概率论期中考试的知识点梳理及一些说明.doc

一、 关于期中考试 期中考试本想是给大家开个串讲班，画画重点什么的。但从李老师那边没得到什么有用信息，没有针对性，也就没开。包括我有写邮件问老师要过试卷，想看看老师的出题风格及难易程度，以便有针对性的给大家开答疑课，李老师未予回复。周六早上上课前也有问李老师要不要给大家说说考试范围什么的，李老师也没说什么，就说上完课她给大家答疑，那结果大家都知道，也没说什么有用的信息。我也不是李老师的学生，之前也不认识李老师，也没上过她的课，所以真不了解她的出题风格，但我觉得她应该不会太为难大家，咱们也不用过于担心。平常周六第一节课的答疑也基本没人问问题，那现在距期中考还有5天的时间，大家有什么问题这几天随时可以找我，电话、短信、QQ、微信什么都可以。TQ：944540073 微信：原来的我第三章习题的答案已经上传到群共享，大家可以自行下载。作业的话，因为期中考试大家时间都比较紧，可以先不用交，等考完试上课也即11月23号再交。下面是我对这三章知识点的一个梳理，每章的考点是按照我自己的理解化的，大家自行参考。课本上的例题和课后习题，大家一定要去做，把这些题弄会了，考试的话基本上没问题。习题可以先把每次的作业题做会，有多余的时间再去做剩下的。可以不算出结果，但解题思路要写出来，这样才能真正会做。对于重复的同类型的题，只做会一道就可以。对个别实在没时间做习题的，那就只能对着答案把习题过一遍。第1讲 随机事件和概率可能的题型：事件的运算；全概率与贝叶斯；条件概率；用古典概型、几何概型、伯努利概型求概率。11 知识网络图1.2 一些预备知识，主要是关于排列组合的，供基础相对薄弱的同学参考。 组合分析中的几个定理（1）加法原理定理1 设完成一件事有n类方法，只要选择任何一类中的一种方法，这件事就可以完成若第一类方法有m1种，第二类方法有m2种，第n类方法有mn种，并且这m1m2mn种方法里，任何两种方法都不相同，则完成这件事就有m1m2mn种方法（2）乘法原理定理2 设完成一件事有n个步骤，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，第n步有mn种方法，并且完成这件事必须经过每一步，则完成这件事共有m1m2mn种方法（3）排列定义1 从n个不同元素中，每次取出m个元素，按照一定顺序排成一列，称为从n个元素中每次取出m个元素的排列定理3 从n个不同元素中，有放回地逐一取出m个元素进行排列(简称为可重复排列)，共有nm种不同的排列例4 袋中有N个球，其中M个为白色，从中有放回地取出n个：N10，M2，n3；N10，M4，n3考虑以下各事件的排列数：()全不是白色的球()恰有两个白色的球()至少有两个白色的球()至多有两个白色的球()颜色相同()不考虑球的颜色答案是：当M2时，()83 ()3228 ()322823()3228328383(或10323) ()2383 ()103当M4时，将上面的24，86即可分析 这是一个可重复的排列问题由定理3，可求出其排列数问题 恰有两个白色球的答案中为什么是3倍的228，而不是1倍或6倍的？提示 根据加法原理定理4 从n个不同元素中，无放回地取出m个(mn)元素进行排列(简称为选排列)共有种不同的排列选排列的种数用(或)表示，即特别地，当mn时的排列(简称为全排列)共有n(n1)(n2)321n!种不同排列全排列的种数用Pn(或)表示，即Pnn!，并规定0!14组合定义2 从n个不同元素中，每次取出m个元素不考虑其先后顺序作为一组，称为从n个元素中每次取出m个元素的组合定理5 从n个不同元素中取出m个元素的组合(简称为一般组合)共有种不同的组合一般组合的组合种数用(或)表示，即并且规定不难看出例5 袋中有N个球，其中M个为白色，从中任取n个：N10，M2，n3；N10，M4，n3考虑以下各事件的组合数：()全不是白色的球()恰有两个白色的球()至少有两个白色的球()至多有两个白色的球()颜色相同()不考虑球的颜色答案是：当M2时，() () ()() () ()当M4时，() () ()() ()()分析(略)定理6 从不同的k类元素中，取出m个元素从第1类n1个不同元素中取出m1个，从第2类n2个不同的元素中取出m2个，从第k类nk个不同的元素中取出mk个，并且nimi0(i1，2，k)(简称为不同类元素的组合)，共有种不同取法例6 从3个电阻，4个电感，5个电容中，取出9个元件，问其中有2个电阻，3个电感，4个电容的取法有多少种？