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数学竞赛选拔赛试题及答案（9月14日讲课稿）一、 求极限解法一：由于，因此 因此解法二：二、设在连续，在可导，又。证明：存在，使得证明：由于在连续，在可导，由拉格朗日微分中值定理知，至少存在一点，使得， 由于 ，设，由于分别在连续，在可导，由柯西微分中值定理知，至少存在一点，使得， 因此至少存在，使得三、设，都存在一阶连续偏导数，求 解 设，由方程确定隐函数，两边分别对求偏导数得到，得到 ，得到 四、设函数具有连续的导函数，计算曲面积分其中曲面的方程为，取下侧解 作辅助平面，平面与锥面围成锥体，设锥体的底面上侧为， ， 则，。由奥-高公式得到 对平面，其上侧各点的法向量与正向平行，有因此 五、将函数展开成的幂级数，并求级数的和。解：由于函数的导数为，则函数展开成的幂级数为（） 则 当时， ，（），（）当时，级数收敛。所以 ，（），则 六、求通过直线且与直线平行的平面方程 解法一：设所求平面的法向量为。直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为由题意知，即 ，解之，由于所求平面通过直线，因此点在所求平面上。所求平面方程为，即解法二：在直线上确定两点，得到该直线的方向向量，在根据解法一可得到所求方程。七、设，证明数列极限存在并求。证明：由于，因此数列有上界。设，当时， ，因此数列单调递增有上界存在极限。设，则，即 八、设，证明：（1）当时，级数收敛。（2）当，且时，级数发散。证明：（1）证法一：由于，数列单调增加，当时，有 数列单调增加有上界，因此当时，级数收敛。（1）证法二：令，将在区间上应用拉格朗日中值定理，存在，有，即 当时，显然有界。即级数收敛。 （2）当，由于，数列单调增加，所以由于，对，有，从而。所以级数发散。 当时，而级数发散，由正项级数的比较审敛法知，级数发散。九、设函数在闭区间上具有连续的三阶导数，且，求证：在开区间内至少存在一点，使得。证明：由麦克劳林公式得，在上式中分别取和得 ，两式相减得 由于在闭区间上连续，因此在闭区间上有最大值和最小值，从而。再由连续函数的介值定理，至少存在一点，使得练习题：1、证明下列数列极限存在并求数列的极限（1）设，。（2）设，。（3）设，并求。2、已知，求的值。（）3、填空与选择题（1）设周期函数在内可导，周期为4，又，则曲线在点处的切线的斜率为 。（2）已知函数在区间内具有二阶导数，严格单调减小，且，则（ ）（）在和内均有；（）在和内均有；（）在内有，在内有；（）在内有，在内有。（3）当时，下列四个无穷小量，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量（ ）（）；（）；（）；（）。（）4、求下列极限（1）已知，求。（2）。（3）。5、设函数具有
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