二次函数综合问题(高考专题-含答案).doc

二次函数综合问题一、转化为最值问题（值域）1、设m是实数，记M=m|m1，f(x)=log3(x24mx+4m2+m+).(1)证明：当mM时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则mM；(2)当mM时，求函数f(x)的最小值；(3)求证：对每个mM,函数f(x)的最小值都不小于1.解：(1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log3(x2m)2+m+,当mM时，m1,(xm)2+m+0恒成立，故f(x)的定义域为R。反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x24mx+4m2+m+0。令0，即16m24(4m2+m+)0，解得m1，故mM。(2)解析：设u=x24mx+4m2+m+，y=log3u是增函数，当u最小时，f(x)最小。而u=(x2m)2+m+，显然，当x=m时，u取最小值为m+，此时f(2m)=log3(m+)为最小值。(3)证明：当mM时，m+=(m1)+ +13，当且仅当m=2时等号成立。log3(m+)log33=1。2、有等根 （1）求的解析式；（2）是否存在实数，使f(x)的定义域和值域分别为和。解： 又f(x)在m，n上是增函数（或对称轴x1n） 存在m-2，n0使f(x)的定义域和值域分别为m，n和2m，2n。3、已知二次函数 （1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；（2）问：是否存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为.解： 二次函数的对称轴是 函数在区间上单调递减 要函数在区间上存在零点须满足 即 解得 当时，即时，的值域为：，即 ，经检验不合题意，舍去。当时，即时，的值域为：，即 经检验不合题意，舍去当时，的值域为：，即 或经检验或满足题意，所以存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为。4、已知函数（）.(I)若的定义域和值域均是，求实数的值；(II)若在区间上是减函数，且对任意的，总有，求实数的取值范围.解：（）,在上是减函数，又定义域和值域均为， ， 即 ， 解得 .(II) 在区间上是减函数，又，且，.对任意的，总有，即 ，解得 ， 又， .5、已知,函数.(1)当时，求所有使成立的的值；(2)当时，求函数在闭区间上的最小值；(3)试讨论函数的图像与直线的交点个数. 解：(1) 所以或;(2), 1O.当时，这时，对称轴， 所以函数在区间上递增，； 2O.当时，时函数； 3O. 当时，这时，对称轴， 所以函数； (3)因为所以，所以在上递增；在递增，在上递减. 因为，所以当时，函数的图像与直线有2个交点； 又当且仅当时，等号成立. 所以，当时，函数的图像与直线有1个交点；当时，函数的图像与直线有2个交点；当时，函数的图像与直线有3个交点；当时，函数的图像与直线有2个交点； 当时，函数的图像与直线有3个交点.二、零点问题（根的分布）6、已知函数和其中（1）若函数与的图像的一个公共点恰好在x轴上，求的值；（2）若和是方程的两根，且满足，证明：当时，解：（1）设函数图像与x轴的交点坐标为（，0），（2）由题意可知,当时，即又,2c2b，求证：(1)a0且3；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x1、x2是函数f(x)的两个零点，则|x1x2|2c2b，3a0,2b0，b2c2b，3a3a2b2b.a0，30时，a0，f(0)c0且f(1)0，f(1)0，函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点综合得f(x)在(0,2)内至少有一个零点(3)x1、x2是函数f(x)的两个零点，则x1、x2是方程ax2bxc0的两个根，x1x2，x1x2，|x1x2| .3，|x1x2|.8、已知是实数, 函数. 如果函数在区间-1,1上有零点,求的取值范围.解：若,则,令,不符题意, 故2分 当在 -1,1上有一个零点时,此时或6分 解得或 8分 当在-1,1上有两个零点时,则10分 解得即12分 综上,实数的取值范围为. 14分(别解:,题意转化为知求的值域,令得转化为勾函数问题.)13、已知函数。（1）将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式；（2）函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式；（3）设，已知的最小值是，且，求实数的取值范围。解：(1)(2)设的图像上一点，点关于的对称点为，由点在的图像上，所以 ，于是 即 （3）.设，则.问题转化为：对恒成立. 即 对恒成立. （*）故必有. （否则，若，则关于的二次函数开口向下，当充分大时，必有；而当时，显然不能保证（*）成立.）此时，由于二次函数的对称轴，所以，问题等价于，即，解之得：.此时，故在时取得最小值满足条件.6.（2007浙江文）(本题15分)已知 (I)若k2，求方程的解； (II)若关于x的方程在(0，2)上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明（）解：（1）当k2时，当时，1或1时，方程化为2解得，因为，舍去，所以当时，11时，方程化为解得，由得当k2时，方程的解所以或 (II)解：不妨设0x1x22，因为所以在（0,1是单调函数，故0在（0,1上至多一个解，若1x1x22，则x1x20，故不符题意，因此0x11x22由得，所以；由得，所以；故当时，方程在(0，2)上有两个解因为0x11x22，所以，0消去k 得即，因为x22，所以21（本小题满分12分）解：由知，方程和方程都有实根，且实数根相同.（）因为，所以,即若，时，的根为0，而的根也是0，方程和都只有一个实根0,适合题意.若，时，的根为0，而的根也是0，当时，的根为0和，而的根不可能为0和，所以必无实数根，所以所以，从而,所以当时，.（），所以