2018届高考（新课标）数学（理）大一轮复习（课件+检测）（基础梳理+热点题型+演练提升）-第四章 三角函数、解三角形 (8)

4.8解三角形的综合应用考纲要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题,1仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_叫仰角，目标视线在水平视线_叫俯角(如图),上方,下方,2方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等3方位角指从_方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图),正北,4坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比,(4)如图，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，进行计算()【答案】 (1)(2)(3)(4),【答案】 D,2若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15 B北偏西15C北偏东10 D北偏西10,【解析】 如图所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015.点A在点B的北偏西15.【答案】 B,【答案】 B,4轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是_n mile.【解析】 设两船之间的距离为d，则d250230225030cos 1204 900，d70，即两船相距70 n mile.【答案】 70,题型一求距离、高度问题【例1】 (1)要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，则A，B之间的距离为_km.,(2)(2015湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.,【解析】 (1)如图所示，在ACD中，ACD120，CADADC30，,【方法规律】 求距离、高度问题应注意(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念；(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理,跟踪训练1 (1)一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75的方向上，距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为_海里/小时,(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_m.,题型二求角度问题【例2】 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值,【解析】 如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.,【方法规律】 解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用,跟踪训练2 如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值,题型三三角形与三角函数的综合问题【例3】 (2017湖南四月调研)在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且(2bc)cos Aacos C.(1)求角A的大小；(2)若a3，b2c，求ABC的面积【解析】 (1)由(2bc)cos Aacos C，得2sin Bcos Asin Acos Csin Ccos A，得2sin Bcos Asin(AC)，所以2sin Bcos Asin B，,【方法规律】 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题,思想与方法系列9函数思想在解三角形中的应用【典例】 (12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇,(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由【思维点拨】 (1)利用三角形中的余弦定理，将航行距离表示为时间t的函数，将原题转化为函数最值问题；(2)注意t的取值范围,【温馨提醒】 (1)三角形中的最值问题，可利用正弦、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型)，转化为函数最值问题(2)求最值时要注意自变量的范围，要考虑问题的实际意义.,方法与技巧1利用解三角形解决实际问题时，(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义2在三角形和三角函数的综合问题中，要