第十三章实数.doc

131 算术平方根教 学 任 务 分 析学习目标知识与技能1 了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。2 了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。过程与方法通过学习算术平方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。情感、态度与价值观1 通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。2 通过探究活动培养动手能力和锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。重点算术平方根的概念。难点根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。教 学 过 程教学环节教 学 活 动设 计 意 图创设情境导入新课同学们，2008年9月25号，“神州七号”飞船载人出舱飞行取得了圆满成功，实现了中华民族千年的梦想。那么，卫星离开地球进入正常轨道，它运行的速度在什么范围？这时它的速度要大于第一宇宙速度 (米/秒)而小于第二宇宙速度 (米/秒)。、的大小满足=gR， =2gR。其中，g是物理中的一个常量、R是地球半径。怎样求出、呢？即使给出g、R的对应值，利用我们已学过的知识，也很难求出。这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容。这节课我们先学习有关算术平方根的概念。展示教材第68页的问题。问题：1你能算出画布的边长等于多少吗？2说说你是怎样算出来的？3如果这块正方形画布的面积为单位1，那么它的边长是多少？如果面积分别为9、16、36、呢？上面的问题，可以归纳为“已知一个正数的平方，求这个正数”的问题。实际上是已知一个正数，求这个正数平方根的问题。使学生感受到“神州七号”的成功发射这一伟大壮举，竟然与我们将要学习的本章知识有着密切的联系，激发起学生的好奇心和学习兴趣，感受到学习算术平方根的必性。通过实际问题抽象为数学问题，为学习算术平方根提供背景和素材，进而引入算术平方根的概念。教学环节教 学 活 动设 计 意 图自主探究合作交流出示自学提纲：阅读教材6869页，并回答下列问题：1 算术平方根以及有关概念。2 为什么规定：0的算术平方根为0？3 自学例1，先试做后对照。4 表示的意义是什么？它的值是多少？用等式怎样表示？5 144的算术平方根是多少？怎样用符号表示？学生活动：独立思考1、2答案，提出疑难问题。给学生充足的时间和空间，理解和感知算术平方根概念，通过讨论、交流，提出共同的问题，使学生的自主性和合作性得到很好的发展。师生互动归纳新知问题1：你能叙术算术平方根的概念吗？一般地：如果一个正数的平方等于a，即=a，那么这个正数叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。规定：0的算术平方根是0。强调：书写时根号一定要把被开方数盖住。问题2：表示什么意思？它的值是怎样的数？ 这里的被开方数a应该是怎样的数？问题3：0的算术平方根是多少？怎么表示？归纳：表示a的算术平方根。算术平方根为非负数，即：0，被开方数为非负数，即a0,负数没有算术平方根，即：当a0时，无意义。学生探究 1、a可以取任何数吗？被开方数a是非负数. 2.表示是什么数？非负数也就是说，非负数的“算术平方根”是非负数。 负数不存在算术平方根，练习：下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？ 学生活动：在全班交流每个式子表示的意思。问答题：是不是所有的有理数都有算术平方根？为什么？不是所有的有理数都有算术平方根这是因为任何有理数的平方都是非负数，所以只有非负数才有算术平方根三个问题的设置加深对算术平方根的非负性的理解，进一步提高语言表达的准确性和书写的规范性。使学生进一步理解算术平方根的非负性问题的设置加深对算术平方根的非负性的理解。巩固练习加深理解例1：求下列各数的算术平方根 (1) 100 (2) (3) 0.0001(4) 1 (5) 0 (6) -4 练习:求下列各数的算术平方根。00025； 121； 32学生活动：模仿教材例1的模式，注意语言的准确性和书写的规范性。学生板演，全班同学做完后修改板演同学的错误，用彩笔改出来。能展示学生对算术平方根的思考过程，全班纠错，小组互相监督，培养学生良好的学习习惯。教学环节教 学 活 动设 计 意 图巩固练习加深理解1.本节课你有哪些收获？2.你还有什么问题或想法需要和大家交流？引导学生从内容上、方法上、情感上小结。巩固基本概念。让学生按这一模式进行小结，培养学生学习总结学习反思的良好习惯；同时通过自我评价来获得成功的快乐，提高学习的自信心。作业作业布置：1. 习题131第1题、第2题、第11题。2. 预习书本p6972页， 探究问题： 究竟有多大？