 它假定 无论材料内各点的应力状态如何 只要有一点的最大剪应力 max达到单向拉伸屈服剪应力 S时 材料就在该处出现明显塑性变形或屈服 屈服破坏条件是 用应力表示的屈服破坏条件 第三强度条件 第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结果所证实 且稍偏于安全 这个理论所提供的计算式比较简单 故它在工程设计中得到了广泛的应用 该理论没有考虑中间主应力 2的影响 其带来的最大误差不超过15 而在大多数情况下远比此为小 2 形状改变比能理论 第四强度理论 它假定 复杂应力状态下材料的形状改变比能达到单向拉伸时使材料屈服的形状改变比能时 材料即会发生屈服 屈服破坏条件是 简单拉伸时 屈服破坏条件是 第四强度条件 这个理论和许多塑性材料的试验结果相符 用这个理论判断碳素钢的屈服失效是相当准确的 四个强度理论的强度条件可写成统一形式 称为相当应力 一般说来 在常温和静载的条件下 脆性材料多发生脆性断裂 故通常采用第一 第二强度理论 塑性材料多发生塑性屈服 故应采用第三 第四强度理论 影响材料的脆性和塑性的因素很多 例如 低温能提高脆性 高温一般能提高塑性 在高速动载荷作用下脆性提高 在低速静载荷作用下保持塑性 无论是塑性材料或脆性材料 在三向拉应力接近相等的情况下 都以断裂的形式破坏 所以应采用最大拉应力理论 在三向压应力接近相等的情况下 都可以引起塑性变形 所以应该采用第三或第四强度理论 7 12莫尔强度理论 例 填空题 冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂 其原因是冰处于应力状态 而水管处于应力状态 三向压 二向拉 在纯剪切应力状态下 用第三强度理论可得出 塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比用第四强度理论可得出 塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比 例 填空题 解 在纯剪切应力状态下 三个主应力分别为 第三强度理论的强度条件为 由此得 剪切强度条件为 按第三强度理论可求得 第四强度理论的强度条件为 由此得 剪切强度条件为 按第三强度理论可求得 在纯剪切应力状态下 用第三强度理论可得出 塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比用第四强度理论可得出 塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比 例 填空题 0 5 0 577 石料在单向压缩时会沿压力作用方向的纵截面裂开 这与第强度理论的论述基本一致 例 填空题 二 一球体在外表面受均布压力p 1MPa作用 则在球心处的主应力 1 MPa 2 MPa 3 MPa 例 填空题 1 1 1 三向应力状态中 若三个主应力都等于 材料的弹性模量和泊松比分别为E和 则三个主应变为 例 填空题 第三强度理论和第四强度理论的相当应力分别为 r3及 r4 对于纯剪应力状态 恒有 r3 r4 例 填空题 危险点接近于三向均匀受拉的塑性材料 应选用强度理论进行计算 因为此时材料的破坏形式为 例 填空题 第一 脆性断裂 例 选择题 纯剪切应力状态下 各向同性材料单元体的体积改变有四种答案 A 变大 B 变小 C 不变 D 不确定 例 圆轴直径为d 材料的弹性模量为E 泊松比为 为了测得轴端的力偶 之值 但只有一枚电阻片 1 试设计电阻片粘贴的位置和方向 2 若按照你所定的位置和方向 已测得线应变为 0 则外力偶 解 1 将应变片贴于与母线成45 角的外表面上 2 例 钢制封闭圆筒 在最大内压作用下测得圆筒表面任一点的 x 1 5 10 4 已知E 200GPa 0 25 160MPa 按第三强度理论校核圆筒的强度 解 由上两式可求得 故 故满足强度条件 纯剪切应力状态 1 概述 随着现代技术与工业的发展 新材料 新工艺 大型结构与构件的出现和工作环境的苛刻化 构件中隐含宏观裂纹或由微观裂纹成长为宏观裂纹的机会大大增加 宏观裂纹发展到了临界长度 裂纹尖端高度的应力集中会导致高强度 低韧性材料 构件 发生脆性断裂而失效 线弹性断裂力学 LEFM 研究构件中裂纹的扩展规律 并建立由此导致的脆性断裂准则 为含裂纹构件防脆断设计提供依据 2 裂纹导致的脆断事故分析 1 全焊接大型结构 如大型贮油罐 贮气罐 高压容器 全焊接轮船 大型桥梁等 由于焊缝及其附近的热影响区中存在各种缺陷 夹渣 微裂纹等宏观裂纹源而导致脆断事故 实例之一 二战期间 美国250艘全焊接战时标准船的断裂事故 其中10艘在平静港湾突然一断为二 7 13构件含裂纹时的断裂准则 2 现代冶炼技术和复合材料的研制工艺为航空 航天等高新技术工业领域提供了超高强度 相对偏低韧性的结构材料 使允许的临界裂纹长度大大减小 材料脆性倾向大大增加 实例之二 50年代末 60年代初 美国在发射北极星导弹试验中多次发生发动机壳体爆炸事故 发射火箭时曾发生助推器在半空爆炸 调查表明 壳体材料Kgf mm2 工作应力Kgf mm2 常规强度没有问题 但在爆炸碎片中发现残留的宏观裂纹 3裂纹导致构件脆断事故的特点 1 构件中存在宏观裂纹它们是初始宏观裂纹 可由无损探伤查检 或初始微观裂纹在疲劳 腐蚀 多次冲击下成长为宏观裂纹 2 低应力断裂由于宏观裂纹尖端的应力集中 高应力区中存在二向及三向拉伸应力状态大大加强了材料脆化倾向 导致宏观工作应力大大低于静载强