《百僧问题》解题策略

百僧问题 的解题策略 长沙县黄兴镇中心小学 曹灿 长沙市小数团体会员单位第二届讲题比赛 我的讲题 题目的背景 1 出自人教版自义务教科书六年级上册 数学广角 与 鸡兔同笼 的问题是同一类型题 它最早出现在我国明代杰出的数学家程大位的著作 算法统宗 中 2 解决这题有多种方法 最普遍方法有 假设法 和 方程解法 3 在思维训练题中 这类问题比较常见 其数学价值在于 有利于向学生渗透化归思想 构建数学模型 借助画图 推理等直观的方法 将复杂问题简单化 培养学生一题多解的思维习惯 以及跳出模型看问题的能力 题目的分析 百僧问题一百馒头一百僧 大僧三个更无争 小僧三人分一个 大小和尚各几丁 分析已知条件以及学生解题的疑难点 难点 作出假设以后产生的总数 与原题的数据差 并能合理解决这些数据差 题目的解法一 列方程 百僧问题一百馒头一百僧 大僧三个更无争 小僧三人分一个 大小和尚各几丁 解 设大僧X人 则小僧有 100 人 3 100 100 100 25 75 25 解 设小僧X人 则大僧有 100 人 3x 100 100 75100 75 25 数学思想 寻找等量关系 构建数学模型 解法二 极端假设法 百僧问题一百馒头一百僧 大僧三个更无争 小僧三人分一个 大小和尚各几丁 假设全部都是大僧 3 100 300 个 总相差个数 每僧相差个数 小僧人数 300 100 200 个 3 个 百僧问题一百馒头一百僧 大僧三个更无争 小僧三人分一个 大小和尚各几丁 我们假设有10个大僧 90个小僧 则此时馒头数为10 3 90 1 3 60 个 比实际100个馒头少100 60 40 个 这说明大僧假设少了 而小僧假设多了 小僧多设的 100 60 3 1 3 15 人 所以 大僧有10 15 25 人 小僧有90 15 75 人 解法三 任意假设法 大僧 或小僧 人数 馒头的总数差 个体馒头数差 数学思想 假设 计算 推理 解答化归思想 构建数学模型 解法四 倍增法 百僧问题一百馒头一百僧 大僧三个更无争 小僧三人分一个 大小和尚各几丁 一人1个 一人9个 300馒头 300 100 200 个 100 100 个 3 个 25 个 大和尚100 25 75 个 小和尚 数学思想 转化 推理 构建数学模型 解法五 倍增假设法 百僧问题一百馒头一百僧 大僧三个更无争 小僧三人分一个 大小和尚各几丁 数学思想 转化 假设 小僧人数 9 总人数 馒头总数 9 1 9 100 300 9 1 75 人 大僧人数 100 75 25 人 解法六 分组法 百僧问题一百馒头一百僧 大僧三个更无争 小僧三人分一个 大小和尚各几丁 100 4 25 组 数学思想 数形结合 跳出模型看问题 解法七 比例分配法 百僧问题一百馒头一百僧 大僧三个更无争 小僧三人分一个 大小和尚各几丁 100个和尚分100个馒头 平均每个和尚分100 100 1 个 而一个小和尚比平均数少 1 个 一大和尚比平均数多 3 1 个 根据平均问题的 移多补少 思想 超出总数等于不足总数 故知 1 小和尚人数 3 1 大和尚人数按比例分配可知道小和尚人数是大和尚人数的3倍 用100 4 25 份 大僧 1 25 25 人 小僧 3 25 75 人 题目的变式与推广 传说中的九头鸟有九头一尾 九尾鸟有九尾一头 已知两种鸟共有495个头 455个尾 请问九头鸟和九尾鸟各有多少只 一对鸟 一只九头鸟和一只九尾鸟 共有十头十尾现在头多495 455 40个说明九头鸟多 一只九头鸟比一只九尾鸟多8个头所以九头鸟比九尾鸟多40 8 5只这5只九头鸟有5 9 45个头余下的495 45 450个头可分成450 10 45对因此九尾鸟45只 九头鸟50只 题目的拓展 抢答比赛答对一题加10分 答错一题扣6分 2号选手共抢答8题 最后得分64分 他答对几题 10 6 10 6 16 分 解题收获与思考 解题收获 关注每个学生的参与 尊重学生的个体差异 在对话中生成 在追问中完善 做到解题策略多样化 解题思考 数学的生命力就在于它能够有效地解决现实世界向我们提出的各种问题 而数学模型正是联系数学与现实世界的桥梁 让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进