巩固本节知识预习下节新课13.1 平方根（2）教学目标1、会用计算器求一个数的算术平方根；理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律；2、能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值；3、体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数。教学难点夹值法及估计一个（无理）数的大小的思想。知识重点夹值法及估计一个（无理）数的大小。来源:21世纪教育网教学过程（师生活动）设计理念情境导入我们已经知道：正数x满足=a,则称x是a的算术平方根当a恰是一个数的平方数时，我们已经能求出它的算术平方根了，例如，=4；但当a不是一个数的平方数时，它的算术平方根又该怎祥求呢？例如课本的大正方形的边长等于多少呢？ 问题：究竟有多大？来源:21世纪教育网建议：1、先让学生思考讨论并估计大概有多大，在此基础上按书本讲解并板书可以这样提出问题并讲解：由直观可知招大于1而小于2，那么了是1点几呢？（接下来由试验可得到平方数最接近2的1位小数是1.4，而平方数大于2且最接近的1位小数是1.5，大于1.4而小于1.5.这里默认了非负数a和b当ab时，这里可以从得到。2、用夹值法去逼近一个（无理）数，是一个重要的求近似数的方法，也是一种无限逼近的数学思想，教师应加以重视，让学生体验它的妙处3、关于是一个“无限不循环小数”要向学生详细说明为无理数的概念的提出打下基础归纳（提出问题）：你对正数a的算术平方根的结果有怎样的认识呢？的结果有两种情：当a是完全平方数时，是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。 在出现之前，学生已经知道利用乘方运算，通过观察的方法求一些完全平方数的算术平方根，但是对于像2这样的非完全平方数，如何求它的算术平方根，对学生来讲是一个新问题 教科书给出两种求的方法：一种是估算，一种是使用计算器对于第一方法，教科书利用夹值的办法，夹值法是重要的有效的求近似值的方法，所以应详细讲解 对于无限不循环小数这个概念，教学时可以适当回忆以前学生学过的数，通过比较，了解无限不循环小数的特征，为后面学习实数做铺垫。用计算器求一个正有理数的算术平方根例1（课本的例2)用计算器求下列各式的值： （1）（2）（精确到0.001）来源:21世纪教育网可按照书本讲注意计算器的用法，指出计算器上显示的也只是近似值，但我们可以利用计算器方便地求出一个正数的算术平方根的近似值安排学生独立解决引言中的问题，利用计算器求出和的值通过例题，使学生掌握使用计算器求算术平方根的方法，可以和上面所估计的的大小比较。综合应用例2（用多媒体显示课本第71页的例3）题略建议：1、首先要注意学生是否弄清了题意；然后分析解题思路：能否裁出符合要求的纸片，就是要比较两个图形的边长，而由题意，易知正方形的边长是20 cm，所以只需求出长方形的边长，设长方形的长和宽分别是3xcm和2xcm,求得长方形的长为3cm后，接下来的问题是比较3和20的大小，这是个难点，要让学生思考，充分发表自己的意见，然后再比较2、视学生掌握知识的情况在例3前可先解决下面的问题：比较4和，2和27大小例题给出了一个实际问题背景，学生一般会认为一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片，通过学习可以纠正学生的认识重点使学生掌握通过平方数比较有理数与无理数大小的一种方法练习课本的练习72页（其中第2题要求不用计算器）探究规律课本中的用计算器探究被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律对于（1）应有如下的规律：当被开方数扩大（或缩小）100倍，10000倍时，其算术平方根相应地扩大（或缩小）10倍，100倍小结与作业课堂小结1、被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增大或缩小，因此我们可以利用夹值的方法来求出算术平方根的近似值；2、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值3、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？4、怎样的数是无限不循环小数？