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曲线积分期末复习 一 对弧长的曲线积分的计算 二 对坐标的曲线积分的计算 机动目录上页下页返回结束 第十章 三 格林公式 四 曲线积分与路径无关的条件 一 对弧长的曲线积分的计算 1 基本方法 第一类曲线积分 对弧长 1 若曲线由 转化 定积分 参数方程 3 若曲线由极坐标方程 2 若曲线由直角坐标方程 注意1 第一类曲线积分的上下限 下小上大 机动目录上页下页返回结束 2 练习题 1 计算 其中L为下半圆周 解 法1 利用极坐标 原式 机动目录上页下页返回结束 原式 注意2 曲线积分的积分区域是关于x y的等式 因而被积函数中的x y满足积分曲线L的方程 所以可直接代入化简积分因子 法2 曲线方程为 原式 2 计算 其中L为圆周 解 利用极坐标 原式 3 计算 且周长为 解 由于积分曲线方程为 其中L为椭圆 4 设空间曲线L为 曲线积分 提示 由于交线中有 所以 从而 5 设L为左半圆周 将曲线积分 化为定积分的正确的 结果是 提示 直接套公式 所以 左半圆 二 对坐标的曲线积分的计算 1 基本方法 第二类曲线积分 对坐标 转化 定积分 1 曲线用参数方程表示 2 曲线用直角坐标方程表示 确定积分上下限 下始上终 机动目录上页下页返回结束 1 计算 其中L为xoy平面y b上一段 解 由于积分曲线为 由公式化为定积分 所以 机动目录上页下页返回结束 将 代入 中 得 2 练习 2 计算 其中L为 1 半径为a圆心在原点的 上半圆周 方向为逆时针方向 2 从点A a 0 沿x轴到点B a 0 解 1 取L的参数方程为 则 2 取L的方程为 则 3 计算 其中L为摆线 上对应t从0到2 的一段弧 提示 机动目录上页下页返回结束 三 格林公式 注意 1 L为正向曲线 2 具有一阶连续偏导数 2 练习 的正向 则曲线积分 1 设L取圆周 机动目录上页下页返回结束 1 C 提示 由于 原式 2 计算 其中L是从点 的上半圆周 解 机动目录上页下页返回结束 3 格林公式应用求面积 机动目录上页下页返回结束 正向闭曲线L所围区域D的面积 例如 椭圆 所围面积 2 闭区域D是由简单闭曲线L 正向 所围 下系列积分不等于D的面积的积分是 提示 C 四 曲线积分与路径无关的条件 设D是单连通域 函数 在D内 具有一阶连续偏导数 则有 1 计算 其中L是沿逆 时针方向以原点为中心 解法1令 则 这说明积分与路径无关 故 a为半径的上半圆周 机动目录上页下页返回结束 练习 解法2 它与L所围区域为D 利用格林公式 思考 2 若L同例2 如何计算下述积分 1 若L改为顺时针方向 如何计算下述积分 则 添加辅助线段 机动目录上页下页返回结束
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