刚体力学_角动量

一质点的角动量定理和角动量守恒定律 1 质点的角动量 定义 方向 垂直于共同决定的平面 注意 10同一运动质点对不同定点的角动量是不同的 20质点作圆周运动时对圆心的角动量大小 P乘以的延长线到转轴的距离 2 质点的角动量定理 作用于质点的合外力对参考点O的力矩 等于质点对该点O的角动量随时间的变化率 对同一参考点O 质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量 质点的角动量定理 冲量矩 3 质点的角动量守恒定律 若 则 注意 10质点的角动量守恒的条件是 50是普遍规律 宏观 微观都适用 例如有心力 运动质点所受的力总是通过一个固定点 力心 特征 质点对力心的角动量永远守恒 30质点对某点的角动量守恒 对另一点不一定守恒 40角动量守恒 不见得动量守恒 当质点所受对参考点0的合力矩为零时 质点对该参考点的角动量为一恒矢量 质点的角动量守恒定律 质点所受对参考点O的合力矩为零 20的两种可能情况 合力通过参考点O 或恒矢量 例 在光滑的水平桌面上有一小孔0 一细绳穿过小孔 其一端系一小球放在桌面上 另一端用手拉绳 求小球的速率v2 f拉 解 小球受力 f拉 开始时小球绕孔运动 速率为v1 半径为r1 当半径变为r2时 因f拉为有心力 例一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内 一质量为m的小球穿在圆环上 并可在圆环上滑动 小球开始时静止于圆环上的点A 该点在通过环心O的水平面上 然后从A 点开始下滑 设小球与圆环间的摩擦力略去不计 求小球滑到点B时对环心O的角动量和角速度 解小球受力 作用 的力矩为零 重力矩垂直纸面向里 由质点的角动量定理 考虑到 得 由题设条件积分上式 得 二刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1刚体定轴转动的角动量 刚体以角速度绕定轴转动 刚体上每一质点都以相同的角速度绕轴作圆周运动 其中质点对轴的角动量为 于是刚体上所有质点对轴的角动量 即刚体对定轴的角动量为 2刚体定轴转动的角动量定理 作用在质点i上的合力矩应等于质点i的角动量随时间的变化率 即 Mi中含有外力作用在质点i的力矩Mi外和刚体内质点间作用力的力矩Mi内 由于刚体内各质点的内力矩之和应为零 所以在遍及刚体内所有质点后 可得 合力矩 合内力矩为零 合外力矩M 刚体角动量L 即 刚体作定轴转动时 刚体所受合外力矩等于刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率 转动惯量为J的刚体在合外力矩的作用下作定轴转动 在时间t1到t2内 其角速度由变为 则有 合外力矩的冲量矩 如果物体在转动过程转动惯量J发生了变化 设在时间t1到t2内由J1变为J2 下式仍然成立 物体所受合外力矩的冲量矩等于物体角动量的增量 角动量定理 3角动量守恒定律 当转轴给定时 若作用在物体上的合外力矩为零 可得 如果物体所受的合外力矩等于零 或者不受外力矩的作用 物体的角动量将保持不变 角动量守恒定律 注意 10系统角动量守恒的条件 系统所受的合外力矩为零 20对 刚体 定轴 转动 J是常数 角动量守恒 就是角速度守恒 30若J变 仍成立 40适用范围 惯性系 宏观 微观都适用 J 恒量 例题 装置如图所示 滑轮两边悬挂的重物与盘的质量相同而处于平衡 现有距盘底高为h质量为m 的胶泥自由下落 求胶泥粘在盘上时盘获得到初速度 滑轮和绳质量不计 不计轴承摩擦及绳的伸长 解 胶泥自由下落至盘面的速度为 将盘 重物和胶泥视为质点系 绳的拉力及物体所受重力为外力 因不计滑轮 绳质量及轴承摩擦 两边绳的拉力相等 