§_7_空间解析几何与向量代数习题与答案

1 第七章 空间解析几何与向量代数 A 一 1 平行于向量 6 7 6 a的单位向量为 2 设已知两点 2 0 3 1 2 4 21 MM和 计算向量 21M M的模 方向余弦和方向角 3 设kjipkjinkjim45 742 853 求向量pnma 34在 x 轴 上的投影 及在 y 轴上的分向量 二 1 设kjibkjia 2 23 求 1 babababa23 2 2 及 及 3 a a b b 的 夹角的余弦 2 知 3 1 3 1 3 3 2 1 1 321 MMM 求与 3221 MMMM同时垂直的单位向量 3 设 4 1 2 2 5 3 ba 问 与满足 时 轴zba 三 1 以点 1 3 2 为球心 且通过坐标原点的球面方程为 2 方程0242 222 zyxzyx表示 曲面 3 1 将xOy坐标面上的xy2 2 绕x轴旋转一周 生成的曲面方程为 xyx2 22 曲面名称为 2 将 xOy 坐标面上的绕 x 轴旋转一周 生成的曲面方程 曲面名称为 3 将 xOy 坐标面上的3694 22 yx绕 x 轴及 y 轴旋转一周 生成的曲面方 程为 曲面名称为 4 在平面解析几何中 2 xy 表示 图形 在空间解析几何中 2 xy 表示 图形 5 画出下列方程所表示的曲面 1 4 222 yxz 2 4 22 yxz 2 四 1 指出方程组 3 1 9 y 4 x 22 y 在平面解析几何中表示 图形 在空间解 析几何中表示 图形 2 求球面9 222 zyx与平面1 zx的交线在 xOy 面上的投影方程 3 求上半球 222 0yxaz 与圆柱体 0 22 aaxyx的公共部分在 xOy 面及 xOz 面上的投影 五 1 求过点 3 0 1 且与平面 3x 7y 5z 12 0 平行的平面方程 2 求过点 1 1 1 且平行于向量 a a 2 1 1 和 b b 1 1 0 的平面方程 3 求平行于 xOz 面且过点 2 5 3 的平面方程 4 求平行于 x 轴且过两点 4 0 2 和 5 1 7 的平面方程 六 1 求过点 1 2 3 且平行于直线 5 1 1 3 2 zyx 的直线方程 2 求过点 0 2 4 且与两平面12 zx 23 zy平行的直线方程 3 求过点 2 0 3 且与直线 01253 0742 zyx zyx 垂直的平面方程 4 求过点 3 1 2 且通过直线 12 3 5 4zyx 的平面方程 5 求直线 0 03 zyx zyx 与平面01 zyx的夹角 6 求下列直线与直线 直线与平面的位置关系 1 直线 72 72 zyx zyx 与直线 11 3 2 1 zyx 2 直线 4 3 1 2 3 2 zyx 和平面 x y z 3 7 求点 3 1 2 到直线 042 01 zyx zyx 的距离 B 1 已知0 cba cba 为非零矢量 试证 accbba 2 1 1 1 3bababa 求 3 3 已 知a和b为两非零向量 问t取何值时 向量模 tba 最小 并证明此时 tbab 4 求单位向量n 使an 且xn 轴 其中 8 6 3 a 5 求过z轴 且与平面052 zyx的夹角为 3 的平面方程 6 求过点 2 1 4 1 M 1 5 3 2 M 且垂直于07326 zyx的平面 7 求过直线 022 012 zyx zyx 且与直线 2 l 211 zyx 平行的平面 8 求在平面 1 zyx上 且与直线 1 1 z y L 垂直相交的直线方程 10 求曲线 3 02 22 z xzy 在xoy坐标面上的投影曲线的方程 并指出原曲线是什么曲 线 11 已知kjOBkiOA3 3 求OAB 的面积 12 求直线 0923 042 zyx zyx 在平面14 zyx上的投影直线方程 C 1 设向量cba 有相同起点 且0 cba 其中0 不全为零 证明 cba 终点共线 2 求过点 1 2 1 0 M 且与直线L 1 2 1 1 2 2 yx 相交成 3 角的直线方程 3 过 4 0 1 且平行于平面01043 zyx又与直线 21 3 1 1zyx 相交的直线方 程 4 求两直线 1 L 110 1 zyx 与直线 2 L 0 2 36 zyx 的最短距离 5 柱面的准线是xoy面上的圆周 中心在原点 半径为 1 母线平行于向量 1 1 1 g 求此柱面方程 6 设向量 a ba b 非零 3 2 bab 求 x axba x 0 lim 4 7 求直线 1 2 1 2 yz yx L绕 y 轴旋转一周所围成曲面方程 第七章 空间解析几何与向量代数 11 6 11 7 11 6 习 题 答 案 A 一 1 2 21M M 2 2 1 cos 2 2 cos 2 1 cos 3 4 3 3 2 3 a在 x 轴上的投影为 13 在 y 轴上的分量为 7j 二 1 1 3 1 2 2 1 13 ba kji kji ba75 121 213 2 18 63 2 baba kjibaba14210 22 3 212 3 cos ba ba ba 2 2 2 