解 这是一个不同类元素的组合问题由定理6知，共有即60种取法例7 五双不同号的鞋，从中任取4只，取出的4只都不配对(即不成双)，求()排列数；()组合数答案是：()；()13 考点*(1)事件之间的关系与运算(含事件的独立性)*(2)全概公式与贝叶斯(Bayes)公式*(3)条件概率与概率的乘法公式*(4)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式)* (5)伯努利(Bernoulli)概型15 知识点1、事件之间的关系与运算事件之间的关系有：“包含”、“等价(或相等)”、“互不相容(或互斥)”以及“独立”四种事件之间的基本运算有：“并”、“交”以及“逆”对立一定互斥，互斥不一定对立事件之间运算的几个重要规律：(1)A(BC)ABAC(分配律)(2)ABC(AB)(AC)(分配律)(3) (德摩根律)(4)(德摩根律)2、概率的定义与性质概率的公理化定义设E是一个随机试验，为它的样本空间，以E中所有的随机事件组成的集合为定义域，定义一个函数P(A)(其中A为任一随机事件)，且P(A)满足以下三条公理，则称函数P(A)为事件A的概率公理1(非负性) 0P(A)1公理2(规范性) P()1公理3(可列可加性) 若A1，A2，An，两两互斥，则由上面三条公理可以推导出概率的一些基本性质性质1(有限可加性) 设A1，A2，An两两互斥，则性质2(加法公式) 设A，B为任意两个随机事件，则P(AB)P(A)P(B)P(AB)性质3 设A为任意随机事件，则P()1P(A)性质4 设A，B为两个任意的随机事件，则P(B-A)=P(B)-P(AB)若AB，则P(BA)P(B)P(A)，且P(A)P(B)3古典概型古典型试验：()结果为有限个；()每个结果出现的可能性是相同的等概完备事件组：()完全性；()互斥性；()等概性(满足()，()两条的事件组称为完备事件组)定义7 设古典概型随机试验的基本事件空间由n个基本事件组成，即1，2，n如果事件A是由上述n个事件中的m个组成，则称事件A发生的概率为 (11)所谓古典概型就是利用式(11)来讨论事件发生的概率的数学模型古典概型关键是弄清随机试验的全部基本事件是什么以及所讨论的事件A包含了哪些基本事件。觉得混乱的可以看看前面的预备知识。4几何概型几何型试验：()结果为无限不可数；()每个结果出现的可能性是均匀的设E为几何型的随机试验，其基本事件空间中的所有基本事件可以用一个有界区域来描述，而其中一部分区域可以表示事件A所包含的基本事件，则称事件A发生的概率为 (12)其中L()与L(A)分别为与A的几何度量所谓几何概型就是利用式(12)来讨论事件发生的概率的数学模型注意，上述事件A的概率P(A)只与L(A)有关，而与L(A)对应区域的位置及形状无关5.条件概率与概率的乘法公式条件概率“在事件A已发生”这一附加条件下，事件B发生的概率，称为条件概率，记作P(B|A)，在A发生的前提下B发生的概率(即条件概率)为， (13)并且满足下面三个性质：(1)(非负性)P(B|A)0；(2)(规范性)P(|A)1；(3)(可列可加性)如果事件B1，B2，互不相容，那么概率的乘法公式在条件概率公式(13)的两边同乘P(A)，即得P(AB)P(A)P(B|A) (14)6.