布置作业课本习题13.1第5、6、9、10题； 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 1、本节课首先提出“有多大”的问题，这是一个学生关注的具有挑战性的问题，也是说明引入算术平方根必要性的好问题（如果算术平方根都可以像完全平方数的算术平方根那样求得，恐怕就没有必要花那么多的精力来学习算术平方根了），所以教学中要引起重视解决这个问题的过程体现了“数学中的无限逼近的思想”并使学生体验“无限不循环”小数的特点（学生对无限的体会没有障碍，但对不循环会因计算实际的局限无法体会，是本节课的一个疑点，教师可适当说明，不要深究） 2、课本的例3是一个实际问题，它有两个作用：一是用算术平方根解决实际问题，二是涉及了一个有理数与一个无理数的大小比较的问题后者提供的方法在今后的学习中会经常用到，所以要引起重视 3、利用计算器求一个数的算术平方根是本章的一个重要教学要求，学生掌握其方法应该不成问题，但对精确度和有效数字的要求要重视，另一方面要求学生掌握被开方数的扩大和缩小与平方根的扩大和缩小之间的规律13.1平方根（3）教学目标1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别；2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系；3、培养学生的探究能力和归纳问题的能力教学难点平方根和算术平方根的联系与区别知识重点平方根的概念和求数的平方根。教学过程（师生活动）设计理念思考归纳导入概念如果一个数的平方等于9，这个数是多少？学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个，它们是3和3.受前面知识的影响学生可能不易想到3这个数，这时可提醒学生，这里的这个数可以是负数注意中括号的作用又如：，则x等于多少呢？使学生完成课本73页的填表练习给出平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根即：如果=a，那么x叫做a的平方根求一个数的平方根的运算，叫做开平方21世纪教育网例如：3的平方等于9，9的平方根是3，所以平方与开平方互为逆运算观察：课本中的图13.1-2.图10.1-2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个关系说出1,4,9的平方根注意：这阶段主要是让学生建立平方根的概念，先不引入平方根的符号，给出的数是完全平方数例1：（课本的例4）。求下列各数的平方根。（1） 100 （2） （3） 0.25建议教师要规范书写格式。这个思考题是引入平方根概念的切入点，要让学生有充分的时间进行思考和体验 在等式中求出x的值，为填表做准备 通过填表中的x的值，进一步加深时“两个互为相反数的平方等于同一个数”的印象，为平方根的引入做准备 教学中可以引导学生通过查阅资料等方式，了解平方根产生发展的过程（通常称为平方根在研究有关n次方根的问题时，为使各次方根的说法协调起见，常采用二次方根的说法21世纪教育网3表示3和一3两个数这种写法学生不太习惯，在以后的教学中宜不断提到。通过此例使学生明白平方根可以从平方运算中求得，并能规范地表述一个数的平方根这个例题也为后面探讨平方根的特征做好准备讨论归纳深化概念按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？建议：可引导学生通过观察=a中的a和x的取值范围和取值个数得出根据上面讨论得出的结果填课本166页的表注：学生刚开始接触平方根时，有两点可能不太习惯，一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，这与学生过去遇到的运算结果惟一的情况有所不同，另一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中一般不会遇到(0作除数的情况除外）教学时，可以通过较多实例说明这两点，并在本节以后的教学中继续强化这两点引入符号：正数a的算术平方根可用表示；正数a的负的平方根可用-表示例如思考：表示什么意思，这里的x可取什么样的数呢？而对于又该怎样理解呢？这里的x又可取什么样的数呢？通过讨论，使学生对有理数的平方根有一个全面的认识也是平方根概念的进一步深化体验分类思想，巩固平方根概念加深对符号意义的理解和对平方根概念的灵活应用测试学生对平方根概念的掌握情况应用例2 下列各数有平方根？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由。21世纪教育网64、0，如果有要用平方根的符号来表示。例3：课本的例5，求下列各式的值。（1），（2），（3）（4），建议：要让学生明白各式所表示的意义；根据平方关系和平方根概念的格式书写解题格式。平方根和算术平方根的概念是本章重点内容，两者既有区别又有联系区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根，因此我们可以利用算术平方根来研究平方根思考：的值是多少？熟练应用平方根的概念，计算有关算式的值，是本课的主要内容。被开方数不是完全平方数时，可用计算器求出它的近似值练习巩固课本的练习小结：什么叫做一个数的平方根？正数、0、负数的平方根有什么规律？怎样求出一个数的平方根？数a的平方怎样表示？小结与作业来源:21世纪教育网布置作业教科书习题13.1第3、4、7、8、11、12题。