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如何提高学生的运算能力小课题研究结题报告高二数学备课组 黄勇一、课题研究的起源在实际的教学中，学生的智力达到一定水平，可是成绩并没有提高多少。究其原因，我发现学生对教师讲授的知识理解掌握很快，可是在自己进行练习的时候，错误率极高，而很多原因可以归于运算错误，常常出现知识要点掌握了，方法会了，运算屡屡出错，所以数学学习的效果不理想。这是目前数学教学中随处可见的现象，让我们有时真的很无助。通过期中考试试卷分析，我们也发现，学生的运算能力低下成为失分的主要问题，好多错误都是因运算失误而致。为此，如何进一步提高学生的运算能力，提高数学学习质量，成为值得我们思考的迫切问题。二、课题研究的思考和构思（一）课题研究的思考运算能力是教学的三大基本能力之一,是数学各种能力的基础。运算能力是指对具体数值进行计算和对数或式进行变换的能力。学生在初中时习惯用计算器,导致大量高中生运算能力差.这极大的阻碍了数学学习质量的进一步提高。我们也可从学生考试的试卷、作业中看到学生计算错误百出，有很多是方法正确但计算错误，还有就是列得出式子但算不出来。（二）课题研究的构思根据美国教育进步评估会的最新报告，过去十年中，美国的四年级和八年级学生的数学运算能力已经大大提高。但是，只有25的学生能够熟练进行数学运算。每四年，美国教育进步评估会都会对约10万学生进行调查。目前，已经有40个州参加这项调查。美国教育进步评估会对数学运算能力熟练与否进行了详细的定义。所谓熟练，就是说学生遇到有挑战性的问题时，可以展示“扎实的学术表现”，既能自己解决问题，又能在此基础上有所突破。所谓熟练程度低，就是说学生只能部分掌握学校所要求的数学知识和技能来解决问题。这项调查还表明：(1)在四年级，每天用计算器的学生数学成绩较差，但是年级至12年级的情况正好相反，这类学生通常都是尖子生。(2)学生如果师从于备课认真或专业能力强的教师，那么其成绩通常较高。(3)四年级的学生中，每天用15至30分钟完成家庭作业的人比那些用更长时间的学生成绩好；而12年级的学生中，两类学生成绩差不多。有学者对我国部分地区七、八、九年级学生运算能力进行调查表明，学生运算能力也不容乐观。有学者认为学生运算能力低下都是“计算器惹的祸”，长期使用计算器，减少了学生计算能力的训练，导致学生对数字的不敏感，不利于学生的动手计算能力和数学思维的发展，目前，已有合肥、南京、西宁等全国多数城市中考禁用计算器。现行的初中教材没有很多基础知识的计算公式，也没有运用公式计算的例题和习题，淡化了定性的计算，从而造成学生计算题做得少，加上学生过分依赖计算器，也没有受到解答计算题的格式、步骤和方法的规范训练，在高中阶段引发了一系列问题。不少老师也埋怨：“学生的计算能力太差了，连简单的运算都过不了关，甚至数学基础好的学生的运算结果也经常出错。”高考中的三角函数、立体几何、解析几何及压轴题都要求很强的运算能力，但现实是，很多高中生对数字没有感觉，运算能力偏弱，这让高中老师很头疼。这种状况出现的原因是多方面的。有的学生不对简单的公式、公理、定理进行记忆、理解，不明算理，机械地照搬公式，不能进行灵活运用；有的学生不注意观察、不进行联想、不进行比较，不顾运算结果，盲目推演，缺乏合理选择简捷运算途径的意识；也有的学生对提高运算能力缺乏足够的重视，他们总是把“粗心”、“马虎”作为借口。也有相当多的老师只着重解题方法和思路的引导，而忽视对解题思路的归纳总结。三、课题研究的实施ABCDXY合理运算对于加强学生运算能力的训练也是一种不错的办法，它可以节省时间和精力，而且由于避免了烦琐的运算，更能保证减少错误。课堂上提醒学生注意利用图形，结合目标，简化运算，避免盲目推演而造成的无益的循环运算。