0 1 4 2 3221 MMMM kji kji MMMMa446 220 142 3221 172 4 172 4 172 6 a a 即为所求单位向量 3 2 三 1 14 2 3 1 222 zyx 2 以 1 2 1 为球心 半径为6的球面 3 1 xzy2 22 旋转抛物面 xzyx2 2 222 球面 5 3 绕 x 轴 36994 222 zyx旋转双叶双曲面 绕 y 轴 36944 222 yzx旋转单叶双曲面 4 抛物线 抛物柱面 5 四 1 平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点 空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平 面的交线 2 0 822 22 z yxx 3 在 xoy 面的投影为 0 2 222 z ay a x 在 xOz 面的投影为 0 222 y azx 五 1 04573 zyx 2 0 1 3 1 1 1 1 zyx 3 05 y 4 029 zy 六 1 5 3 1 2 2 1 zyx 2 1 4 3 2 2 zyx 3 065111416 zyx 4 0592298 zyx 5 0 6 1 垂直 2 直线在平面上 7 2 23 B 1 证明思路 0 cba 0 cbaa 即0 cababa 又0 aa accaba 同理得 cbba 2 思路 sin bababa cos bababa 答案 6 ba 3 思路 2 2222 batbtatbatbatba 6 该式为关于t的一个 2 次方程 求其最小值即可 答案 2 b ba t 4 思路 取ib 则bnan 答案 68 10 1 kjn 5 思路 平面过z轴 不妨设平面方程为0 ByAx 则 0 BAn 又 BA 不全为0 答案 所求平面方程为03 yx或0 3 1 yx 6 法一 所求平面法向量 21M Mn 且 3 2 6 1 nn 取 10 3 6 326 347 121 kji nMMn 又平面过点 2 1 4 1 M 则平面方程为071036 zyx 解法 2 在平面上任取一点 zyxM 则 211 MMMM和 3 2 6 1 n 共面 由三向量 共面的充要条件得0 347 326 214 zyx 整理得所求平面方程 7 思路 用平面束 设过直线 1 l的平面束方程为0 22 12 zyxzyx 答案 平面方程为0114311 zyx 8 思路 求交点 1 1 1 过交点 1 1 1 且垂直于已知直线的平面为01 x 答案 1 01 zyx x 9 思路 重力的方向可看作与向量k方向相反 答案 JggMMFW5880600 6 100 3 0 2 0 21 10 思路 先求投影柱面方程 答案 原曲线在xoy面上的投影曲线方程为 0 092 2 z xy 原曲线是由旋转抛物面02 22 xzy被3 z平面所截的抛物线 11 思路 2 1 OBOAS OAB 答案 2 19 7 12 思路 利用平面束方程 答案 14 0117373117 zyx zyx C 1 证明 设aOA bOB cOC 根据三角形法则 则abAB acAC bcBC 根据条件 不全为0 不妨设0 则a ba acAB aba 即 AC与AB共线 点CBA 在一条直线上 2 解 在已知直线L上任取两点 0 1 2 1 P 1 0 0 2 P 则向量 2 2 1 1 1 3 0201 MPMP 则构造直线束方程 L 2 1 2 2 13 1 yx 表示过点 0 M且与已知直线共面的所有直线 根据已知条件 当 L与L成 3 角时 有 3 cos 2 1 2 1 2 13 即 2 1 24 8 5 所求直线方程为 21 1 21 2 23 1 zyx 3 解 设所求直线方程为 p z n y m x41 所求直线与已知平面平行 则043 pnm 1 又所求直线与已知直线共面 在已知直线上任取一点 0 3 1 则 4 3 0 10 MM在平面上 三向量共面 得0 430 211 pnm 即03410 pnm 2 由 1 2 得28 19 16 pnm 所求直线方程 28 4 1916 1 zyx 4 解 已知两直线的方向向量为 0 3 6 1 1 0 21 SS 故垂直于两方向向量的向 量n可取为kjiSSn663 21 又点 0 0 1 在直线 1 L上 过直线 1 L且平行于 2 L的平面为066 1 3 zyx 即0122 zyx 又点 8 2 0 0 在直线 1 L上 该点到平面0122 zyx的距离 1 221 3 222 d为所求两直线间的最短距离 5 解 设柱面上任意一点 zyxM 过M作平行于向量g的母线且准线相交于 0 000 yxM 又gMM 0 即gMM 0 0 xx 0 yy z 又 0 M 在圆上 1 2 0 2 0 yx 1 22 yx 即1 22 zyzx 6 解 1 3 cos2 2 2 2 lim 2 lim lim limlim 2 0 2 2 0 0 22 00 a ba axba bxba a