2019年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质练习（含解析）新人教A版选修.docx

2.3.2双曲线的简单几何性质1.双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为(A)(A)2 (B)2 (C) (D)1解析:因为双曲线-=1的一个焦点为F(4,0),其中一条渐近线方程为y=x,所以点F到x-y=0的距离为=2.故选A.2.下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x的是(C)(A)x2-=1(B)-y2=1(C)-x2=1(D)y2-=1解析:双曲线-x2=1的焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x,选C.3.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于,则双曲线C的方程是(B)(A)-=1(B)-=1(C)-=1(D)-=1解析:依题意得,c=3,e=,所以a=2,从而a2=4,b2=c2-a2=5,故选B.4.实轴长为2,虚轴长为4的双曲线的标准方程是(D)(A)x2-=1(B)y2-=1(C)-=1或-=1(D)x2-=1或y2-=1解析:2a=1,2b=4,焦点在x轴时,双曲线的标准方程是x2-=1,焦点在y轴时,标准方程为y2-=1,故选D.5.已知双曲线-=1(a0)的离心率为2,则a等于(D)(A)2(B)(C)(D)1解析:由双曲线方程知b2=3,从而c2=a2+3,又e=2,因此=4,又a0,所以a=1.故选D.6.设F1,F2分别为双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为(D)(A)(B)(C)4(D)解析:由双曲线的定义知(|PF1|-|PF2|)2=4a2,所以4a2=b2-3ab,即-3=4,解得=4(=-1舍去).因为双曲线的离心率e=,所以e=.故选D.7.直线l经过P(1,1)且与双曲线x2-=1交于A,B两点,如果点P是线段AB的中点,那么直线l的方程为(D)(A)2x-y-1=0(B)2x+y-3=0(C)x-2y+1=0(D)不存在解析:当斜率不存在时,方程为x=1,与双曲线相切不符合题意,当斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得两式相减得-=(-),整理求出k=2,则直线方程为y=2x-1,联立直线方程与双曲线方程消元后检验0,b0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是(C)(A)(,+)(B)(1,)(C)(2,+)(D)(1,2)解析:由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上,其方程为x=.依题意,在双曲线-=1 (a0,b0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个,所以直线x=与右支有两个交点,故应满足a,即2,得e2.故选C.9.已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a=;b=.解析:由2x+y=0,得y=-2x,所以=2.又c=,a2+b2=c2,解得a=1,b=2.答案:1210.已知双曲线标准方程为-=1(a0,b0),一条渐近线方程为y=3x,则双曲线的离心率是.解析:因为双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x,所以=3,则离心率e=.答案:11.与双曲线-=1有相同渐近线,且经过点(3,-3)的双曲线的标准方程是.解析:设所求双曲线的方程为-=(0),因为所求双曲线经过点(3,-3),所以-=,所以=,所以所求双曲线的标准方程为-=1.答案:-=112.过双曲线-=1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为,这样的直线有条.解析:依题意得右焦点F(5,0),所以过F且垂直于x轴的直线是x=5,代入-=1,得y=,所以此时弦长为2=.当直线不垂直x轴时,如果直线与双曲线有两个交点,则弦长一定比长.因为两顶点间距离为4,即左右两支上的点的最短距离是4,所以如果交于两支的话,弦长不可能为,故只有一条.答案:113.分别求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条件的双曲线的标准方程:(1)双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0);(2)双曲线过点(3,9),离心率e=.解:(1)设双曲线的标准方程为-=1(a0,b0).由已知得a=,c=2,再由a2+b2=c2,得b2=1.故双曲线C的标准方程为-y2=1.(2)由e2=,得=,设a2=9k(k0),则c2=10k,b2=c2-a2=k.于是,设所求双曲线方程为-=1,或-=1,把(3,9)代入,得k=-161与k0矛盾;把(3,9)代入,得k=9,故所求双曲线的标准方程为-=1.14.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为且过点(4,-).(1)求双曲线方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:点M在以F1F2为直径的圆上.(1)解:因为离心率e=,所以设所求双曲线方程为x2-y2=(0),则由点(4,-)在双曲线上,知=42-(-)2=6,所以双曲线方程为x2-y2=6.(2)证明:若点M(3,m)在双曲线上,则32-m2=6,所以m2=3,由双曲线x2-y2=6知F1(-2,0),F2(2,0),所以=(-2-3,-m)(2-3,-m)=(-2-3)(2-3)+m2=-12+9+m2=0,所以,故点M在以F1F2为直径的圆上.15.斜率为k的直线过点P(0,1),与双曲线3x2-y2=1交于A,B两点.(1)求实数k的取值范围;(2)若以AB为直径的圆过坐标原点,求k的值.名师点拨:(1)将直线方程与双曲线方程联立,消去一个未知数,利用判别式0求实数k的取值范围;(2)由于以AB为直径的圆过坐标 原点,所以AOB=90,所以=0,所以x1x2+y1y2=0,由此建立关于k的方程,求k的值.解:(1)由(3-k2)x2-2kx-2=0,-kb0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2离心率之积为,则C2的渐近线方程为(C)(A)xy=0(B)x2y=0(C)xy=0(D)2xy=0解析:椭圆C1的离心率为e1=,双曲线C2的离心率为e2=,由题意可得=,可得a2=2b2,即a=b,又双曲线的渐近线方程为y=x,即为xy=0.故选C.17.已知F1,F2分别是双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,若在双曲线的右支上存在一点M,使得(+)=0(其中O为坐标原点),且|=|,则双曲线的离心率为(D)(A)-1(B)(C) (D)+1解析:因为=-,所以(+)=(+)(-)=0,即-=0,所以|=|=c,在MF1F2中,边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半,可得.因为|=|,所以可设|=(0),|=,得()2+2=4c2,解得=c,所以|=c,|=c,所以根据双曲线定义得2a=|-|=(-1)c,所以双曲线的离心率e=+1.故选D.18.已知双曲线E:-=1(a0,b0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.解析:由题2=32c,得e=2.答案:219.已知双曲线C的渐近线方程是y=2x,右焦点F(3,0),则双曲线C的方程为,又若点N(0,6), M是双曲线C的左支上一点,则FMN周长的最小值为.解析:因为双曲线C的渐近线方程是y=2x,右焦点F(3,0), 所以所以双曲线C方程为x2-=1,设左焦点F(-3,0),由双曲线定义可得MF=2a+MF=2+MF,所以FMN的周长为FN+MN+MF=FN+MN+MF+2aFN+FN+2a =+2=6+2.答案:x2-=16+220.已知双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点,实半轴长为.(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l:y=kx+与双曲线C有两个不同的交点A和B,且2(其中O为原点),求k的取值范围.解:(1)由椭圆方程知,椭圆的焦点坐标为(2,0),(-2,0),则双曲线C的焦点坐标为(2,0),(-2,0).设双曲线C的方程为-=1(a0,b0),因为