全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式（1）全概率公式如果事件组A1，A2，An满足(1) 且P(Ai)0(i1，2，n)(2)AiAj(ij；i，j1，2，n)，则对任一事件B，有上式称之为全概率公式（2）贝叶斯公式设A1，A2，An是某一随机试验的一个完备事件组，对任意事件B(P(B)0)，在事件B已发生的条件下事件Ai发生的概率为上式称之为贝叶斯公式(或逆概率公式)利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率的关键是找满足全概率公式中条件的事件组，即完备事件组A1，A2，An要掌握以下两点：(1)事件B必须伴随着n个互不相容事件A1，A2，An之一发生，B的概率就可用全概率公式计算(2)如果我们已知事件B发生了，求事件Aj(j1，2，n)的概率，则应使用贝叶斯公式这里用贝叶斯公式计算的是条件概率P(Aj|B)(j1，n)这里，我们把导致试验结果的各种“原因”：A1，A2，An的概率P(Ai)称为先验概率，它反映了各种“原因”发生的可能性大小，一般是以往经验的总结，在这次试验前已经知道现在若试验产生了事件B，它将有助于探讨事件发生的“原因”我们把条件概率P(Ai|B)称为后验概率，它反映了试验之后对各种“原因”发生的可能性大小的新知识7事件的独立性设A，B是某一随机试验的任意两个随机事件，称A与B是相互独立的，如果P(AB)P(A)P(B)可见事件A与B相互独立是建立在概率基础上事件之间的一种关系所谓事件A与B相互独立就是指其中一个事件发生与否不影响另一个事件发生的可能性，即当P(B)0时，A与B相互独立也可以用来定义由两个随机事件相互独立的定义，我们可以得到：若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立如果事件A，B，C满足则称事件A，B，C相互独立注意，事件A，B，C相互独立与事件A，B，C两两独立不同，两两独立是指上述四个式子中前三个式子成立因此，相互独立一定是两两独立，但反之不一定8伯努利(Bernoulli)概型在实际问题中，我们常常要做多次试验条件完全相同(即可以看成是一个试验的多次重复)并且都是相互独立(即每次试验中的随机事件的概率不依赖于其他各次试验的结果)的试验我们称这种类型的试验为重复独立试验在单次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，则在n次独立重复试验中PA发生k次 (15)所谓伯努利概型就是利用关系式(15)来讨论事件概率的数学模型伯努利概型又称为独立试验序列概型(或二项概型)第2章 随机变量及其分布可能的题型为：求解分布律或密度函数中的参数；用泊松分布、指数分布、均匀分布、正态分布求概率或变量的取值范围（课本例2.15、2.16、2.26、2.30等）；随机变量函数的分布。21 知识网络图22 考点(1)随机变量的概念及分类*(2)离散型随机变量概率分布及其性质*(3)连续型随机变量概率密度及其性质*(4)随机变量分布函数及其性质*(5)常见分布*(6)随机变量函数的分布23 知识点1、随机变量的概念在条件S下，随机试验的每一个可能的结果都用一个实数XX()来表示，且实数X满足：()X是由唯一确定()对于任意给定的实数x，事件Xx都是有概率的，则称X为一随机变量 2、分布(1)离散型随机变量的分布形式()分布律PXxkpk (k1，2，)，即X的分布是由公式的形式给出()分布列Xx1x2xkP(Xxk)p1p2pk即X的概率分布是由列表的形式给出(2)连续型随机变量的分布形式连续型随机变量X的分布密度p(x)有下列性质：p(x)0，xPxP()1与离散型随机变量类似，对于实数集R中任一区间D，事件(XD)的概率都可以由分布密度算出：其中p(x)为一可求积函数(3)一般的随机变量的分布形式一般的随机变量X的分布函数分布函数是一个以全体实数为其定义域，以事件|X()x的概率为函数值的一个实值函数分布函数F(x)具有以下的基本性质：0F(x)1F(x)是非减函数F(x)是右连续的3、常见分布几种常见的离散型随机变量的概率分布(1)01分布设随机变量X的分布为P(X1)p， P(X0)1p (0p1)，则称X服从参数为p的01分布，记为XB(1，p)(2)二项分布设随机变量X的分布为 (k0，1，2，n；0p1，q1p)，则称X服从参数为n、p的二项分布，记为XB(n，p)(3)几何分布设随机变量X的分布为P(Xk)pqk1(k1，2，n，；0p1，q1p)，则称X服从参数为p的几何分布，记为XG(p)(4)泊松(Poisson)分布设随机变量X的分布为则称X服从参数为的泊松分布，记为XP()(5)超几何分布设随机变量X的分布为则称X服从参数为n，M，N的超几何分布，记为XH(n，M，N)当N很大而n相对于N又较小时，可以用二项分布近似代替超几何分布，即 泊松定理，即二项分布转化为泊松分布，也注意下。几种常见的连续型随机变量的分布(1)均匀分布设随机变量X的分布密度函数为则称X服从参数为a，b的均匀分布，记为XU(a，b)(2)指数分布设随机变量X的分布密度函数为则称X服从参数为的指数分布，记为XE()(3)正态分布设随机变量X的分布密度函数为其中，为常数且0，则称X服从参数为，2的正态分布，记为XN(，2)特别地，称0，21的正态分布为标准正态分布，其密度函数为（4）正态分布的标准化：XN(，2)，N（0，1）。参见下面的例子例 若XN(，2)，求()PX； ()P2X2； ()P3X3解 ()由于XN(，2)，故(1)(1)2(1)10.68260.68同理有：() P2X22(2)10.95450.95() P3X32(3)10.99730.994、函数的分布已知随机变量X的分布Yf(X)，求Y的分布离散型对离散型Xx1x2xnP(Xxi)p1P2pn记如果的值全都不相等，那么的概率分布为Yy1y2ynP(Yyi)p1P2pn但是，如果f(xi)的值中有相等的，那么就把那些相等的值分别合并，并根据概率加法公式把相应的概率相加，便得到Y的分布连续型随机变量函数的分布(1)定义法设X是连续型随机变量，其分布密度函数为p1(x)对于给定的一个其导函数是连续的函数f(x)，我们用分布函数的定义导出Yf(X)的分布根据x的取值范围求出f(x)的取值范围，其中，则有当ya时，f(X)y是一个不可能事件，故F(y)P(f(X)y)0；而当y时，f(X)y是一个必然事件，故F(y)P(f(X)y)1这样，我们可设Y的分布函数为对于a或的情形，只要去掉相应区间上F(y)的表达式即可这里我们只需讨论ay的情形，根据分布函数的定义有其中Dyx|f(x)y，即Dy是由满足f(x)y的所有x组成的集合，它可由y的值及f(x)的函数形式解出根据p2(y)F(y)，并考虑到常数的导数为0，于是Y的分布密度为这一段就是对课本58页最下面一段话的解释，可以结合课本上的具体例子去理解。这种方法是最基本的，也不容易出错，用公式法比较容易出错。(2)公式法利用上述方法可以推出，当函数yf(x)为单调函数时，随机变量Y的分布密度可由下面的公式得到其中f1(y)为f(x)的反函数，pX(x)为随机变量X的分布密度函数第3章 多维随机变量及其分布可能的题型为：给定联合密度函数，求解概率；求解边缘分布、条件分布；判定变量的独立性；随机向量函数的分布（课本例3.17、3.18的结论要记住，证明过程要理解；3.19要会做）；31 知识网络图32 考点(1)多维随机变量的概念及分类*(2)二维离散型随机变量联合概率分布及其性质*(3)二维连续型随机变量联合概率密度及其性质*(4)二维随机变量联合分布函数及其性质*(5)二维随机变量的边缘分布和条件分布*(6)随机变量的独立性*(7)随机变量函数的分布（最大值、最小值分布一定要会）33 