下面以高中数学必修2中4.2.3直线与圆的方程的应用这一节的例5为例加以说明。例5：已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这边所对边长的一半。1.做题前，先要求学生完整地看题，看清所涉及的几何元素以及相互关系，进行初步感知，并画出图形圆O和四边形ABCD；2.在看清题目的基础上，引领学生弄清几何元素的特点以及它们之间的关系根据具体情况选择合理的方法，即选择互相垂直的两条对角线AC和BD所在的直线为x轴,y轴，并写出A,B,C,D的坐标，结合图形做出圆心到一边的距离OE和所对边BC的长。3.在确定运算步骤和方法后，是学生明白本题的关键是找出圆心O 的坐标。结合在圆中弦的几何特征，过O作AC的垂线，垂足为M，M是AC的中点，垂足M的横坐标与O 的横坐标一致，同法可求出O 的纵坐标。这时多给学生练习的时间，提醒他们尽量做到：正确用运公式两点间距离公式和终点坐标公式认真地进行计算；要及时回头看，检查算法是否合理，数据运算符号是否抄错，负号是否漏掉，计算结果是否错误等。4.最后把代数用算结果再回到几何结论中。运算能力的培养途径（一）学生自我训练1.准确理解和牢固掌握各种运算所需的概念、性质、公式、法则和一些常用数据；对于概念、性质、公式、法则的理解深刻的程度直接影响方法的选择与运算速度的快慢。概念模糊，公式、法则含混，必定影响运算的准确性。为了提高运算的速度，熟记一些常用的数据仍是必要的。如20以内的自然数的平方数，简单的勾股数，特殊三角函数值， lg2、lg3、 、e精确到0.001的近似值等。2.掌握运算的通法、通则，灵活运用概念、性质、公式和法则进行运算。编制、收集一些灵活性较大的练习题，从习练中归纳、积累经验，形成熟练技巧，以提高运算的简捷性和迅速性。3.学习中注意教师及例题的典型示范，明确解题的目标、计算的步骤及其依据。通过典型示范比较顺利的由理解知识，过渡到应用知识，从而形成运算能力。4.提高运算中的推理能力数学运算的实质是根据运算定义及性质，从已知数据及算式推导出结果的过程，也是一种推理的过程。运算的正确性与否取决于推理是否正确，如果推理不正确，则运算就出错。在运算推理中要特别注意等价变换。5.注意关于数、式的恒等变形（变换）能力的训练。(1)符号变换，例如，去括号、添括号时的符号变换。(2)互逆变换，例如，加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、微分与积分等。(3)配方变换。例如，(4)分解变换，例如， 已知x-y=3，y-z=5，求x-z，可以分解x-z=(x-y)+(y-z) 。(5)换元变换，例如，引入辅助元素，构造辅助函数，添加辅助线，添设参变量等。6.加强运算练习任何能力都是在一定的实践活动中形成和发展起来的，为了有效的提高学生的运算能力就必须加强练习，练习要有目的性、系统性、典型性。通过一题多变、一题多改、一题多解、一法多用，消除定势思维，加强比较意识，培养运算的熟练性、准确性、灵活性、组织性。以题组训练形式培养学生运算过程中思维的深刻性，提高运算能力。7.养成验算的习惯，掌握验算方法.在进行题目求解的运算的过程中或结束时还须对运算的过程和结果进行检验，以便及时纠正运算过程或结果中出现的错误，并掌握验算方法。例如，解方程，可以把解代入原方程检验，对于解分式方程、无理方程、对数方程、指数方程还可以从未知数的取值范围来检验。检验的方法通常有：还原法、代值法、估值法、逆运算等养成检验、检查的习惯，提高运算过程的思维监控能力，这是形成和发展运算能力的具体要求之一，在学习中不容忽视。8.