重物与盘所受重力也相等 它们对轴心O的力矩之和为零 故质点系所受外力对O点的力矩之和就等于胶泥的重力矩 不等于零 但在碰撞时 胶泥与盘之间的碰撞内力对O点的力矩远大于外力矩之和 即内力矩对质点系内各质点运动的影响远大于外力矩的影响 讨论质点系内各质点的运动时 可不计外力矩 故在碰撞时 可用质点系对O轴角动量守恒方程求近似解 取垂直纸面朝向读者的方向为O轴正方向 有 得 绳不伸长 故 将代入 得 例质量均为m的两个小钢球固定在一个长为a的轻质硬杆的两端 杆的中点有一轴使杆可在水平面内自由转动 杆原来静止 另一泥球质量也是m 以水平速度V0垂直于杆的方向与其中的一个钢球发生碰撞 碰后两者粘在一起 求碰撞后杆转动的角速度 解 选质点系 质点系对o点的合外力矩为零 两个钢球 泥球 碰撞过程 系统角动量守恒 碰后三质点的速率为 V a 2 a 2 2mv a 2 mv 由角动量守恒定律 得 2v0 3a a 2 mv0 例 如图 圆盘的M R 及 0已知 子弹m 以v0射入盘边缘 求此后盘转动的角速度 解 对M和m 用动量守恒律 有 其中 V0 R 0 正确解 对M和m 用角动量守恒律 错 例 有一子弹 质量为m 以水平速度v射入杆的下端而不复出 求杆和子弹开始一起运动时的角速度 解 碰撞时间很短 考虑 杆和子弹组成的系统动量守恒 系统对轴O角动量守恒 如果子弹穿出或反弹的情形 例质量为m1 长为l的均匀细杆 静止平放在滑动摩擦系数为m的水平桌面上 它可绕过其端点o且与桌面垂直的固定光滑轴转动 另有一水平运动的质量为m2的小滑块 从侧面垂直与杆的另一端A相碰撞 设碰撞时间极短 已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v1和v2 方向如图所示 求碰撞后从细杆开始转动到停止转动过程所需时间 已知杆绕点o的转动惯量J ml2 3 解 碰撞过程 杆和滑块组成的系统的合外力矩为0 系统角动量守恒 规定逆时针方向为正 碰撞后杆受摩擦力矩的作用 由角动量定理 得 例人与转盘的转动惯量J0 60kg m2 伸臂时臂长为1m 收臂时臂长为0 2m 人站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上 每只手抓有质量m 5kg的哑铃 伸臂时转动角速度 1 3s 1 求收臂时的角速度 2 解 整个过程合外力矩为0 角动量守恒 由 得 例质量为M半径为R的转台可绕通过中心的竖直轴转动 设阻力可忽略不计 质量为m的一人站在台的边缘 人和台原来都静止 如果人沿台的边缘奔跑一周 问相对于地面来说 人和转台各转了多少角度 解 如果以人和转台为一系统 该系统未受到外力矩的作用 故角动量守恒 开始时角动量为零 由角动量守恒得 转台的转动惯量MR2 2 人的转动惯量mR2 人相对转台的角速度为 人奔跑一圈所需的时间为 人相对地面绕行的角度为 转台转过的角度 例 一根轻绳跨过一定滑轮 滑轮视为圆盘 绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体 m1 m2 滑轮的质量为m 半径为R 所受的摩擦阻力矩为Mf 绳与滑轮间无相对滑动 试求 物体的加速度 已知 m1 m2 m R Mf求 a 解 把m1 m2和m看作一系统 系统所受合外力有重力m1g m2g 这两个力对轴的力矩分别为m1gR m2gR 支撑力N通过转轴 对轴的力矩为零 加上阻力矩Mf 系统所受合外力矩为 顺时针为正 N Mf M m2gR m1gR Mf 系统的角动量包括 m J m1 Rm1vm2 Rm2v 系统的总角动量为 顺时针为正 L J Rm1v Rm2v 根据角动量定理 利用 解得 例质量很小长度为l的均匀细杆 可绕过其中心