知识点1、多维随机变量的概念及分类我们把n个随机变量X1，X2，Xn作为一个整体来考察称为一个n维随机变量或n维随机向量，记为(X1，X2，Xn)，其中Xi称为的第i个分量对于二维随机向量，用(X，Y)表示，一般情况下我们只讨论离散型和连续型两大类二维离散型随机向量联合概率分布及边缘分布如果二维随机向量(X，Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x，y)时，则称为离散型随机向量设(X，Y)的所有可能取值为(xi，yi)(i，j1，2，)，且事件(xi，yj)的概率为pij，称为(X，Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： YXy1y2.yi.pi*x1p11p12.p1j.p1*x2p21p22.p2j.p2*.xipi1pi2.pij.pi*.pjp1p2.pj.1这里pij具有下面两个性质：(1)pij0(i，j1，2，)(2)对于随机向量(X，Y)，称其分量X(或Y)的分布为(X，Y)的关于X(或Y)的边缘分布上表中的最后一列(或行)给出了X(或Y)的边缘分布一般来说，当(X，Y)为离散型，并且其联合分布律为P(X，Y)(xi，yj)pij (i，j1，2，)，则X的边缘分布为Y的边缘分布为二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布对于二维随机向量(X，Y)，如果存在非负函数p(x，y)(x，y)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D(x，y)|axb，cyd有则称为连续型随机向量；并称p(x，y)为(X，Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度分布密度p(x，y)具有下面两个性质：(1)p(x，y)0 (2)一般来说，当(X，Y)为连续型随机向量，并且其联合分布密度为p(x，y)，则X和Y的边缘分布密度为两种常见的连续型随机向量的分布(1)均匀分布设随机向量(X，Y)的分布密度函数为其中SD为区域D的面积，则称(X，Y)服从D上的均匀分布，记为(X，Y)U(D) (2)正态分布设随机向量(X，Y)的分布密度函数为其中m1，m2，s10，s20，|r |1是5个参数，则称(X，Y)服从二维正态分布，记为(X，Y)N(m1，m2，r )由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即XN(m1，)，YN(m2，)2二维随机向量联合分布函数及其性质设(X，Y)为二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数F(x，y)PXx，Yy称为二维随机向量(X，Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件(w1，w2)|X(w1)x，Y(w2)y的概率为函数值的一个实值函数分布函数F(x，y)具有以下的基本性质：(1)0F(x，y)1(2)F(x，y)分别对x和y是非减的，即当x2x1时，有F(x2，y)F(x1，y)； 当y2y1时，有F(x，y2)F(x，y1)(3)F(x，y)分别对x和y是右连续的，即F(x，y)F(x0，y)， F(x，y)F(x，y0)(4)F(，)F(，y)F(x，)0，F(，)13条件分布当(X，Y)为离散型，并且其联合分布律为P(X，Y)(xi，yj)pij (i，j1，2，)，则在已知Yyj的条件下，X取值的条件分布为在已知Xxi的条件下，Y取值的条件分布为其中pi，pj分别为X，Y的边缘分布当(X，Y)为连续型随机向量，并且其联合分布密度为p(x，y)，则在已知Yy的条件下，X的条件分布密度为在已知Xx的条件下，Y的条件分布密度为其中p1(x)0，p2(y)0分别为X，Y的边缘分布密度4.随机变量的独立性设X，Y是两个随机变量若对于任意的ab，cd，事件aXb与cYd相互独立，则称随机变量X与Y是相互独立的；否则，称X与Y是相依的(1)对于离散型随机向量，可以证明：当X，Y的分布律分别为piP(Xxi)，i1，2，；pjP(Yyj)，j1，2，时，则X与Y相互独立的充要条件是：对一切i，j有P(Xxi，Yyj)P(Xxi)P(Yyj)，即 pijpipj(2)对于连续型随机向量，可以证明：当X，Y的分布密度分别是p1(x)，p2(y)时，则X与Y相互独立的充要条件是：二元函数p1(x)p