面对复杂运算的时候，常常要注意以下两点：情绪稳定，算理明确，过程合理，速度均匀，结果准确；要自信，争取一次做对；慢一点，想清楚再写；少心算，少跳步，草稿纸上也要写清楚。（二）教师积极引导数学运算贯穿于数学学习的全过程，其重要性众所周知。有的学生不会根据题意,灵活选择适当的办法,只会硬套现成的模式,把与题目无关的问题生搬到一起,将简单问题复杂化,导致运算过程繁琐，影响了正常的解答运算能力是运算技能和逻辑思维能力的结合,要求学生不仅会根据法则、公式等正确地进行运算，而且要理解算理，能根据条件寻求合理、简捷的计算途径，达到迅速准确的目的因此，教师在教学中，可从以下几方面加强对学生的引导。、夯实三基，确保运算的准确性数学的基本概念，基本性质和基本方法是一切数学运算的基础学生的运算能力不高，往往与三基掌握不好有直接关系经常看到，学生只是在整个运算的过程中的某一环节出现失误，（往往是概念不清、公式记错、性质忘记、基本方法没掌握）就导致了整个运算的错误许多学生常把这些运算的失误，简单地归结为粗心、马虎，甚至有的学生误以为随着计算机和计算器技术的发展普及，运算能力用不着提高，其实不然，运算的准确性不单只是纯粹的计算，它涉及面广，是需要多方面因素的相互作用的它需要对概念的准确理解，对公式的准确记忆，对性质的准确掌握，还要有一定的思维能力的配合，才能保证运算结果的准确无误因此，教学时，应该重视基础知识，必须使学生理解与掌握各种与运算有关的概念、性质、公式、法则、算律等，弄清它们的来龙去脉及各种应用，常出些与它们有关的正误辨析，正用、逆用的系列练习，使学生有着扎实的基础，保证运算的准确性2.优化算理算法，保证运算的合理性运算的合理性是运算能力的核心它是指运算过程要符合算理，每一步都应有所依据它主要的表现在于如何确定运算的目标，合理地寻找最佳的运算途径运算的过程包含着思维过程,运算离不开思维.运算的目标,变形的方向,运算的路径,它们之间是密切相关的.从运算的目标出发,研究变形的方向,最终产生判断,确定合理的运算途径.这一系列的活动都是运算过程中的思维活动,是运算合理性的表现.有时还会出现一题有多种不同的运算途径,繁简不同,则应加以比较,合理选择最佳方案,最优化的算法.因此,教学中应注意在培养学生思维能力上下功夫,注重一题多解,比较解答的优劣.平时应多鼓励学生对一道题的多角度,多方位的探索,对提出不同见解的学生应给予肯定,积极发展学生的思维品质,促使运算能力的提高.3、深入观察、思考,培养运算的灵活性.在对常规算法研究的基础上，针对具体问题，深入研究其非常规算法，提高运算的灵活性。如解方程 (x-1)(x+2)=70。该题的一般解法是把方程化成标准的一元二次方程求解。但若把x-1,x+2分别视为一整体,由于x+2与x-1的差为3,故可把70分解成差为3的两数之积,从而求其解.即原方程为(x-1)(x+2)=710=(-10)(-7),且x-1x+2,所以x-1=7或x-1=-10,所以x=8或x=-9.可以看出,题目的非常规解法往往来源于对原题结构形式的观察思考,具有较强的灵活性.教学中应经常和学生一起探索问题的非常规解法.对运算对象进行深入观察分析,培养学生运算的灵活性。4. 追求简便快捷,培养运算的简捷性。运算的简捷性即是表现运算过程简捷迅速.在运算过程中,概念、性质、公式等掌握的熟练程度、灵活程度以及数学思想方法和基本方法的合理使用,在运算的简捷性中都有着重要的作用。如等差数列公式求,则计算量较大.如果从等差数列定义出发,对等差数列产生深层次的认识,挖掘出,- ,-也成等差数列的这一性质,则计算量就变得很小。可见,一些对简化运算起着重要作用的常见结论、性质等,教学时可以加以补充或引导学生加以挖掘,归纳总结,对运算的简捷性将有所帮助。因此，教师在教学中要善于引导学生积极思考,所用解法是否最优?