本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 2、本课主要是在算术平方根的基础上建立平方根的概念，要以等式=a和已有算术平方根概念为基础，并使学生明确平方根与算术平方根之间的联系与区别，明确开平方与平方之间的互逆关系，把握了这些平方根的有关概念，正数、零、负数的平方根的规律也就不难掌握了 2、有关求算式的值的问题，一定要使学生体会到这个算式所表示的具体意义，这样才能使学生在本质上掌握其求法III.习题解答习题13.11.（1）14；（2） （3）0.2；（4）10.2.（1）（有意义）；（2）无意义；（3）有意义；（4）有意义.3.（1）; (2);(3);(4).4.（1）正确；（2）正确；（3）错误；（4）正确.5.（1）29.44；（2）0.68；（3）0.57；（4）49.01.6. 6和77.（1）；（2）16.9；（3）在16.4和16.5之间；（4）16.18. (1) ;(2)；（3）.9. 5s10. 2倍，3倍，倍.11.（1）2 ,3 ,5 , 6 , 7 , 0 ；a（a），a（a0）. （2）4，9 , 25 , 36 , 49 , 0 ；a.12. 1不断开平方的结果仍为1；对于小于1的正数，每次开放的结果逐渐增大，并趋于1；对于大于1的数，每次开方的结果逐渐减小，并趋于1.八年级数学上册13.2立方根（第1课时）教案一、教学目标 知识与技能 1 、了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根. 2、了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根. 过程与方法 1让学生体会一个数的立方根的惟一性. 2培养学生用类比的思想求立方根的能力，会立方与开立方运算的互逆性，渗透数学的转化思想。 3情感态度与价值观 ,通过立方根符号的引入体会数学的简洁美。 二、重点难点 重点 立方根的概念和求法。 难点 立方根与平方根的区别，立方根的求法 三、学情分析 前面已经学过了平方根的知识，由于平方根与立方根的学习有很多相似之处，所以在教学设计上，主要还是采取类比的思想，在全面回顾平方根的基础上，再来引导学生进行立方根知识的学习，让学生感觉到其实立方根知识并不难，可以与平方根知识对比着学，这样可以克服学生学习新知识的陌生心理。在学习方法上，提倡让学生在反思中学习，在概念的得出，归纳性质，解题之后都要进行适当的反思，在反思中看待与理解新知识和新问题，会更理性和全面，会有更大的进步。四、教学过程设计 情境创设问题：要制作一种容积为27m的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？ 解：设这种包装箱边长为x m,则x=27这就是求一个数使它的立方等于27.因为x =27， 所以x=3. 即这种包装箱的边长应为3 m。归纳：立方根的概念： （创设问题情境，引起学生学习的兴趣，经小组讨论后引出概念，通过具体问题得出立方根的概念） 探究一： 根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？ 因为，所以8的立方根是（ ） 因为（ ），所以0.125的立方根是（ ） 因为（ ），所以-8的立方根是（ ） 因为（ ），所以-0.125的立方根是（ ） 因为（ ），所以0的立方根是（ ） 总结：一个正数有一个正的立方根 0有一个立方根，是它本身 一个负数有一个负的立方根 任何数都有唯一的立方根 【总结归纳】 一个数的立方根，记作 ，读作：“三次根号 ”，其中a叫被开方数，3叫根指数，中的指数不能省略，若省略表示平方。探究二： 因为=-2，-=-2 所以 =-因为=-3，-=-3 所以=-总结: 利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数。 八年级数学上册13.2立方根（第2课时）教案一、教学目标 知识与技能 1、使学生进一步理解立方根的概念，并能用计算机熟练地进行求一个数的立方根 2、能用有理数估计一个无理数的大致范围，使学生形成估算的意识，培养学生的估算能力。 过程与方法 1让学生经历发现探索验证的过程 2培养学生用类比的思想求立方根的能力，体会立方与开立方运算的互逆性，渗透数学的转化思想。 情感态度与价值观 通过立方根符号的引入体会数学的简洁美。 二、重点难点 重点 立方根的求法，用有理数估计一个无理的大致范围，熟练运用计算器 难点 用有理数估计一个无理数的大致范围。 三、学情分析 由于前面已经学过了立方根的的概念及求法，这节课提出了更高的要求，就是用所学知识 估计一个无理数的大致范围，这对学生来说是一个很大的挑战，在此基础上要，求学生熟练地运用计算器来求根，主要还是采取类比的思想，由于已经学过平方根，很多问题学生类比着，收到很好的效果。 四、教学过程设计 情境创设求下列各式的值 教师提出问题，引出本课的 问题一 ：求下列各式的值（1） （2） (3) 解：（1）=4 （2）=-5 (3) =-实际上，很多有理数的立方根都是无限不循环小数例如、等都是无限不循环小数，我们可以用有理数近似地表示它们