并总是以怀疑和挑剔的眼光去审视已有的解法,使学生养成追求简便快捷的意识,培养学生的运算能力。5.让学生养成良好的运算习惯。运算是一项很严谨、细致有要求准确无误的工作。一定要有良好的习惯才能很好的完成，具体要求如下：（1）认真审题的习惯。审题是解题的基础。只有认真审题、看清楚要求、看清楚数据和符号，分清运算顺序，才能正确地进行计算。只有长期坚持有目的的审题训练，使学生认识到审题的重要性，从而养成认真审题的习惯。（2）书写工整，格式规范的习惯。书写是否认真，格式是否规范，直接反映学生的学习态度是否端正，也直接影响到运算的正确性。如把数写的不规范，字写的看不清，诸如此类的错误，都是因为书写不认真或格式不规范造成的。所以一定要培养学生书写工整，格式规范的习惯。（3）及时验算的习惯。验算是运算过程中一个必不可少的环节，它可以帮助学生自我评价，少出错，提高计算正确率。但是日常教学中，学生往往对验算有厌恶的抵触情绪，这是因为学生对验算目的不明确，教师有时对如何运用验算来提高和保证计算的正确缺乏具体的指导和要求。因此，教师在教学过程中凡遇到运算都要强调和坚持验算，让学生引起重视。长期坚持，从小养成做事严谨的习惯，同时还可以培养学生的责任心。（4）使用草稿纸的习惯。草稿纸展现的是你的答题思路。利用草稿纸，可以迅速找到上次的思维断点，从而继续攻破。关键结论要特殊标记。起码你清楚你已经做到了哪一步。如果没有草稿纸的话，这一步推出来了，往往又忘了上一步是怎么得到的。因此检查过程中，草稿纸更是最好的帮手。如果连演算过程都可从草稿纸上清晰找到的话，无疑会节省大量时间。教师必须要求学生在做题过程中随时准备好草稿纸。四、课题研究的总结和反思1.坚持阶段性原则。运算能力是思维能力与运算技能的结合，是解决问题的一种必备能力。学生运算能力的差异，主要表现在运算心理的四种品质，即运算的正确性、迅速性、灵活性和合理性上。因此，培养学生的运算能力，必须从培养、训练、协调、发展运算的各能力因素入手。培养和发展某一种运算的运算能力大致经历以下几个阶段：()理解有关运算的基本知识到形成这种运算的技能的阶段。()从运算技能上升到运算能力的阶段。()在各种应用中，进一步提高运算能力的阶段。首先要完成从知识到技能的过渡，重点是准确理解有关知识，熟练有关运算的方法、步骤，应该本着“先慢后快”、“先死后活”的原则。随着运算技能的形成，逐渐简化运算步骤，灵活运用法则、公式。培养学生合理选择简捷运算途径的意识和习惯。计算能力的初步形成，还必须在今后应用中得到巩固、发展和深化。在应用过程中，运算的目的不一定是追求一个简化的结果，而且要为一定的推理、演绎、判断服务。2.突出算法思想原则。运算能力培养的出发点和着眼点不仅是“计算”，且更有利于学生思维品质的提高，促使学生对算理、算法的理解，对解题策略的合理、灵活地运用尤为重要。要重视培养良好的运算习惯，必须以算法思想统帅数学解题活动，扎实做好算法分析、算法设计、算法评价，真正做到在正式动手之前算理明晰、算法合理。(1)把好审题关，抓好审题训练审题训练能培养学生最初定向能力。增进运算方向的正确性。要做一个运算问题，首先要做到审视性读题、多角度观察、综合性思考，以确定运算方向，过好审题关。细心阅读题目，看清数字、运算符号，观察数的特点及数与数之间的联系，考虑按什么顺序进行运算？能不能简便运算？什么地方可以口算？估计题目的结果在一个怎样的范围内？(2)抓好计算关，优化运算过程和运算方法的训练优化运算方法，可以提高运算的合理性。我们要重视数学思想对运算的指导作用。数学思想是数学的基本观点，是数学中最本质、最高层次的东西，它是优化运算过程和运算方法的指导原则，是解决运算合理性的基本策略的源泉，是数学运算的灵魂。指导数学运算最常用的是化归思想，即把要解决的运算问题转化为已经具